课件29张PPT。第2章 2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 椭圆的定义答案平面内到两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫做 .这两个定点F1，F2叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .距离的和等于常数(大于F1F2)椭圆焦距焦点答案知识点二 椭圆的标准方程(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)c2＝a2－b2c2＝a2－b2答案返回思考 (1)椭圆定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答案 当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；
当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在.(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案 a，b的值及焦点所在的位置.例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10； 题型探究 重点突破题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程解 因为椭圆的焦点在x轴上，解析答案因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解 因为椭圆的焦点在y轴上，因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，解析答案反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.反思与感悟解析答案解析答案解 方法一 (1)当焦点在x轴上时，解析答案(2)当焦点在y轴上时，此时不符合a>b>0，所以方程组无解.方法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，例2 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足PF1＋PF2＝2F1F2.
(1)求点P的轨迹方程；题型二 椭圆定义的应用解析答案解 依题意知F1F2＝2，
PF1＋PF2＝2F1F2＝4>2＝F1F2，
∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.解析答案反思与感悟解 设m＝PF1，n＝PF2，则m＋n＝2a＝4.∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 120°)，解得mn＝12.在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把PF1·PF2看作一个整体来处理.反思与感悟解析答案所以a＝5，
故有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，
AF2＋BF2＝AB，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB
＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2
＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝20.例3 已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.题型三 与椭圆有关的轨迹问题解析答案反思与感悟反思与感悟由BC＝8可知点B(－4,0)，C(4,0).
由AB＋AC＋BC＝18得AB＋AC＝10>8＝BC，
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上.
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.解 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直
平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示． 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.反思与感悟跟踪训练3 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.解析答案返回解 如图，返回设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB＝6).
∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.
∴2a＝10,2c＝AB＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 当堂检测123451.设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________.(填序号)解析答案解析 ∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，
∴动点M的轨迹是线段.线段123452.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是________.2解析答案12345解析 根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝8.
又PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3.直角解析答案所以△PF1F2是直角三角形.123454.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件.充要解析答案12345解析答案由于PF1⊥PF2，48又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，
∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，
即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.课堂小结1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，
当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；
当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.
3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.返回课件27张PPT。第2章 2.2 椭 圆2.2.2 椭圆的几何性质（一）1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 椭圆的简单几何性质答案－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a答案A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)2b2ax轴、y轴原点(0,1)A1(0, －a)，A2(0, a)B1(－b, 0)，B2(b, 0)答案返回知识点二 离心率的作用当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ，则椭圆越接近于圆.接近1接近0例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 题型探究 重点突破题型一 椭圆的简单几何性质解析答案反思与感悟则a＝5，b＝1.因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0).解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.反思与感悟跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解析答案解析答案解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.题型二 由椭圆的几何性质求方程解析答案反思与感悟解 由题意知，2c＝8，c＝4，从而b2＝a2－c2＝48，在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.反思与感悟解析答案解析答案解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，例3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的题型三 求椭圆的离心率解析答案反思与感悟求椭圆的离心率.反思与感悟解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c.且△MF1F2为直角三角形.整理得3c2＝3a2－2ab.求椭圆离心率的方法：反思与感悟跟踪训练3 已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求椭圆C的离心率.解析答案返回返回 当堂检测123451.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是
(－10,0)，则焦点坐标为______________.解析答案123452. 如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离
心率为________.解析答案解析 ∵x－2y＋2＝0，123453.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆
的离心率是________.解析 由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，解析答案12345解析 ∵焦点在y轴上，∴02.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.
3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.返回课件28张PPT。第2章 2.2 椭圆2.2.2 椭圆的几何性质（二）1.巩固椭圆的简单几何性质.
2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 点与椭圆的位置关系答案知识点二 直线与椭圆的位置关系消去y得到一个关于x的一元二次方程两一无>＝<知识点三 弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，返回其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得. 题型探究 重点突破题型一 直线与椭圆的位置关系解析答案反思与感悟反思与感悟并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.反思与感悟跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解析答案解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，题型二 直线与椭圆的相交弦问题解析答案反思与感悟解 由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.反思与感悟解析答案跟踪训练2 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程.解析答案解 方法一 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，
则点M(2,1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在的直线方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0，∴直线方程为x＋2y－4＝0.方法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2,1)是PQ的中点，故x1≠x2，即x＋2y－4＝0.例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；题型三 椭圆中的最值(或范围)问题解析答案因为直线与椭圆有公共点，反思与感悟(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以当m＝0时，AB最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.解析答案反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练3 如图，点A是椭圆C：解析答案 (a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；解 ∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即b＝2，且B(3,1).(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解 由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：解析答案返回 当堂检测12345解析答案∴Δ>0，∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.123452.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为________.解析答案12345 右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1－y2|的值
为________.解析答案12345解析 设P(x，y)，解析答案又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，12345解析答案∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.
由题意知，椭圆上的点P总在圆外，所以OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，∴b>c，∴a2>2c2，课堂小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步
骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.返回
