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《一次函数》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式；
（2）能通过函数解决简单的实际问题。
2.过程与方法
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观
实例引入，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】
待定系数法求函数解析式。
【教学难点】
分段函数的表示及图象。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课，我们学习了一次函数的图象与k和b的关系，并学习了如何简单的画出一次函数的图象，现在，我给大家一个题目，大家画出它的图象吧。21教育网
在平面直角坐标系中作出一次函数的图形。
【过渡】针对这个问题，我们先将其变式为一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的形式，然后根据两点法画出图象就行，相信大家都能准确的画出。那么，我就要问大家一个问题了。如果题目中先给的是图象，我们该如何去求这个函数的解析式呢？反过来已知一个一次函数的图象经过具体的点，你能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学习的问题。21cnjy.com
二、新课教学
1．待定系数法
【过渡】如何根据图象，或者是图象上的点来求函数解析式，我们直接根据例题来进行讲解。
课本例4.
【过渡】通过对题目的解读，我们知道，既然这 ( http: / / www.21cnjy.com )两个点是图象上的点，那么，这两个点就必然适合一次函数解析式。根据我们之前学过的二元一次方程。我们就可以解出k、b的值。
课件展示解题过程。
【过渡】我们将一次函数的解析式设出，然后将 ( http: / / www.21cnjy.com )过直线的两点的坐标代入这个解析式中，这样我们就得到了一个二元一次方程组，接下来要做的就是解这个方程组，我们就能够得到一次函数的解析式中的未知数k、b，自然就得到了我们的解析式。2·1·c·n·j·y
【过渡】像这种我们先设出解析式，然后求解的方法，我们称之为待定系数法：
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法。
【过渡】对于我们的一次函数来说，我们一般设为y=kx+b即可。那么待定系数法求解的过程谁能总结一下呢？【来源：21·世纪·教育·网】
（学生回答）
第一步：设，设出函数的一般形式.(称一次函数的通式)
第二步：代，代入解析式得出方程或方程组.
第三步：求，通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值
第四步：写，写出该函数的解析式.
【过渡】简单的总结为四个字：设、代、求、写。
【过渡】通过课堂开始我们的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，以及刚刚的例4，我们发现不管是从函数解析式到图象，还是从图象或点到解析式，是可以相互转化的。这也体现出数学的基本思想方法：数形结合。
【课外例题】已知直线y1=kx+b与直线y2=-2x平行，且直线y1在y轴上的截距为2，求直线y1的解析式。21·世纪*教育网
【过渡】解决这个问题，我们需要注意的是两条直线平行说明了什么？在y轴的截距是谁的值，然后就能得到答案，大家一起来动手试一下吧。www-2-1-cnjy-com
【过渡】在实际问题中，有些问题可能会出 ( http: / / www.21cnjy.com )现分段问题，如电费的标准等，在这种情况下，函数的图象及解析式就需要按照不同的范围分开考虑，这种函数我们一般称为分段函数。
我们跟着例5的解答来了解一下分段函数的解析式与图象吧。
讲解例5.
