课件30张PPT。第2章 2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程1.掌握双曲线的定义.
2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.
3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 双曲线的定义答案平面内到两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于F1F2的正数)
的点的轨迹叫做 .两个定点F1，F2叫做双曲线的 ，两焦点间的
距离叫做双曲线的 .差的绝对值双曲线焦点焦距答案知识点二 双曲线的标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)(0，－c)(0，c)a2＋b2思考 (1)双曲线定义中，将“小于F1F2”改为“等于F1F2”或“大于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答案答案 当距离之差等于F1F2时，动点的轨迹就是两条射线，
端点分别是F1、F2，当距离之差大于F1F2时，动点的轨迹不存在.(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案 a，b的值及焦点所在的位置.返回例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. 题型探究 重点突破题型一 求双曲线的标准方程解析答案若焦点在y轴上，设双曲线的方程为解析答案∵P、Q两点在双曲线上，∵双曲线经过点(－5,2)，∴λ＝5或λ＝30(舍去).反思与感悟解析答案求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程.反思与感悟跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；解析答案解 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，解 因为焦点在x轴上，①②解得a2＝8，b2＝4，解析答案题型二 双曲线定义的应用解析答案(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；由双曲线的定义得|MF1－MF2|＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积. 反思与感悟解析答案解 将|PF2－PF1|＝2a＝6两边平方得＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得∴∠F1PF2＝90°，反思与感悟(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1－PF2|＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1－PF2|＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.反思与感悟由双曲线的定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，解析答案所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝64，例3 如图，在△ABC中，已知AB题型三 与双曲线有关的轨迹问题解析答案反思与感悟 且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. 解析答案解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2BC＋AB＝2AC，由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).反思与感悟反思与感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.反思与感悟跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解析答案返回返回解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，
∴MF2－MF1＝3<10＝F1F2. 当堂检测123451.已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是________.(填序号)
①双曲线 ②双曲线的一支
③不存在 ④一条射线解析答案解析 因为PF1－PF2＝4，且4
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.②12345解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.解析答案±312345解析 由标准方程得a2＝10，b2＝2，解析答案123454.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为_____________
_________.解析答案123455.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左，右焦点，则PF1－PF2＝________.解析答案所以a2＝16,2a＝8，
因为P点在双曲线左支上，
所以PF1－PF2＝－8.－8课堂小结1.双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a (2a2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.返回课件30张PPT。第2章 2.3 双曲线2.3.2 双曲线的几何性质1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
3.能区别椭圆与双曲线的性质.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 双曲线的几何性质答案x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标轴A1(－a,0)A2(a,0)A1(0，－ a)A2(0，a)原点实轴和虚轴 的双曲线叫做 ，它的渐近线是 .答案思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？答案 不一样.椭圆的离心率01.(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？返回知识点二 等轴双曲线答案 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；
反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上.等长等轴双曲线y＝±x例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 题型探究 重点突破题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质解析答案反思与感悟因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，反思与感悟讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.反思与感悟跟踪训练1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解析答案焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程解析答案例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，解析答案反思与感悟解析答案联立①②，无解.反思与感悟反思与感悟解析答案联立③④，解得a2＝8，b2＝32.∵A(2，－3)在双曲线上，反思与感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为反思与感悟可以将方程设为解析答案解析答案解得k＝4或k＝－14(舍去).题型三 直线与双曲线的位置关系解析答案反思与感悟解析答案解 设直线l的方程为y＝2x＋m，设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，反思与感悟又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2反思与感悟＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.反思与感悟解析答案(1)求实数a的取值范围；得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. ∴0依题意得P(0,1)，由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，解析答案 当堂检测12345解析答案123452.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________.解析答案解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则a2＝1，a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，12345解析答案3x±4y＝0 的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则
双曲线C的方程为____________.123454.已知双曲线C：解析答案又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20.123455.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有
一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.解析答案解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程
(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程.
2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.返回