课件30张PPT。2.4.1 抛物线的标准方程第2章 2.4. 抛物线1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 抛物线的定义答案平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的 的点的轨迹叫做 .定点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 .距离相等抛物线焦点准线知识点二 抛物线标准方程的几种形式y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)答案思考 (1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？答案 焦点到准线的距离.返回答案(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案 不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2,0)； 题型探究 重点突破题型一 求抛物线的标准方程∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2)准线为y＝－1；解析答案∴抛物线的标准方程为x2＝4y.(3)过点A(2,3)；解 由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，解析答案反思与感悟∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).反思与感悟跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1) 过点(3，－4)；解析答案解 方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，解析答案方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).解析答案(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上.解 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求此时P点坐标. 题型二 抛物线定义的应用解析答案反思与感悟解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，解析答案反思与感悟抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，
由图可知，求PA＋PF的最小值的问题可转化为求
PA＋d的最小值的问题.由定义知PA＋PF＝PA＋d.反思与感悟此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2).抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.反思与感悟解析答案跟踪训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)
的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________.解析 如图，由抛物线定义知PA＋PQ＝PA＋PF，
则所求距离之和的最小值转化为求PA＋PF的最小值，
则当A、P、F三点共线时，PA＋PF取得最小值.∴(PA＋PF)min＝AF例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.题型三 抛物线的实际应用解析答案反思与感悟解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.反思与感悟设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，解得a>12.21，∵a取整数，∴a的最小整数值为13.以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.反思与感悟跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.解析答案(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；解 依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.解析答案(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解 设车辆高h米，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.返回 当堂检测12345y＝2解析答案123452.过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________.解析 由y2＝8x得焦点坐标为(2,0)，
由此直线方程为y＝x－2，16解析答案设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程知x1＋x2＝12，
∴弦长AB＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.123453.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线上，则抛物线的方程为____________.解析答案即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.y2＝±8x123454.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，解析答案如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点.
由图可知，距离和的最小值，212345解析答案?∴p＝4.4课堂小结1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.
2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m≠0).返回课件32张PPT。第2章 2.4 抛物线2.4.2 抛物线的几何性质1.掌握抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 抛物线的几何性质答案x≥0x≤0y≥0y≤0直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，知识点二 焦点弦答案故AB＝ .x1＋x2＋p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程______________________的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0一没有行或重合平一思考 (1)抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？返回答案答案 有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形.(2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？答案 影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小. 题型探究 重点突破题型一 抛物线的几何性质解析答案反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.反思与感悟跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解析答案解 (1)当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0).例2 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB题型二 抛物线的焦点弦问题解析答案反思与感悟求AB所在的直线方程.所以直线AB的斜率存在，设为k，反思与感悟消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.解析答案解得k＝±2.反思与感悟(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.反思与感悟跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；解析答案若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝5，∴AB＝5＋3＝8.＝x1＋x2＋p.解 因为直线l的倾斜角为60°，(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，解析答案例3 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：
(1)一个公共点？
(2)两个公共点？
(3)没有公共点？题型三 直线与抛物线的位置关系解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，
①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；反思与感悟②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；
③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离.
综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；
(3)当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点.直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.反思与感悟跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.解析答案返回证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.解析答案返回消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.返回所以直线BC的斜率为定值. 当堂检测123451.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为__________________.y2＝8x或y2＝－8x解析 设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.解析答案123452.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的
坐标为_____________.解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，
因此点P在线段OF的垂直平分线上，解析答案123453.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为 .解析 因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.解析答案设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.123454.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是________________.6x－4y－3＝0解析答案123455.已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.解析答案∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.课堂小结1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0).返回 有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