【过渡】从题目中，我们看出，付款金额与种子价格有关，而价格又与购买量有关，因此，我们就需要按照不同的购买量来分析问题。2-1-c-n-j-y
【过渡】这种按照自变量取值范围的函数为分段函数，它的图象也是由几个组成，但是同样的，我们能从这些图象中得到我们想要的答案。21*cnjy*com
【知识巩固】1、若一次函数y=-x+b的图象经过点（3，2），则一次函数的解析式为（ B ）
A．y=x+1 B．y=-x+5 C．y=-x-5 D．y=-x+1
2、一次函数y=2mx+m2-4的图象经过原点，则m的值为（ D ）
A．0 B．2 C．-2 D．2或-2．
3、若A(-2，3)，B(1，0)，C(-1，m)三点在同一直线上，则m的值为多少？
解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
由于三点在同一直线上，所以
3=-2k+b；0=k+b；
解得：k=-1，b=1
一次函数的解析式为y=-x+1，将(-1,m)代入得：m=2。
4、在某个范围内，某产品的购买量y ( http: / / www.21cnjy.com )（单位：kg）与单价x（单位：元）之间满足一次函数，若购买1000kg，单价为800元；若购买2000kg，单价为700元，若一客户购买4000kg，单价是多少？
解：设购买量y顿与单价x元之间的一次函数关系式为y=kx+b，由题意，得：
800k+b=1000； 700k+b=2000
解得：k=-10，b=9000
解析式为：y=-10x+9000
当y=4000时，4000=-10x+9000
解得：x=500
答：单价是500元。
【达标检测】1、已知四条直线y=kx-3，y=-1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（ A ）21·cn·jy·com
A. 1或-2
B. 2或-1
C. 3
D. 4
2、一次函数y=kx+b的图象经过点（0，5）和点B（4，0），则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ A ）21世纪教育网版权所有
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个．
3、已知一次函数y=（a-1）x+2（a-1）（a≠1）的图象如图所示，已知3OA=2OB，求一次函数的解析式www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：令x=0得，y=2（a-1），由图象可知a-1＞0，所以OA=2（a-1），
令y=0得，0=（a-1）x+2（a-1），解得x=-2，所以OB=2，
又3OA=2OB，可得6（a-1）=4，解得a=，
所以一次函数解析式为：y= x+．
4、若y+2与x-3成正比例，且当x=1时，y=2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（2a-1，5）在此函数的图象上，求a的值。
解：（1）∵y+2与x-3成正比例，
∴设y+2与x-3函数解析式为y+2=k（x-3），
∵x=1时，y=2，
∴2+2=k（1-3），
解得k=-2，
∴y+2=-2（x-3）
化简，得y=-2x+4，
即y与x之间的函数关系式是y=-2x+4；
（2）（2）∵点（2a-1，5）在此函数的图象上，
∴5=-2（2a-1）+4
解得，a= ，
即a的值是
【板书设计】
1、待定系数法：
设、代、求、写
2、分段函数：注意自变量的取值范围。
【教学反思】
本节课采用了我 “ 导、学、练、结 ( http: / / www.21cnjy.com )，自学辅导法”的授课方式，即在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法。由于学生亲自来发现事物的特征和规律，能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自行学习的内在动机，更有利于发展学生的创造性思维能力。
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《一次函数》练习
一、选择——基础知识运用
1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值分别为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．k＝ ，b=1 B．k=-2，b=1 C．k＝，b=1 D．k=2，b=1
2．下表给出的是关于一次函数y=kx+b的自变量x及其对应的函数值y的若干信息：则根据表格中的相关数据可以计算得到m的值是（ ）21·世纪*教育网
x … -1 0 1 …
y … 0 1 m …
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，已知直线y=kx-3经过点M，则此直线与x轴、y轴围成的三角形面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C． D．
