课件27张PPT。第3章 3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.
2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 空间向量的概念答案在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有 又有_____的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的 或 .大小方向长度模知识点二 空间向量的加减法(1)加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如图)(2)运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).a＋ba－b答案(1)定义
实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当λ>0时，λa与a方向 ；当λ<0时，λa与a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
λa的长度是a的长度的|λ|倍.如图所示.答案知识点三 空间向量的数乘运算(2)运算律
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；
结合律：λ(μa)＝(λμ)a.相同相反答案知识点四 共线向量定理(1)共线向量的定义
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的 ，则这些向量叫做 或平行向量，记作a∥b.
(2)充要条件
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.`直线互相平行或重合共线向量思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.对吗？答案 正确.起点相同，终点也相同的两个向量相等.(2)零向量没有方向.对吗？答案 错误.不是没有方向，而是方向任意.(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致.对吗？答案 正确.返回答案例1 判断下列命题的真假.
(1)空间中任意两个单位向量必相等； 题型探究 重点突破题型一 空间向量的概念解析答案解 假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同.(2)方向相反的两个向量是相反向量；解 假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.(3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；解 假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.反思与感悟解析答案空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.反思与感悟跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，解析答案题型二 空间向量的线性运算解析答案反思与感悟反思与感悟答案 ①②运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.反思与感悟解析答案答案 ①②③④题型三 空间向量的共线问题解析答案反思与感悟∴k＝－8.灵活应用共线向量定理，正确列出比例式.反思与感悟＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，又∵B为两向量的公共点，
∴A、B、D三点共线.返回解析答案 当堂检测123451.两个非零向量的模相等是两个向量相等的_____________条件.必要不充分解析 a＝b ? |a|＝|b|；|a|＝|b| a＝b.解析答案?12345解析答案7123453.下列说法中正确的是________.(填序号)
①若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③空间向量的减法满足结合律；解析答案解析 若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故①不正确；
相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；
空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；②12345解析答案12345解析答案答案 ①123455.下列命题中正确的个数是________.
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若a，b，c为任意向量，则(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内.3解析答案解析 由单位向量的定义知|a|＝|b|＝1，故①正确；
因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；
由向量加法运算律知③正确；
在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确.课堂小结1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解.
2.向量可以平移，任意两个向量都可以平移到同一个平面内.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.返回课件28张PPT。第3章 3.1 空间向量及其运算3.1.2 共面向量定理1.了解共面向量等概念.
2.理解空间向量共面的充要条件.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 共面向量答案 叫做共面向量.能平移到同一平面内的向量化知识点二 共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是
______________________________________，即向量p可以由两个不
共线的向量a，
b线性表示.存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb .C、D共面答案知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、且x、y、z满足x＋y＋z＝1，则 A、B、思考
1.空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答案 一定共面，反之不成立.2.空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答案 空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量
基本定理.返回例1 已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足 题型探究 重点突破题型一 应用共面向量定理证明点共面解析答案(2)判断点M是否在平面ABC内.解析答案反思与感悟∴M、A、B、C共面.即点M在平面ABC内.利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面.反思与感悟解析答案∴A、B、C、D四点共面.例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.题型二 应用共面向量定理证明线面平行解析答案反思与感悟反思与感悟又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明过程和证明步骤.反思与感悟解析答案求证：MN∥平面ABB1A1.＝(1－k)a－kc.又a与c不共线.又MN不在平面ABB1A1内，
∴MN∥平面ABB1A1.例3 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.题型三 向量共线、共面的综合应用解析答案反思与感悟解 分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.解析答案∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，由题意知四边形MNQR是平行四边形，反思与感悟由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.反思与感悟利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.反思与感悟解析答案求证：(1)A、B、C、D四点共面，
E、F、G、H四点共面；解析答案返回解析答案 当堂检测123451.设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则λ＝________，μ＝________.解析答案解析 ∵a，b是两个不共线的向量，
∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝0.00123452.给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为________.解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；
②真命题.这是关于零向量的方向的规定；
③假命题.当b＝0时，则有无数多个λ使之成立.1解析答案12345解析答案123454.下列命题中，正确命题的个数为________.
