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2017年中考数学满分答题策略
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一 化简求值
★阅卷案例
(2016·金华中考·T19)先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x(3-x),其中x=2.
【标准答案】
原式=x2-1+3x-x2 ……………………… 4分
=3x-1, …………………………… 5分
当x=2时,原式=3×2-1=5.
………………………………………… 6分
★阅卷案例
(2016·金华中考·T21)
先化简,再求值:
【标准答案】
原式= …………………………2分
………………………………3分
= ……………………………………… 4分
当x= 时,原式= …………………5分
= .……………………………………6分
★阅卷现场·评分细则
整式化简求值解题步骤的得分点及踩点说明
得分点:
①正确去括号,得4分;
②合并同类项正确,得1分;
③正确代入,并计算正确,得1分.
踩点说明:
(1)去括号
①利用乘法分配律去括号,一定注意不要漏乘某一项;
②去括号时一定注意符号问题.
(2)合并同类项
①同类项是指所含字母及其指数相同的项;
②合并同类项只需把系数相加减,相同字母及其指数不变.
(3)正确代入,并计算正确
①注意代入格式为:“当……时,原式=化简式=代入数值=计算结果”;
②计算结果一定最简.
分式化简求值解题步骤的得分点及踩点说明
得分点:
①正确化简分式,得4分;
②正确代入,并计算正确,得2分.
踩点说明:
①分式的化简就是利用分式的加减乘除法则进行;
②分式混合运算一定注意运算顺序.
★满分答题规则
从得分点可以得出以下启示:
(1)阅卷只看要点,关键步骤,有则给分,无则没分,规范答卷少丢分.
(2)评分标准定的非常细,评分是分步骤,踩点给分的.
(3)不求巧妙用通法,狠抓基础保成绩.
(4)卷面干净整洁,书写简明扼要.
规则1 得步骤分:是得分点的步骤,有则给分,无则没分
关键步骤是解题方法的体现、是得分的主要依据,有则得分,无则不得分.
①整式化简能正确去括号,及整式的乘除、乘方运算即可得分;
②分式化简,乘除时只要能把分式分子分母分解因式即可得分;
③分式除法能变成乘法且把除式变倒数即可得分;
规则2 通性通法得分
①化简求值的基本思路是先化简再求值;
②化简求值只要计算过程有正确步骤,就一定会得分.
二 方程(组)、不等式(组)解法
★阅卷案例
(2016·乐山中考·T20)解方程:
【标准答案】
方程两边同乘x-2,得1-3(x-2)=-(x-1),即1-3x+6=-x+1,
……………………………………………4分
整理得:-2x=-6,
解得:x=3,………………………………6分
检验,当x=3时,x-2≠0,
则原方程的解为x=3.……………………7分
★阅卷案例
(2016·威海中考·T19)解不等式组,并把解集表示在数轴上.
【标准答案】由①得:x≥-1,………………2分
由②得:x<- ,……………………………4分
∴不等式组的解集为-1≤x< , …………5分
表示在数轴上,如图所示:
…………………………………………………7分
★阅卷案例
(2016·厦门中考·T18)解方程组:
【标准答案】
②-①得3x=-9,………………………………………2分
解得x=-3,…………………………………………3分
把x=-3代入x+y=1中,求出y=4,…………………5分
即方程组的解为
……………………………………………………7分
★阅卷现场·评分细则
分式方程解题步骤的得分点及踩点说明
得分点:
①最简公分母确定正确,得1分;
②分式方程转化为整式方程正确,得3分;
③解整式方程正确,得2分;
④检验正确,得1分,漏检验扣1分.
踩点说明:
(1)分式方程转化为整式方程:
变形依据是等式的基本性质,分式方程的每一项都要乘以最简公分母,漏乘项或符号变形错误不得分.
(2)检验:
①同“一元一次方程”的检验方式,即验证解方程的正确率,口算检验即可,不是得分点;
②将解得的整式方程的根代入最简公分母检验,是得分点,漏“检验”的应扣1分.
不等式组解题步骤的得分点及踩点说明
得分点:
①正确求出两个不等式解集的得4分,解错一个,扣2分;
②正确确定不等式组的解集,得1分;
③在数轴上正确表示解集,得2分.
踩点说明:
(1)一元一次不等式组的解法:
①组成不等式组的两个不等式是各自独立的个体,分别注明序号,以区别两个不等式;
②分别对两个不等式求解.
(2)不等式组解集的确定方法:
①数轴确定法;②口诀确定法,描述正确的,都可得分.
二元一次方程组解题步骤的得分点及踩点说明
得分点:
(1)消元方法得分,采用代入消元法或加减消元法将方程变形正确,得2分.
(2)解一元一次方程正确,得3分.
(3)把原方程组的解表示为 的形式,得2分.
踩点说明:
代入消元:消掉的未知数无具体要求,一般消掉系数较简单的未知数,变形无错即可得分.
★满分答题规则
规则1 关键步骤得分:关键步骤是解题方法的体现、是得分的重要依据,有则给分,无则没分
(1)解分式方程通过去分母,将分式方程转化为整式方程,整式方程正确即可得分;缺少检验步骤应扣分.
(2)解一元一次不等式组要分别对两个不等式求解,每个解集正确分别得分;确定不等式组解集正确得满分,不写出不等式组解集或不等式组解集错误应扣分.