4．已知变量y与x之间的函数关系的图象如图，它的解析式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y＝ x+2(0≤x≤3) B．y＝ x+2
C．y＝ x+2(0≤x≤3) D．y＝ x+2
5．正比例函数y=（k-3）x的图象经过一、三象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＞3 C．k＜0 D．k＜3
二、解答——知识提高运用
6．已知一次函数经过点A（3，5）和点B（-4，-9）。
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点C（m，2）是该函数上一点，求C点坐标。
7．直线MN与x轴，y轴分别相交A、C两点，分别过A、C作x轴、y轴的垂线，二者相交于B点，且OA=8，OC=6。2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线MN的解析式；
（2）已知在直线MN上存在点P，使△PBC是等腰三角形，求点P的坐标。
8．已知一次函数y=kx+b，当自变量在-2≤x≤3的范围内时，对应的函数取值范围是-11≤y≤9．求这个函数的表达式。www-2-1-cnjy-com
9．已知一次函数的图象经过点A（2，1），B（-1，-3）。
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积。
10．已知一次函数y= 过点A（2，4），B（0，3）、题目中的矩形部分是一段因墨水污染而无法辨认的文字。21cnjy.com
（1）根据现有的信息，请求出题中的一次函数的解析式。
（2）根据关系式画出这个函数图象。
（3）过点B能不能画出一直线BC将△ABO ( http: / / www.21cnjy.com )（O为坐标原点）分成面积比为1：2的两部分？如能，可以画出几条，并求出其中一条直线所对应的函数关系式，其它的直接写出函数关系式；若不能，说明理由。2-1-c-n-j-y
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11．如图，图中的曲线表示小华星期天骑自行车外出离家的距离与时间的关系，小华八点离开家，十四点回到家，根据这个曲线图，请回答下列问题：21*cnjy*com
（1）到达离家最远的地方是几点？离家多远？
（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？
（3）小华在往返全程中，在什么时间范围内平均速度最快？最快速度是多少？
（4）小华何时离家21千米？（写出计算过程）
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】由图象可知：过点（0，1），（，0），
代入一次函数的解析式得：
1＝b
0＝k+b，
解得：k=-2，b=1。
故选B。
2．【答案】C
【解析】设一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0）．
根据图示知，该一次函数经过点（-1，0）、（0，1），则
k+b＝0
b＝1，
解得，
k＝1，b＝1；
∴该一次函数的解析式为y=x+1：
又∵该一次函数经过点（1，m），
∴m=1+1=2，即m=2；
故选C。
3．【答案】D
【解析】根据图示知，直线y=kx-3经过点M（-2，1），
∴1=-2k-3，
解得k=-2；
∴当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-。
∴此直线与x轴、y轴围成的三角形面积=|x||y|=××3=。【来源：21·世纪·教育·网】
故选D。
4．【答案】A
【解析】从函数图象上可以看出，这条线段经过点（3，0）和（0，2），
所以可以设其函数关系式为y=kx+2．
再把点（3，0）代入求得k= ，
所以其函数关系式为y= x+2，且自变量的取值范围为0≤x≤3。
故选A。
5．【答案】B
【解析】由正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限，
可得：k-3＞0，则k＞3。
故选B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】（1）设其解析式为y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）
则
5＝3k+b
9＝ 4k+b
∴k＝2，b＝ 1；
∴其解析式为y=2x-1
（2）∵点C（m，2）在y=2x-1上
∴2=2m-1
∴m＝
∴点C的坐标为(，2)
7．【答案】（1）∵OA=8，OC=6，
∴A（8，0），C（0，6），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
8k+b＝0
b＝6，
解得：
k＝ ，b＝6，
直线MN的解析式：y=- x+6；
（2）由题意得，B（8，6），
∵点P在直线MN上，
∴设P（a，-a+6），
当PC=PB时，点P为BC的中垂线与MN的交点，则P1（4，3）；
当PC=BC时，a2+（- a+6-6）2=64，
解得，a1= - ，a2= ，
则P2（- ，），P3（，）；
