课件26张PPT。第3章 3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.
2.会用待定系数法求平面的法向量.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 直线的方向向量答案直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的 . 知识点二 平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 平面α，记作 ，此时，我们把向量n叫做平面α的 .思考
1.平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案 相互平行.2.一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等.方向向量垂直于法向量返回n⊥α例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝
(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 题型探究 重点突破题型一 直线的方向向量及其应用解析 由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，
所以m＝2.2解析答案反思与感悟若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行.反思与感悟跟踪训练1 若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________.解析答案解析 因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，
所以a⊥b，从而l1⊥l2.垂直例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.题型二 求平面的法向量解析答案反思与感悟解 如图，以A为原点，以 分别为
x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，解析答案反思与感悟取x＝2，则y＝－1，z＝1，
∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1).反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，反思与感悟(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量.解析答案解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1).例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.题型三 证明平面的法向量解析答案反思与感悟证明 如图，以D为坐标原点DA，DC，DD1
分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，解析答案反思与感悟反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.反思与感悟解析答案解 建立如图所示的空间直角坐标系，设F(0,0，h)，E(m,1,1)，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，故存在，且E、F满足D1F＝CE.利用向量法判断直线与平面平行易错点例4 已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是_____________.解析答案返回错解 因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，
所以u⊥a，所以l∥α.错因分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量u⊥a可得l?α或l∥α.正解 因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)
＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.
所以u⊥a，所以l?α或l∥α.l?α或l∥α 当堂检测123451.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2，
则x＝________，y＝________.解析答案6123452.在正方体ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的
向量中，是平面A1B1CD的法向量的是____________________.答案123453.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________.
①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8)解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.解析答案②12345解析答案－8123455.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________.(填序号)解析答案解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，②③课堂小结1.直线的方向向量的应用
利用方向向量可以确定空间中的直线.若有直线l，点A为直线上的点， 这样，点A和向量a不仅可以确定直
线l的位置还可以具体地表示出直线l上的任意点.2.平面的法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).
(3)根据法向量的定义建立关于x、返回(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量.课件30张PPT。第3章 3.2 空间向量的应用3.2.2 空间线面关系的判定（一）
平行关系1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
2.能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.
3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点 空间平行关系的向量表示答案(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?a＝λb?______________________________.
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a⊥u?a·u＝0? .a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0答案(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?u＝λv?_________________________________________.思考
1.用向量法如何证明线面平行？答案 证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.2.直线l的方向向量是惟一的吗？答案 不惟一.返回a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)例1 已知直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3).
证明：l1∥l2. 题型探究 重点突破题型一 证明线线平行问题证明 ∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，解析答案反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.反思与感悟跟踪训练1 已知在四面体ABCD中，G、H分别是△ABC和△ACD的重心，则GH与BD的位置关系是________.解析答案平行所以GH∥EF，所以GH∥BD.例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.题型二 证明线面平行问题解析答案反思与感悟证明 如图所示，建立空间直角坐标系，
D是坐标原点，设PD＝DC＝a.因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，解析答案方法一 连结AC，交BD于点G，连结EG，反思与感悟而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟所以PA∥平面BDE.反思与感悟通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定
是否存在的问题.反思与感悟跟踪训练2 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.解析答案解 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，解析答案如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).
不妨令P(0,0，t)，设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，设点G的坐标为(0,0，m)，例3 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系.题型三 证明平面和平面平行问题解析答案反思与感悟解 如图，建立空间直角坐标系D—xyz，
设正方体的棱长为2，解析答案反思与感悟易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，
M(1,2,1)，N(0,1,1).设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG，平面HMN的法向量，反思与感悟令x1＝1，得m＝(1，－1，－1).令x2＝1，得n＝(1，－1，－1).∴m＝n，故m∥n，
即平面EFG∥平面HMN.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).反思与感悟解析答案跟踪训练3 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为
(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，4返回 当堂检测123451.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是________.(填序号)
①(2,2,6) ②(－1,1,3)
③(3,1,1) ④(－3,0,1)解析答案解析 ∵A，B在直线l上，①123452.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则下列结论正确的是________.(填序号)
①l∥α ②l?α
③l⊥α ④l?α或l∥α解析 ∵a·b＝0，∴l?α或l∥α.④解析答案123453.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是________.所以AB∥平面yOz.解析答案平面yOz4.若平面α、β的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________.12345解析答案平行解析 ∵n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β.123455.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论中正确的是__________.(填序号)解析答案12345∴A1M∥D1P.
∵D1P?平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.
又D1P?平面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行.答案 ①③④课堂小结用向量方法证明空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即
a＝kb (k∈R).