(3)解二元一次方程组的消元思想,无论采用“代入法”或“加减法”消元正确都得分.解得其中一个未知数的值得相应的分数,不写出方程组的解或方程组的解书写错误均不得分.把求出的未知数的值弄混不得分.
规则2 通性通法得分
(1)解分式方程的基本思路,即通过去分母使分式方程化为整式方程,求出整式方程的解,并且要进行检验,解分式方程检验是必不可少的步骤.
(2)解不等式组的基本思路,分别解不等式组中的两个不等式,再确定不等式组解集;确定不等式组的解集借助于数轴.
(3)解二元一次方程组的基本思路是消元,消元的方法有代入法和加减法.有时需要先将原方程组进行化简,然后再选择适当的方法求解.
易错不得分点:
(1)解分式方程:①去分母漏乘项现象;
②去括号、合并时变号错误;
③漏书面检验的都不得分.
(2)解不等式时,不等号方向变化错误“不等式的两边都乘或除以同一个负数时,不等号的方向要改变”,很多学生往往忘记“变方向”,容易在此犯错误而丢分.
(3)解二元一次方程组:①消元错误;②求出一个未知数后的代入错误;③加减消元时,未知数的系数不对应,出现消元错误.一处出现错误往往影响全局,导致个别步骤扣分,甚至整道题目不得分.
三 情景信息题
★阅卷案例
(2016·苏州中考·T22)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆,现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆
【标准答案】
方法一:设中型车有x辆,小型车有y辆,根据题意,得
…………………………………………………1分
…………………………………3分
解得 …………………………………5分
答:中型车有20辆,小型车有30辆.…………6分
方法二:设中型车有x辆,则小型车有(50-x)辆,根据题意,得 …………………………………… 1分
12x+8(50-x)=480………………………………3分
解得x=20,
∴50-x=50-20=30………………………………… 5分
答:中型车有20辆,小型车有30辆.………………6分
★阅卷现场·评分细则
得分点及踩点说明
得分点:
①正确设出未知数,得1分;
②正确列出相等关系式(关系式因“设”的条件不同而不同)或方程组的,得2分;
③正确解答方程或方程组,并写出“答”的,得3分,漏写“答”的,扣1分.
踩点说明:
(1)设未知数的形式:
①双设法,即同时设中型车和小型车辆数两个未知数,如方法一得1分;
②单设法,即单设中型车或小型车辆数,如方法二得1分.
(2)列关系式的形式:
①根据题意及所设未知数的个数为2个列出二元一次方程组,得2分;
②根据题意及所设未知数的个数为1个列出一元一次方程,得2分.
(3)方程解答:
方程解答的具体过程不是得分点,而方程或方程组的解是得分点,得3分.
(4)题型特点:利用方程或方程组解决“应用题”中,“答”是必不可少的环节,漏“答”的一般扣1分.
★满分答题规则
规则1 得步骤分:是得分点的步骤,有则给分,无则没分
①“设”:未知数的设法符合题意,就可得分;
②“列”:方法二所列的一元一次方程对就可得分;方法一所列方程组中的两个二元一次方程全对才得分;
③“解”:方程、方程组解答正确,就可得分;
④“答”:漏“答”的应扣分.
因此还是分步骤写过程容易得分.
规则2 得分关键点:解答过程的关键点,有则给分,无则没分
①方法一根据题目信息及设未知数个数所列关系式应该为等式,即所列等式为二元一次方程组,可得分;
②方法二未知数为一个,所以所列等式应该为一元一次方程,即可得分.
规则3 通性通法得分
解应用题的一般步骤为:审、设、找、列、解、验、答,七步,其中“审”“找”不必在解答过程中体现,若所列方程不是分式方程“验”也可不必在解答过程中呈现;设(未知数)、列(方程或方程组)、求解、写出答案是得分点;解得方程或方程组过程不是得分点,可以省略,但是方程或方程组的解必须正确方可得分.
规则4 最终结果要求:解应用题最后要有“答”
应用题必须有“答”,否则扣1分;如果列出的方程是分式方程,还必须要进行检验,否则一般扣1分.
四 几何推理证明题
★阅卷案例
(2016·聊城中考·T20)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证:四边形ADCF是菱形.
【标准答案】
∵AF∥CD,
∴∠AFE=∠CDE,∠EAF=∠ECD,又E是AC的中点,
∴AE=CE
在△AFE和△CDE中,
∴△AEF≌△CED,…………………………………2分
∴AF=CD,
∴四边形ADCF是平行四边形,……………………4分
由题意知,AE=AB,∠EAD=∠BAD,AD=AD,
∴△AED≌△ABD.…………………………………6分
∴∠AED=∠B=90°,
即DF⊥AC,
∴四边形ADCF是菱形.………………………8分
★阅卷现场·评分细则
得分点及踩点说明
得分点:
①推理证明△AEF≌△CED,是得分点;
②推理证明四边形ADCF是平行四边形,是得分点;
③推理证明△AED≌△ABD,是得分点;
④利用全等推证四边形ADCF是菱形,是得分点.
踩点说明:
①合理证明△AEF≌△CED,可得2分;
②推证四边形ADCF是平行四边形可得2分;
③合理证明△AED≌△ABD,可得2分;
④利用全等证明DF⊥AC可得2分.