当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64，
解得，a= ，
则P4（，-）。
8．【答案】∵k＞0时，一次函数y=kx+b中y随x的增大而增大，当自变量在-2≤x≤3的范围内时，对应的函数取值范围是-11≤y≤9，www.21-cn-jy.com
∴x=-2时，y=-11；x=3时，y=9．
∴
k×( 2)+b＝ 11
k×3+b＝9，
解得k=4，b=-3。
∴y=4x-3。
又∵k＜0时，一次函数y=kx+b中y随x的增大而减小，当自变量在-2≤x≤3的范围内时，对应的函数取值范围是-11≤y≤9，21教育网
∴x=-2时，y=9；x=3时，y=-11．
∴
k×( 2)+b＝9
k×3+b＝ 11，
解得k=-4，b=1。
∴y=-4x+1。
由上可得，这个函数的表达式为：y=4x-3或y=-4x+1。
9．【答案】（1）根据一次函数解析式的特点，
可得出方程组
2k+b=1
-k+b=-3，
解得
k= ，b= - ，
则得到y= x-．
（2）根据一次函数的解析式y= x-，
得到当y=0，x= ；
当x=0时，y=- ．
所以与x轴的交点坐标（，0），与y轴的交点坐标（0，-）。
（3）在y=x-中，
令x=0，解得：y=- ，
则函数与y轴的交点是（0，- ）．
在y=x-中，
令y=0，解得：x= 。
因而此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是：××=。
10．【答案】（1）解：设一次函数的解析式是y=kx+b，
∵把A（0，3）、B（2，4）代入得：
3=b
4=2k+b，
解得：k=0.5，b=3，
∴一次函数的解析式是y=0.5x+3．
（2）解：如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）解：能，有两条，如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
直线BC和BC′都符合题意，
OC=CC′=AC′，
则C的纵坐标是×4=，
C′的纵坐标是×4= ，
设直线OA的解析式是y=kx，
把A（2，4）代入得：k=2，
∴y=2x，
把C、C′的纵坐标代入得出C的横坐标是，C′的横坐标是，
∴C（，），C′（，），
设直线BC的解析式是y=kx+3，
把C的坐标代入得：k=-2.5，
∴直线BC的解析式是y=-2.5x+3，
同理求出直线BC′的解析式是y=-0.25x+3，
即过点B能画出直线BC将△A ( http: / / www.21cnjy.com )BO（O为坐标原点）分成面积比为1：2的两部分，可以画出2条，直线所对应的函数关系式是y=-2.5x+3或y=-0.25x+3。21世纪教育网版权所有
11．【答案】（1）到达离家最远的地方是11点，此时距离家30千米；
（2）到距家17千米的地方开始休息，休息了（10-9.5）=0.5小时；
（3）小华在返回的途中最快，平均速度为30÷（14-12）=15千米/小时；
（4）由图象可知点D、E的坐标分别为（10，17），（11，30），F、G的坐标分别为（12，30），（14，0），21·cn·jy·com
∴设直线DE所在直线的解析式为y=kx+b，直线FG的解析式为y=ax+c，
∴
10k+b＝17 12a+c＝30
11k+b＝30， 14a+c＝0，
解得：k＝13；b＝ 113，
a＝ 15；c＝210，
∴解析式为y=13x-113，y=-15x+210，
令y=21，
解得：x= 或，
∴第或时离家21千米。
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人教版 八年级下册
19.2 一次函数
导入新课
在平面直角坐标系中作出y=x-5的图形。
当x=0时，y=-5；
当y=0时，x=2；
所以，此直线过
（0，-5）、（2，0）两点
4
0
2
2
4
6
-2
-4
-2
-4
x
-6
6
反过来已知一个一次函数的图象经过具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线
新课学习
待定系数法
例4：已知一次函数的图象过点 (3,5) 与 (-4,-9),
求这个一次函数的解析式。
图象过两点，说明这两点的坐标适合解析式。
新课学习
y
x
0
(3,5)
(-4,-9)
3
5
-4
-9
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b
把x=3,y=5；x=-4,y=-9
3k+b=5，
分别代入上式，得
-4k+b=-9。
解得
b=-1，
k= 2。
一次函数的解析式为
y=2x-1
新课学习
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
待定系数法
一次函数的函数解析式一般设为y=kx+b。
新课学习
待定系数法解题的四个步骤:
第一步：设，设出函数的一般形式.(称一次函数的通式)
第二步：代，代入解析式得出方程或方程组.
第三步：求，通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值
第四步：写，写出该函数的解析式.