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R).解析 当a，b中有零向量时，①不正确；0解析答案由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.123455.空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是____________.解析答案解析 如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；
若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面.共面向量课堂小结共面向量定理的应用：
(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面.
(2)空间中四点共面的条件
空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， 实质就是面MAB内平面向量的一组基底.返回①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用.课件28张PPT。第3章 3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3.掌握空间向量线性运算的坐标运算.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 空间向量基本定理答案(1)定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)基底与基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个 ，e1，e2，e3叫做 .空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基向量基底(3)正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是 ，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是 时，称这个基底为单位正交基底，通常用___________表示.
(4)推论
设O，A，B，C是 的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的
有序实数组(x，y，z)，使得答案两两互相垂直单位向量不共面{i，j，k}空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别为x，y，z轴方向上的 ，对于空间任意一个向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，则有序实数组________叫向量a在空间直角坐标系中的坐标.
特别地，若A(x，y，z)，则向量 的坐标为 .(x，y，z)(x，y，z)单位向量答案知识点二 空间向量的坐标表示知识点三 坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝ ；
a－b＝ ；
λa＝ (λ∈R).
a∥b(a≠0)?______________， ， (λ∈R).(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)b1＝λa1b2＝λa2b3＝λa3答案思考 (1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？答案返回答案 空间向量的坐标运算多3个竖坐标.(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？ 题型探究 重点突破题型一 空间向量的基底解析答案反思与感悟反思与感悟∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.反思与感悟解析答案③题型二 用基底表示向量解析答案反思与感悟反思与感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；
(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.反思与感悟解析答案解 如右图，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中连结AC，AD1，解析答案例3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量 的坐标.题型三 空间向量的坐标表示解析答案反思与感悟解 以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如下图所示，建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示.反思与感悟跟踪训练3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量 的坐标.解析答案返回解 如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，
且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.返回 当堂检测123451.已知A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为________.解析答案解析 ∵A与A′关于x轴对称，2,10,7123452.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是________.(填序号)
①(2,0，－4) ②(3,6，－12)
③(1,1，－2) ④(0，，－1)④解析答案123453.已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是________.(填序号)
①2a； ②－b； ③c； ④a＋c.解析 ∵p＝2a－b，q＝a＋b，
∴p与q共面，a、b共面.
而c与a、b不共面，
∴c与p、q可以构成另一个基底，
同理a＋c与p、q也可构成一组基底.解析答案③④123454.如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分
别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.解析 ∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，(－2,0,1)解析答案(1,1,2)12345解析答案课堂小结1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底惟一表示.
2.向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示.在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.返回课件27张PPT。第3章 3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量的数量积1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.
2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 空间向量的夹角答案〈a，b〉[0，π]⊥(2)数量积的运算律知识点二 空间向量的数量积(1)定义
已知两个非零向量a，b，________________叫做a，b的数量积，记作___则|a||b|cos〈a，b〉答案a·b.(3)数量积的性质返回例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的
每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是
AB，AD的中点，计算： 题型探究 重点突破题型一 空间向量的数量积运算解析答案解析答案解析答案反思与感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.反思与感悟跟踪训练1 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.解析答案解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，－13例2 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，题型二 利用数量积求夹角解析答案反思与感悟求OA与BC所成角的余弦值.反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.反思与感悟跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD
的每条棱长都等于a，点M，N分别是
AB，CD的中点，
求证：MN⊥AB，MN⊥CD.解析答案例3 正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长.题型三 利用数量积求距离解析答案反思与感悟解析答案由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.反思与感悟＝1＋1＋4－1＝5，反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ 求解即可.反思与感悟跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.解析答案返回返回 当堂检测123451.若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的____________条件.解析答案解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立.充分不必要123452.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|＝________.解析 ∵|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2解析答案123453.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是________.(填序号)
①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④若a·b＝a·c，则b＝c.解析 对于①，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于③，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于④，a·b＝a·c可以移项整理得a·(b－c)＝0.②解析答案12345解析答案解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左、右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.112345解析答案5.若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝________.将①×2－②得，2a2－b2＝0，
∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，课堂小结求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.返回