★满分答题规则
规则1 得分关键:“识图”
“识图”是几何推理证明的关键,识图的目的是找出图中隐含的条件:公共角(边)、对顶角等,正确合理地识图能够简化推理的过程,提高正确率.
规则2 合情推理得分
合情推理是对图形性质的应用,推理证明过程合理给分,不合理没分.
如E是AC的中点→EA=EC;
AF∥BC→∠AFE=∠CDE,∠EAF=∠ECD;
△AEF≌△CED→AF=CD.
规则3 关键步骤得分
关键步骤是解题方法的体现、是得分的重要依据,有则给分,无则没分.
①“全等”推理证明:
本题△AEF≌△CED的证明,不只限于“AAS”,用“ASA”也得分;
②“平行四边形”推理证明:
采用通过推理证明△AEF≌△CED,得AF CD或“对角
线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形
的都可得分;
③“菱形”推理证明:
本题只限于“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,
其他方法不得分.
规则4 通性通法得分
①三角形全等的判定:
方法有:SAS、ASA、AAS、SSS以及Rt△HL.
②平行四边形判定
本题采用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,平行四边形的证明还可以从对角线等其他角度进行证明,在具体题目中要灵活选择.
③菱形的判定:
菱形的判定方法多种多样,在具体证明中,一定要结合具体题目合理选择最优证明方法.
五 图表信息题
★阅卷案例
(2016·桂林中考·T22)某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分15分,成绩均记为整数分),并按测试成绩(单位:分)分成四类:A类(12≤m≤15),B类(9≤m≤11),C类(6≤m≤8),D类(m≤5)绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)本次抽取样本容量为_______,扇形统计图中A类所对的圆心角是_______度.
(2)请补全统计图.
(3)若该校九年级男生有300名,请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名
【标准答案】
(1)由题意可得,
抽取的学生数为:10÷20%=50,
扇形统计图中A类所对的圆心角是:360°×20%=72°.
答案:50 72…………………………………2分
(2)C类学生数为:
50-10-22-3=15,
C类占抽取样本的百分比为:
15÷50×100%=30%,
D类占抽取样本的百分比为:
3÷50×100%=6%,
补全的统计图如图所示,
…………………………………6分
(3)300×30%=90(名)
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名.…………………………………………………8分
★阅卷现场·评分细则
第(1)小题得分点及踩点说明
得分点:
①计算样本容量;
②计算A类圆心角度数.
踩点说明:
①根据A或B的具体人数除以相应的百分比得样本容量得1分;
②由360°乘以A类百分比得A类圆心角度数得1分,
第(2)小题得分点及踩点说明
得分点:
①计算C类人数并画出条形统计图;
②计算C类和D类所占百分比.
踩点说明:
①根据样本容量和A,B,D类人数计算C类人数并画出条形统计图得1分;(小矩形宽与其他矩形基本相同,高大致是15即可)
②根据C,D类具体人数与样本容量的商计算C类和D类所占百分比得3分;
第(3)小题得分点及踩点说明
得分点:
用样本估计总体得出该校引体向上人数是得分点.
踩点说明:
列出算式300×30%得1分,结果正确及作答得1分.
★满分答题规则
规则1 读图、析图助于得分
(1)由扇形统计图表示的A,B类的百分比和条形统计图表示A,B,D类的具体人数.
(2)分析两个统计图之间的关系,防止顾此失彼,如根据A或B类的百分比和具体人数可计算样本容量
规则2 统计图中相关量的常用方法和得分技巧
(1)扇形统计图中各部分百分比的和是1,故1减去其他各部分百分比可计算某一部分百分比.
(2)样本容量减去条形统计图中其他部分的频数可得某一部分的频数.
(3)用样本估计总体时,样本中某部分所占的百分比是总体中该部分所占百分比,一般用总体数量乘以这个百分比来求解.
(4)某部分在扇形统计图中所对圆心角可以用360°乘以这部分的百分比来解答.
规则3 通性通法
(1)扇形统计图中的形式特点:百分比形式,每组数据在总体中所占百分比之和为1,故1减去其他百分比即是该部分百分比.
(2)条形统计图可以反映每组数据的具体数量.
(3)根据条形统计图中某部分的具体数量与扇形统计图中该部分的百分比的商计算样本容量是解答此类题目的前提.
六 压轴题得分“潜规则”
★阅卷案例
(2016·安顺中考·T26)如图,抛物线经过A(-1,0), B(5,0), 三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标.
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形 若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【标准答案】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵A(-1,0),B(5,0), 三点在抛物线上,
∴ …………………………………1分
解得
∴抛物线的解析式为: ……………3分
(2)∵抛物线的解析式为: ,∴其对称轴为直线x= …………………4分
连接BC,如图1所示,
∵B(5,0), ,
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴ ………………………………………6分
解得
∴直线BC的解析式为
…………………………………………………7分
当x=2时,y=
∴ …………………………………8分
(3)存在.………………………………………9分
如图2所示,
①当点N在x轴下方时,
∵抛物线的对称轴为直线x=2,
……………………………11分
②当点N在x轴上方时,
如图,过点N2作N2D⊥x轴于点D,
在△AN2D与△M2CO中,
∴△AN2D≌△M2CO,
∴N2D=OC= ,即N2点的纵坐标为 .……………12分
∴ …………………………………13分
解得
综上所述,符合条件的点N的坐标为
………………………………………14分
★阅卷现场·评分细则
压轴题得分点及踩点说明
评分本着“给一分有理,扣一分有据”的原则,寻找得分点,通过“按步”得分“踩点”得分.
