课件26张PPT。2.6.1 曲线与方程第2章 2.6 曲线与方程1.了解曲线和方程的概念.
2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点 曲线的方程、方程的曲线答案如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线.思考 (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明.答案 如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界.如方程表示的曲线是半圆，而非整圆.(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？答案 若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；
若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.返回答案例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________.(填序号)
①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；
②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；
④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0. 题型探究 重点突破题型一 曲线与方程的概念答案③(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.解析答案反思与感悟解 ①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：
一是检验点的坐标是否适合方程；
二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.反思与感悟跟踪训练1 判断下列命题是否正确.
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是解析答案解 不正确.即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点.
因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.解析答案(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.解 不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解.然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.题型二 由方程判断其表示的曲线即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，
故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.解析答案反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.反思与感悟解析答案跟踪训练2 “(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？解 因为(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0，即2x＋3y－5＝0(x<10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x<10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.例3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围.题型三 曲线与方程关系的应用解析答案反思与感悟解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.反思与感悟跟踪训练3 (1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是________.解析答案解析 ∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，
则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，
∴a>1.a>1解析答案返回消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0).
l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，返回 当堂检测12345∴点M在曲线y2＝4x上时，解析答案必要不充分123452.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________.解析答案四个点123453.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________.(填序号)解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①；
对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；
对于③，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除③.④解析答案123454.已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为
________.解析答案123455.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________.解析答案解析 设M(x，y)，如图，由直角三角形的性质可知
PM＝MO，
即(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2，
∴x＋y－1＝0.x＋y－1＝0课堂小结1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.
2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.
3.方程表示的曲线的判断步骤：4.判断方程表示曲线的注意事项：
(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.
(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.返回课件26张PPT。第2章 2.6 曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.
2.掌握求轨迹方程的几种常用方法.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 坐标法和解析几何答案借助于坐标系，用 表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的 表示曲线，通过研究 间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫 .用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做_________.坐标方程f(x，y)＝0方程的性质解析几何
坐标法知识点二 解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的 ；
(2)通过曲线的方程，研究曲线的 .方程性质(1)建立适当的坐标系；
(2)设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；
(3)列出符合条件P(M)的方程 ；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点 .答案知识点三 求曲线的方程的一般步骤f(x，y)＝0都在曲线上思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？答案答案 可以省略.
如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明.另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程.(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案 不一样.
若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.返回例1 动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－ ，求动点M的轨迹方程. 题型探究 重点突破题型一 直接法求曲线方程解析答案反思与感悟反思与感悟解 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0).化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a).
∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a).直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少.反思与感悟跟踪训练1 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程.解析答案解 如图，设C(x，y)， ∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.
化简得x2＋y2＝1.
∵A、B、C三点要构成三角形，
∴A、B、C三点不共线，∴y≠0.
∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0).例2 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.题型二 定义法求曲线方程解析答案反思与感悟解 如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，∵∠OPC＝90°，如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.反思与感悟跟踪训练2 已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知解析答案所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，
故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.例3 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，点M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程.题型三 代入法求曲线方程解 设P(x，y)，M(x0，y0)，解析答案反思与感悟又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程.反思与感悟跟踪训练3 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程.解 设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
所以3y＝(3x－6)2＋3，
整理，得y＝3(x－2)2＋1.
故点M的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.解析答案求曲线方程忽略限制条件致错易错点例4 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解析答案返回错解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得OP2＝OM2＋MP2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，正解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得OP2＝OM2＋MP2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，返回∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.解析答案返回易错警示 当堂检测12345①一条直线 ②一条直线去掉一点
③一个点 ④两个点②解析 注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉.解析答案123452.到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为_____________.变形为：y2＝－8x＋8.y2＝－8x＋8解析答案123453.下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是________.(填序号)
①(2，－2) ②(4，－3)
③(3,10) ④(－2,5)解析 依次把四个点代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.③解析答案123454.在第四象限内，到原点的距离为2的点M的轨迹方程是________.(填序号)
①x2＋y2＝4 ②x2＋y2＝4(x>0)解析 设M(x，y)，由MO＝2得，x2＋y2＝4，解析答案④123455.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且PA＝1，则动点P的轨迹方程是__________________.解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，
则PB2＝PA2＋r2.