(2)线面平行
①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
(3)面面平行
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.返回课件31张PPT。第3章 3.2 空间向量的应用3.2.2 空间线面关系的判定（二）
垂直关系1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.
2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点 空间垂直关系的向量表示答案思考
1.用向量法如何证明线面垂直？答案 证直线的方向向量与平面的法向量平行.2.平面α上的向量a与平面β上的向量b垂直，能判断α⊥β吗？答案 不能.返回例1 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC. 题型探究 重点突破题型一 证明线线垂直问题解析答案反思与感悟证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC
内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线
为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.反思与感悟跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.求证AE⊥CD.解析答案证明 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1).
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形.例2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.题型二 证明线面垂直问题解析答案反思与感悟证明 方法一 设正方体的棱长为2，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).解析答案＝(－1，－1，1).＝(0,2,2)，反思与感悟＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.解析答案∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1?平面B1AC，AC?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.反思与感悟同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，AB1?平面B1AC，B1C?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.反思与感悟本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.反思与感悟跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.解析答案解析答案证明 方法一 如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.方法二 同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，例3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.题型三 证明面面垂直问题解析答案反思与感悟证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，反思与感悟又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.反思与感悟解析答案跟踪训练3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，
AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.返回解析答案证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，
以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线
为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，令c＝4，得a＝1，b＝－1.
故n2＝(1，－1,4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.返回令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)， 当堂检测123451.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝________.解析答案解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.－5123452.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.解析 ∵l1⊥l2，∴a·b＝0，
∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.10解析答案123453.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________.(填序号)
①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)
②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)
③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)
④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)解析答案①解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，
∴n1·n2＝0，故填①.12345解析答案4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为________.解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.l⊥α123455.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.解析答案解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0，
∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.－4课堂小结正确应用向量方法解决空间中的垂直关系
(1)线线垂直
设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只要证明a⊥b，即a·b＝0.
(2)线面垂直
①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥α，只需证明a∥u.
②根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.即：
设a、b在平面α内(或与平面α平行)且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则l⊥α?c⊥a且c⊥b?a·c＝b·c＝0.
(3)面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.返回课件36张PPT。第3章 3.2 空间向量的应用3.2.3 空间的角的计算1.理解直线与平面所成角的概念.
2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 两条异面直线所成的角(1)定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做a与b所成的角.
(2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是(3)向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝ .(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.
(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤ .
(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面
所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有知识点二 直线与平面所成的角知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：[0，π].
(2)二面角的向量求法：
①若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量 与 的夹角.
②设n1、n2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.返回例1 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值. 题型探究 重点突破题型一 两条异面直线所成角的向量求法解析答案反思与感悟解 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为
x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，反思与感悟则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，
A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.反思与感悟跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置.解析答案解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，
以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示.设E(1，t,0)(0≤t≤2)，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点.题型二 直线与平面所成角的向量求法解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟解 建立如图所示的空间直角坐标系，设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z).反思与感悟设BC1与平面AMC1所成的角为θ，借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系.反思与感悟跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为
2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱
锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面
ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
(1)求证：AB∥FG；
解析答案证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB?平面PDE，DE?平面PDE，
所以AB∥平面PDE.
因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，
所以AB∥FG.(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.解析答案解析答案解 因为PA⊥底面ABCDE，
所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设平面ABF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则解析答案设直线BC与平面ABF所成角为α，令z＝1，则y＝－1，所以n＝(0，－1,1).设点H的坐标为(u，v，w).即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，
所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有
棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，
四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；题型三 二面角的向量求法解析答案证明 因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.
同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，
且AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，
因此CC1⊥底面ABCD.由题意知，O1O∥C1C，
故O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值.解析答案反思与感悟解析答案解 因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分
别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
不妨设AB＝2.易知，n1＝(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.
设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，反思与感悟反思与感悟设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图.反思与感悟用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.
(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝ .
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.跟踪训练3 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值.解析答案返回解 如图所示，取BC中点O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.解析答案解析答案又BD∩BA1＝B，BD?平面A1BD，BA1?平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD，又因为二面角AA1DB为锐角，返回 当堂检测123451.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，
若cos〈m，n〉＝－ ，则直线l与平面α所成的角为________.解析答案30°123452.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________________.∴二面角的大小为45°或135°.45°或135°解析答案12345解析答案解析 建立如图所示的空间直角坐标系，即AB1与C1B所成角的大小为90°.答案 90°12345123454.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为____.解析 设正方体的棱长为1，建系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).解析答案123455.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面
直线A1B与B1C所成角的余弦值为________.解析答案解析 如图，建立空间直角坐标系.由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3).课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.返回