第(1)小题得分点及踩点说明
得分点:
①将点A,B,C三点坐标代入y=ax2+bx+c得三元一次方程组是得分点;
②正确解方程组是得分点.
踩点说明:
①正确将点A,B,C三点坐标代入y=ax2+bx+c得三元一次方程组得1分;
②正确解三元一次方程组得2分.
第(2)小题得分点及踩点说明
得分点:
①确定抛物线对称轴;
②确定直线BC表达式;
③确定BC与对称轴交点坐标.
踩点说明:
①正确确定抛物线对称轴得1分;
②正确确定直线BC表达式得3分;
③正确确定直线BC与抛物线对称轴交点得1分.
第(3)小题得分点及踩点说明
得分点:
①判断点N是否存在;
②分类讨论点N的位置并确定点N的坐标.
踩点说明:
①判断点N存在得1分;
②当点N在x轴下方时,确定点N的坐标较简单,得2分;
③当点N在x轴上方时,证明△AN2D≌△M2CO得1分,找出
N2D=OC= 并列出方程 得1分,正确解方
程确定点N坐标得1分.
★满分答题规则
中考压轴题一般遵循多问解答模式,第一问是对基础知识的考查难易程度——容易,易得分,切不可轻言放弃;第二问是对第一问知识点的简单应用或简单拓展,难易程度——中等;第三问一般是第一、二问基础上的一个开放探究题型,难易程度——偏难,分数努力争取,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性.
分段得分:
①中考压轴题并不是“一点不懂”,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,如第一问的计算函数表达式;
②中考的评分是按照题目考查知识点分段评分,扣上知识点即可得分,如第二问,连接BC、列出确定BC表达式的方程组都会得到相应的分数.
猜想得分:
①压轴题第三问一般是猜想并证明、解答形式,如数量关系猜想,位置关系猜想,存在性问题猜想,要敢于猜想,敢于下结论,如存在性问题,一般是“存在”.
②存在性问题,可在坐标系中画出满足条件的草图,根据存在图形的边角性质确定某些结论,如本题第三问第一种情况,只要画出以AC为边的平行四边形,容易猜想确定点N的纵坐标,即使表达过程不严密,也会有相应得分.
通性通法得分
①待定系数法确定函数表达式;
②逆向思维应用,先假设结论成立,在此基础上推理应满足的条件,再下结论,如本题第三问;
③分类讨论思想应用.存在性问题往往有多种情况,应选择某种标准分类考虑,如本题第三问分点在x轴上、下两种可能来解答.
谢 谢！
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解答题高分练(一)
分式的运算
1.计算:+.
【解析】+=+==1.
2.计算:÷.
【解析】原式=×=-.
3.计算:÷.
【解析】原式=÷
=÷
=÷=÷
=·=-.
4.先化简,再求值:·,其中a=-2.
【解析】原式=·=2a+4.
当a=-2时,
原式=2.
5.先化简,再求值:÷,其中x=-1.
【解析】原式=·
=.
当x=-1时,原式=1.
6.先将÷化简,然后请你选取一个你喜欢且又合理的x的值,求原式的值.
【解析】原式=×
=×=.
若x=4代入得,原式=2.
解答题高分练(二)
方程(组)
1.解方程:+=1.
【解析】方程两边都乘以x(x-1),得
x2+2(x-1)=x(x-1),
解这个方程,得x=.
经检验,x=是原方程的根.
∴原方程的根是x=.
2.解方程:(x-1)2+2x-3=0.
【解析】展开,得x2-2x+1+2x-3=0.
整理,得x2-2=0.即x2=2.
∴x1=,x2=-.
3.七(1)班的大课间活动丰富多彩,小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内,小峰跳了100个,小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个,试求出小峰每分钟跳绳多少个 2·1·c·n·j·y
【解析】设小峰每分钟跳绳x个,则=,
解得x=50.
检验:x=50时,x(x+20)=3500≠0.
∴x=50是原方程的解,且满足题意.
答:小峰每分钟跳绳50个.
4.湘西以“椪柑之乡”著称,在椪柑收获季节的某星期天,青山中学抽调八年级(1)(2)两班部分学生去果园帮助村民采摘椪柑,其中,八年级(1)班抽调男同学2人,女同学8人,共摘得椪柑840千克;八年级(2)班抽调男同学4人,女同学6人,共摘得椪柑880千克,问这天被抽调的同学中,男同学每人平均摘椪柑多少千克 女同学每人平均摘椪柑多少千克 21·cn·jy·com
【解析】设男同学每人平均摘椪柑x千克,女同学每人平均摘椪柑y千克.
由题意,得解得
答:男同学每人平均摘椪柑100千克,女同学每人平均摘椪柑80千克.
5.益趣玩具店购进一种儿童玩具,计划每个售价36元,能盈利80%,在销售中出现了滞销,于是先后两次降价,售价降为25元.
(1)求这种玩具的进价.
(2)求平均每次降价的百分率(精确到0.1%).
【解析】(1)36÷(1+80%)=20元.
故这种玩具的进价为每个20元.
(2)设平均每次降价的百分率为x.