∴PB2＝2.
∴动点P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.(x－1)2＋y2＝2解析答案课堂小结1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.
2.一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等.
3.方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点.
4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.返回课件27张PPT。2.6.3 曲线的交点第2章 2.6 曲线与方程1.掌握直线与曲线的交点的求解方程.
2.会求曲线与曲线的交点问题.
3.会解决有关曲线的交点的实际应用.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 直线与曲线的交点答案求解直线与曲线的交点问题时通常将直线方程与曲线方程联立起来后得到一个二次方程.利用二次方程的判别式确定交点的个数.
Δ>0? 交点
Δ＝0? 交点
Δ<0? 交点一个无两个知识点二 曲线与曲线的交点(1)判断曲线与曲线的交点个数，通常将两曲线方程联立起来解方程组得交点坐标.
(2)可以将两条曲线画在同一坐标系内确定两曲线的交点个数.思考
1.直线与椭圆有几个交点？答案 两个交点、一个交点和无交点.2.直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答案 直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点.返回答案例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 题型探究 重点突破题型一 直线与曲线的交点问题解析答案反思与感悟①代入②整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.
∵Δ＝(12k)2－4×6(2＋3k2)＝24(3k2－2)，反思与感悟②直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x(或y)后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系.反思与感悟跟踪训练1 直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C分别相切、相交、相离？解析答案①式代入②式，并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
(1)当k≠0时，是一元二次方程，
∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切.
当Δ>0，即k<1时，l与C相交.
当Δ<0，即k>1时，l与C相离.
(2)当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交.
综上所述，当k<1时，l与C相交，当k＝1时，l与C相切，当k>1时，l与C相离.例2 顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为题型二 弦长问题求抛物线方程.解析答案反思与感悟解 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，解析答案反思与感悟消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.
∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.反思与感悟求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式反思与感悟较为简单.解析答案跟踪训练2 已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，若AB＝5，求实数b的值.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).∵x1、x2是关于x的方程①的两根，∴b2＝4，则b＝±2.
故所求b的值为±2. 例3 抛物线y2＝8x上有一点P(2,4)，以点P为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心恰好是抛物线的焦点，求QR所在的直线的方程.题型三 与弦的中点有关的问题解析答案反思与感悟解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0).反思与感悟∵F为△PQR的重心，∴QR的中点为M(2，－2)，如图所示.设Q(x1，y1)、R(x2，y2)，②∴QR所在直线的方程为y＋2＝－2(x－2)，即2x＋y－2＝0.又y1＋y2＝－4，本题设出Q、R的坐标，得出 再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它.反思与感悟跟踪训练3 直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，AB中点坐标为(3,2)，求直线l的方程.解析答案解 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.返回 当堂检测123451.以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________.解析答案123452.已知两条直线2x－y＋m＝0与x－y－1＝0的交点在曲线x2＋y2＝1上，则m的值为___________.得交点为(－m－1，－m－2)将交点代入方程x2＋y2＝1中得(－m－1)2＋(－m－2)2＝1，
化简得：m2＋3m＋2＝0，∴m＝－1或m＝－2.解析答案－1或－212345 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心
率e为________.解析答案123454.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦
点关于原点对称，离心率e＝ ，则此双曲线的方程是____________.解析答案解析 焦点坐标为(0,10)，
故c＝10，a＝6，b＝8.123455.抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________.解析答案解析 由抛物线方程x2＝－4y得p＝2，且焦点坐标为(0，－1)，
故A，B两点的纵坐标都为－1，从而AB＝|y1|＋|y2|＋p＝1＋1＋2＝4.4课堂小结1.解方程组时 ，若消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，这时，要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件).
2.求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组消去y，得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，设其两根为返回3.求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求).即设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是圆锥曲线mx2＋ny2＝1上两点，P0(x0，y0)是弦P1P2的中点，相减，得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