新课学习
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点
(x1,y1)与 (x2,y2)
一次函数的图象直线l
画出
选取
解出
选取
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：
数形结合
知识巩固
1.若一次函数y=-x+b的图象经过点（3，2），则一次函数的解析式为（ ）
A．y=x+1 B．y=-x+5 C．y=-x-5 D．y=-x+1
解析：∵一次函数y=-x+b的图象经过点（3，2），
∴当x=3时，y=2，
∴2=-3+b，解得b=5，
∴一次函数解析式为：y=-x+5，故选B．
B
知识巩固
2.一次函数y=2mx+m2-4的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．2或-2
解析：∵一次函数y=2mx+m2-4的图象经过原点，
∴0=0+m2-4，即m2=4，
解得，m=±2．
故选D．
D
知识巩固
3.若A(-2，3)，B(1，0)，C(-1，m)三点在同一直线上，则m的值为多少？
解析：设一次函数的解析式为y=kx+b，
由于三点在同一直线上，所以
3=-2k+b
0=k+b；解得：k=-1，b=1
一次函数的解析式为y=-x+1，将(-1,m)代入得：m=2
典题精讲
已知直线y1=kx+b与直线y2=-2x平行，且直线y1在y轴上的截距为2，求直线y1的解析式。
解： ∵直线y1=kx+b与直线y2=-2x平行，
∴k=-2
又∵直线y1=kx+b在y轴上的截距为2
∴b=2
故直线y1的解析式为y1=-2x+2。
典题精讲
例5： “黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折。
（1）填写下表：
购买种子数量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ….
付款金额/元 ….
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
典题精讲
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
解：设购买量为x千克，付款金额为y元.
当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
当0≤x≤2时，y=5x；
y=5x(0≤x≤2)
y=4x+2(x>2)
y
x
0
1
2
10
3
14
y =
5x(0≤x≤2)
4x+2(x>2)
称此类函数为分段函数
典题精讲
（3）一次购买1.5公斤种子，需付款多少元？一次购买3公斤种子，则需付款多少元？
得：一次购买1.5公斤种子需付款 元；
一次购买3公斤种子需付款 元.
7.5
15
想一想:
典题精讲
(2)一次函数的分段函数图象有直线、射线、线段三种情形.自变量的取值范围不含等号时，其图象端点用空心点表示；含等号时用实心点表示。
(1)在分段函数中,要注意自变量的取值范围。
知识巩固
4.在某个范围内，某产品的购买量y（单位：kg）与单价x（单位：元）之间满足一次函数，若购买1000kg，单价为800元；若购买2000kg，单价为700元，若一客户购买4000kg，单价是多少？
知识巩固
解：设购买量y顿与单价x元之间的一次函数关系式为y=kx+b，由题意，得：
800k+b=1000
700k+b=2000
解得：k=-10，b=9000
解析式为：y=-10x+9000
当y=4000时，4000=-10x+9000
解得：x=500
答：单价是500元。
课堂小结
待定系数法：
设、代、求、写
分段函数：注意自变量的取值范围。
达标检测
1.已知四条直线y=kx-3，y=-1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（ ）
A. 1或-2
B. 2或-1
C. 3
D. 4
A
达标检测
2.一次函数y=kx+b的图象经过点（0，5）和点B（4，0），则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个．
A
达标检测
3.已知一次函数y=（a-1）x+2（a-1）（a≠1）的图象如图所示，已知3OA=2OB，求一次函数的解析式。
达标检测
解：令x=0得，y=2（a-1），由图象可知a-1＞0，所以OA=2（a-1），
令y=0得，0=（a-1）x+2（a-1），解得x=-2，所以OB=2，
又3OA=2OB，可得6（a-1）=4，解得a=，
所以一次函数解析式为：y=x+．
达标检测
4.若y+2与x-3成正比例，且当x=1时，y=2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（2a-1，5）在此函数的图象上，求a的值．
达标检测
解：（1）∵y+2与x-3成正比例，
∴设y+2与x-3函数解析式为y+2=k（x-3），
∵x=1时，y=2，
∴2+2=k（1-3），
解得k=-2，
∴y+2=-2（x-3）
化简，得y=-2x+4，
即y与x之间的函数关系式是y=-2x+4；
达标检测
解：（2）∵点（2a-1，5）在此函数的图象上，
∴5=-2（2a-1）+4
解得，a= ，
即a的值是