36(1-x)2=25,
x≈16.7%.
故平均每次降价的百分率16.7%.
6.某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.
(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元
【解析】(1)∵30000÷5000=6,
∴能租出30-6=24间.
(2)设每间商铺的年租金增加x万元,则
×(10+x)-×1-×0.5=275,
整理,得2x2-11x+5=0,
解得x=5或0.5.
∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.
解答题高分练(三)
不等式(组)
1.解不等式:2x-3<.
【解析】去分母,得3(2x-3)去括号,得6x-9移项合并同类项,得5x<10.
系数化为1,得x<2.
∴原不等式的解集为x<2.
2.解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
【解析】由①得,x<1,由②得,x≥-,故原不等式组的解集为:-≤x<1.
在数轴上表示为:
3.解不等式组并写出它的所有整数解.
【解析】
由①得:x<-2,由②得:x≥-5,
∴不等式组的解集是-5≤x<-2.
它的所有整数解是-5,-4,-3.
4.襄江中学组织九年级部分学生到古隆中参观,租用的客车有50座和30座两种可供选择.学校根据参加参观的学生人数计算可知:若只租用30座客车x辆,还差10人才能坐满;若只租用50座客车,比只租用30座客车少用2辆,且有一辆车没有坐满但超过30人.
(1)写出九年级参观的学生人数y与x的关系式.
(2)求出此次参观的九年级学生人数.
(3)若租用一辆30座客车往返费用为260元,租用一辆50座客车往返费用为400元,如何选择租车方案费用最低
【解析】(1)若只租用30座客车x辆,还差10人才能坐满,则九年级参观的学生人数y=30x-10.
(2)依题意得:30<(30x-10)-50(x-3)<50,
解之得,4由于车辆数只能取整数,
所以x=5.
∴y=30×5-10=140.
故此次参观的九年级学生有140人.
(3)①如果只租用30座客车,那么需要5辆,此时租车费用为260×5=1300(元);
②如果只租用50座客车,那么需要3辆,此时租车费用为400×3=1200(元);
③如果两种合租恰坐满,那么需要30座客车3辆,50座客车1辆,此时租车费用为260×3+400=1180(元).www-2-1-cnjy-com
故租用30座客车3辆,50座客车1辆时租车费用最低.
5.某电器商场销售A,B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元.商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获利润120元.
(1)求商场销售A,B两种型号计算器的销售价格分别是多少元 (利润=销售价格-进货价格)
(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A,B两种型号计算器共70台,问最少需要购进A型号的计算器多少台
【解析】(1)设A,B型号的计算器的销售价格分别是x元,y元,得:
解得
答:A,B两种型号计算器的销售价格分别为42元、56元.
(2)设最少需要购进A型号的计算器a台,得:
30a+40(70-a)≤2500,解得a≥30.
答:最少需要购进A型号的计算器30台.
解答题高分练(四)
一次函数与反比例函数
1.如图,函数y1=k1x+b的图象与函数y2=(x>0)的图象交于A,B两点,与y轴交于C点.已知A点的坐标为(2,1),C点坐标为(0,3).
(1)求函数y1的表达式和B点坐标.
(2)观察图象,比较当x>0时,y1和y2的大小.
【解析】(1)由题意,得解得
∴y1=-x+3.
又∵A点在函数y2=上,
∴1=,解得k2=2,∴y2=,
解方程组得
所以点B的坐标为(1,2).
(2)当02时,y1当1y2;
当x=1或x=2时,y1=y2.
2.如图,已知反比例函数y=的图象经过第二象限内的点A(-1,m),AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2.若直线y=ax+b经过点A,并且经过反比例函数y=的图象上另一点C(n,-2).
(1)求直线y=ax+b的解析式.
(2)设直线y=ax+b与x轴交于点M,求AM的长.
【解析】(1)∵点A(-1,m)在第二象限内,
∴AB=m,OB=1,
∴S△ABO=AB·BO=2,
即×m×1=2,解得m=4,
∴A(-1,4),
∵点A(-1,4)在反比例函数y=的图象上,
∴4=,
解得k=-4,
∴反比例函数为y=-,
又∵反比例函数y=-的图象经过C(n,-2),
∴-2=,
解得n=2,
∴C(2,-2),
∵直线y=ax+b过点A(-1,4),C(2,-2),
∴
解方程组得
∴直线y=ax+b的解析式为y=-2x+2.
(2)当y=0时,即-2x+2=0,
解得x=1,
∴点M的坐标是(1,0),
在Rt△ABM中,
∵AB=4,BM=BO+OM=1+1=2,
由勾股定理得AM===2.
∴AM=2.
3.如图,已知A,B两点的坐标分别为A(0,2),B(2,0).直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D(-1,a).【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求直线AB和反比例函数的解析式.
(2)求∠ACO的度数.
(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角(α为锐角),得到△OB′C′,当α为多少时,OC′⊥AB,并求此时线段AB′的长.
【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
则有解得
∴直线AB的解析式为y=-x+2.
把点D(-1,a)代入y=-x+2得a =3,
∴点D的坐标为(-1,3).
把点D(-1,3)代入y=中得m=-3,
∴反比例函数的解析式为:y=-.
(2)由得
∴C的坐标为(3,-),
过C作CE⊥x轴于点E,
则OE=3,CE=,所以OC=2,
∵A(0,2)
∴OA= OC=2,
∴∠ACO=∠OAB.
在Rt△AOB中,∵tan∠OAB==,
∴∠OAB=30°.
∴∠ACO=∠OAB=30°.
(3)设OC′与AB相交于点N,
∵OC′⊥AB,
∴∠ONC=90°,
∵∠ACO=30°,∴∠COC′=60°.
故当α为60°时,OC′⊥AB.
在Rt△AOB中,∵∠OAB=30°,
∴∠CBE=∠ABO=60°.
在Rt△BCE中,∵CE=,∠CBE=60°,∴BC=2.
∵OB=2,∴OB=BC,∴∠BOC=30°,
∵∠AOB=90°,∠BOB′=60°,
∴∠AOB′=30°,
在△AOB′和△COB中,
,
∴△AOB′≌△COB,∴AB′=BC=2.
解答题高分练(五)
二次函数
1.如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论.
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
【解析】(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-2上,
∴×(-1)2+b×(-1)-2=0,解得b=-.
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.
y=x2-x-2
=(x2-3x-4)=-,
∴顶点D的坐标为(,-).
(2)△ABC是直角三角形,连接AC,
当x=0时y=-2,∴C(0,-2),OC=2.
当y=0时,x2-x-2=0,
∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0).
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
(3)作出点C关于x轴的对称点C′,
则C′(0,2),OC′=2,
连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.
方法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴=
∴=,∴m=.
方法二:设直线C′D的解析式为y=kx+n,
则,解得n=2,k=-.
∴y=-x+2.
∴当y=0时,-x+2=0,
x=.∴m=.
2.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点P,顶点为C(1,-2).
(1)求此函数的关系式.
(2)作点C关于x轴的对称点D,顺次连接A,C,B,D.若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标.
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形 若存在,求出点F的坐标及△PEF的面积;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵y=x2+bx+c的顶点为(1,-2).
∴y=(x-1)2-2,y=x2-2x-1.
(2)连接CD交AB于点M,
根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB⊥CD,
所以四边形ACBD是菱形,
过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分,
所以直线PM平分菱形ACBD的面积.
因为点M位于x轴,顶点为点C(1,-2).
所以点M的坐标为(1,0).
y=x2-2x-1与y相交于点P(0,-1),
设直线PM的解析式为y=kx+b.
则解之得
所以直线PM的解析式为y=x-1.
解方程组得或
所以点E的坐标为(3,2).
(3)过点P作直线PQ⊥PM,
则直线PQ的表达式为y=-x-1,
解方程组得或
所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C(1,-2).
所以PE==3,
PC==.
所以△PEF的面积为×3×=3.
3.如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.21cnjy.com
(1)求双曲线和抛物线的解析式.
(2)计算△ABC的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.
【解析】(1)把点B(-2,-2)的坐标,代入y=,
得:-2=,∴k=4.
即双曲线的解析式为:y=.
设A点的坐标为(n,m).
∵A点在双曲线上,∴mn=4.①
又∵tan∠AOx=4,∴=4,即m=4n.②
由①,②,得:n2=1,∴n=±1.
∵A点在第一象限,∴n=1,m=4,
∴A点的坐标为(1,4).
把A,B点的坐标代入y=ax2+bx,得:
解得a=1,b=3.
∴抛物线的解析式为:y=x2+3x.
(2)∵AC∥x轴,∴点C的纵坐标y=4,
代入y=x2+3x,得方程x2+3x-4=0,
解得x1=-4,x2=1(舍去).
∴C点的坐标为(-4,4),∴AC=5,
又△ABC中AC边的高为6,
∴△ABC的面积=×5×6=15.
(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D.
因为直线AB相应的一次函数是:y=2x+2,且C点的坐标为(-4,4),CD∥AB,
所以直线CD相应的一次函数是:y=2x+12.
解方程组得
所以点D的坐标是(3,18).
解答题高分练(六)
统计与概率
1.妞妞和她的爸爸玩“石头、剪刀、布”游戏.每次用一只手可以出石头、剪刀、布三种手势之一,规则是石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头,若两人出相同手势,则算打平.21世纪教育网版权所有
(1)你帮妞妞算算爸爸出“石头”手势的概率是多少
(2)妞妞决定这次出“布”手势,妞妞赢的概率有多大
(3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少
【解析】(1)爸爸所出手势的所有可能出现的结果数为3,出“石头”可能出现的结果数为1,
所以出“石头”手势的概率P(石头)=.
(2)画树状图:
由树状图可以看出,总共有3种可能,妞妞赢的可能有1种.所以妞妞赢的概率为.
(3)画树状图:
由树状图可知,游戏中共有9种可能,相同手势有3种可能.所以相同手势的概率为=.
2.在“传箴言”活动中,某党支部对全体党员在一个月内所发箴言条数情况进行了统计,并制成了如下两幅不完整的统计图.
(1)求该支部党员一个月内所发箴言的平均条数是多少 并将该条形统计图补充完整.
(2)如果发了三条箴言的党员中有两位男党员,发了四条箴言的党员有两位女党员,在发了三条箴言和四条箴言的党员中分别选出一位参加区委组织的“传箴言”活动总结会,请你用列表或树状图的方法,求出所选两位党员恰好是一男一女的概率.21教育网
【解析】(1)3÷20%=15条,
∴发两条的有15-2-5-3-2=3人,
平均条数=(1×2+2×3+3×5+4×3+5×2)÷15=3条.条形图如下:
(2)树状图:
列表:
三条四条 男 男 女 女 女
男 (男,男) (男,男) (男,女) (男,女) (男,女)
女 (女,男) (女,男) (女,女) (女,女) (女,女)
女 (女,男) (女,男) (女,女) (女,女) (女,女)
∴P(一男一女)=
3.光明中学十分重视中学生的用眼卫生,并定期进行视力检测.某次检测设有A,B两处检测点,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力.21·世纪*教育网
(1)求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率.
(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率.
【解析】∵甲、乙、丙的检测情况,有如下8种可能:
A B
1 甲 乙丙
2 甲乙 丙
3 甲丙 乙
4 甲乙丙
5 乙 甲丙
6 乙丙 甲
7 丙 甲乙
8 甲乙丙
∴(1)P(甲、乙、丙在同一处检测)==.
(2)P(至少有两人在B处检测)==.
解答题高分练(七)
三角形与四边形的综合
1.如图,在等边△ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数.
(2)取AB边的中点F,连接CF,CE,试证明四边形AFCE是矩形.
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,且D是BC中点,
∴DA平分∠BAC,即∠DAB=∠DAC=30°.
∵△DAE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°.
(2)∵△BAC是等边三角形,F是AB中点,
∴CF⊥AB.
由(1)知:∠CAE=30°,∠BAC=60°.
∴∠FAE=90°,
∴AE∥CF.
∵△BAC是等边三角形,且AD,CF分别是BC,AB边上的中线,
∴AD=CF.
又∵AD=AE,∴CF=AE.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵∠AFC=∠FAE=90°,
∴四边形AFCE是矩形.
2.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的补角平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形 并证明你的结论.www.21-cn-jy.com
【解析】
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.
证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,
同理,FO=CO,
∴EO=FO,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4,
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,
∴∠2+∠4=90°,
∴四边形AECF是矩形.
3.如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA,PC为邻边作
APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:∠EAP=∠EPA.
(2) APCD是否为矩形 请说明理由.
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到
∠MEN(点M,N分别是∠MEN的两边与BA,FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】(1)在△ABC和△AEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE.
在△ABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,∴∠EPA=∠EAP.
(2) APCD是矩形.
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP.
∵由(1)知∠EPA=∠EAP.
∴EA=EP.则AC=PD.∴ APCD是矩形.
(3)EM=EN.
∵EA=EP,∴∠EPA=90°-α.
∴∠EAM=180°-∠EAP=180°-(90°-α)=90°+α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,∴FP=FB.
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α,
∴∠EAM=∠EPN.
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN
即∠MEA=∠NEP.
∴△EAM≌△EPN,∴EM=EN.
解答题高分练(八)
解直角三角形在实际中的应用
1.如图,甲、乙两船同时从港口A出发,甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行,乙船沿北偏西30°方向航行,半小时后甲船到达C点,乙船正好到达甲船正西方向的B点,求乙船的速度(≈1.7).【版权所有：21教育】
【解析】由已知可得:AC=60×0.5=30,
又已知甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行,乙船沿北偏西30°,
∴∠BAC=90°,
又乙船正好到达甲船正西方向的B点,∴∠C=30°,
∴AB=AC·tan30°=30×≈17,
所以乙船的速度为:17÷0.5=34.
答:乙船的速度为34海里/小时.
2.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5米,风筝飞到C处时的线长BC为30米,这时测得∠CBD=
60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1米,≈1.73)
【解析】在直角△BCD中,
sin∠CBD=,
∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin 60°=15=25.95.
∴CE=CD+AB=25.95+1.5=27.45≈27.5(米).
答:此时风筝离地面的高度是27.5米.
3.如图,一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行,在航线AB的正下方有两个山头C,D.飞机在A处时,测得山头C,D在飞机的前方,俯角分别为60°和30°.飞机飞行了6千米到B处时,往后测得山头C的俯角为30°,而山头D恰好在飞机的正下方.求山头C,D之间的距离.【出处：21教育名师】
【解析】∵飞机在A处时,测得山头C,D在飞机的前方,俯角分别为60°和30°,
到B处时,往后测得山头C的俯角为30°,
∴∠BAC=60°,∠ABC=30°,∠BAD=30°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°,即△ABC为直角三角形,21教育名师原创作品
∵AB=6千米,
∴BC=AB·cos 30°=6×=3千米.
Rt△ABD中,BD=AB·tan30°=6×=2千米,
作CE⊥BD于E点,
∵AB⊥BD,∠ABC=30°,∴∠CBE=60°,
则BE=BC·cos60°=,DE=BD-BE=,CE=BC·sin60°=,
∴CD===千米.
∴山头C,D之间的距离千米.
4.我市某建筑工地, 欲拆除该工地的一危房AB(如图),准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米(BD=60米)处有一居民住宅楼,该居民住宅楼CD高15米,在该住宅楼楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°,请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时,该居民住宅楼有无危险 (在地面上以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域,参考数据:≈1.414,≈1.732)
【解析】没有危险.理由如下:
在△AEC中,∵∠AEC=90°,
∴tan∠ACE=.
∵∠ACE=30°,CE=BD=60,
∴AE=20≈34.64(米),
又∵AB=AE+BE,BE=CD=15,
∴AB≈49.64(米),
∵60>49.64,即BD>AB,
∴在实施定向爆破危房AB时,该居民住宅楼没有危险.
解答题高分练(九)
圆
1.如图所示,AB=AC,AB为☉O的直径,AC,BC分别交☉O于E,D,连接ED,BE.
(1)证明:DE=BD.
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
【解析】(1)连接AD,
则AD⊥BC,
在等腰三角形ABC中,
AD⊥BC.
∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一).
∵∠CAD=∠DBE,∠BAD=∠DEB,
∴∠DEB=∠DBE,∴DE=BD.
(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4.
∵AB=AC=5,∴AC·BE=CB·AD.∴BE=4.8.
2.如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证:DC=DE.
(2)若tan∠CAB=,AB=3,求BD的长.
【解析】(1)如图,连接OC.
∵CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵ED⊥AD,∴∠EDA=90°,∴∠A+∠E=90°.
∵OC=OA,∴∠A=∠2.
∴∠1=∠E,∴DC=DE.
(2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x.
在Rt△AED中,∵tan∠CAB==,
∴DE=AD=(3+x).
由(1)得DC=DE=(3+x).
在Rt△OCD中,OC2+CD2=OD2,
∴1.52+=(1.5+x)2.
解得x1=1,x2=-3(不合题意,舍去).
∴BD=1.
3.已知A,B,C是☉O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D.21*cnjy*com
(1)如图①,求∠ADC的大小.
(2)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
【解析】(1)∵CD是☉O的切线,
∴CO⊥CD,即∠OCD=90°.
∵四边形OABC是平形四边形,
∴OC∥AD,∴∠ADC+∠OCD=180°,
∴∠ADC=180°-90°=90°.
(2)连接OB,由圆的性质知OA=OB=OC,
∵四边形OABC是平行四边形,∴OC=AB,
∴OA=OB=AB,
∴△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°.
∵OF∥CD,∠ADC=90°,∴∠AEO=∠ADC=90°.
由垂径定理,得=,
∴∠FAB=∠BOF=∠AOB=15°.
解答题高分练(十)
图形探究
1.如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边△ADE和△DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是________,位置关系是________.
(2)如图2,若将条件“两个等边△ADE和△DCF”变成“两个等腰△ADE和△DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明.
(3)若三角形ADE和三角形DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗 请直接写出你的判断.
【解析】(1)AF=BE,AF⊥BE.
∵△ADE和△DCF都是等边三角形,
∴AD=DE=AE,CD=DF=FC,∠DAE=∠CDF=60°.
又四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°.
∴AB=AD,AE=DF,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°=∠ADC+∠CDF=∠ADF,
∴△BAE≌△ADF,∴AF=BE.
∵△BAE≌△ADF可知∠FAD=∠EBA,
而∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°,
∴∠EBA+∠BAF=90°,∴AF⊥BE.
(2)第(1)问中的判断仍然成立.
由EA=ED=FD=FC和AD=CD可知△ADE≌△DCF,∴∠DAE=∠CDF,∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+∠DAE=90°+∠CDF=∠ADC+∠CDF=∠ADF.在△BAE和△ADF中,AB=AD,AE=DF,∠BAE=∠ADF,∴△BAE≌△ADF,∴AF=BE.由于△BAE≌△ADF,∴∠FAD=∠EBA,而∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°,∴∠EBA+∠BAF=90°,∴AF⊥BE.
(3)第(1)问中结论都能成立.如图所示,
∵AE=DF,ED=FC,AB=AD,∴△ADE≌△DCF.其余证明和(2)一样.
2.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),求证:AE+CF=EF.
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立 若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,不需证明.
【解析】(1)∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,
∴△ABE≌CBF(SAS).
∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE=∠CBF=30°,△BEF为等边三角形.
∴AE=BE,CF=BF.
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF;
(2)图2成立,图3不成立.
如图2.
延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,
则△BAE≌△BCK,
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠FBE=60°,∠ABC=120°,
∴∠FBC+∠ABE=60°,
∴∠FBC+∠KBC=60°,∴∠KBF=∠FBE=60°,
∴△KBF≌△EBF,∴KF=EF,
∴KC+CF=EF,即AE+CF=EF.
图3不成立,AE,CF,EF的关系是AE-CF=EF.
3.问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.
(1)求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立 说明理由.2-1-c-n-j-y
(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.21*cnjy*com
【解析】(1)∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,
∴=,∴AD·BC=AP·BP.
(2)结论AD·BC=AP·BP仍成立.
理由∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,
又∵∠BPD=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP,
∵∠DPC=∠A=θ,∴∠BPC=∠ADP,
又∵∠A=∠B=θ,∴△ADP∽△BPC,
∴=,∴AD·BC=AP·BP.
(3)如图,过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD=BD=5,AB=6,∴AE=BE=3.由勾股定理得DE=4.∵以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,∴DC=DE=4.∴BC=5-4=1.
又∵AD=BD,∴∠A=∠B.
由已知,∠DPC=∠A,∴∠DPC =∠A=∠B.
由(1)(2)的经验得AD·BC=AP·BP,
又∵AP=t,BP=6-t,
∴t(6-t)=5×1,∴t=5或t=1,
又∵021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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