必修4 第三章 三角恒等变换单元测试卷A卷
一．选择题（共12小题）
1．cos15°的值是（ ）
A．． B．． C．． D．．
2．cos75°cos15°+sin75°sin15°=（ ）
A．cos100° B．sin100° C． D．
3．已知锐角α、β满足，则α+β等于（ ）
A． B． C． D．
4．y=sin（2x﹣）﹣sin2x的一个单调递增区间是（ ）
A．[﹣，] B．[，π] C．[π，π] D．[，]
5．已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．已知等腰三角形一个底角的正弦为，那么这个三角形顶角的正弦值（ ）
A． B． C． D．
7．cos215°﹣sin215°的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知x∈（﹣π，0），cosx=，则tan2x=（ ）
A． B． C． D．
9．=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
10．已知锐角α，β满足：cosα=，cos（α+β）=﹣，则cos（α﹣β）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
11．设，则它们的大小关系是（ ）
A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜p＜n D．m＜n＜p
12．函数f（x）=﹣cos2x+6cos（+x）的最小值为（ ）
A．﹣ B． C．7 D．﹣5
二．填空题（共4小题）
13．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°= ．
14．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 ，最大值为 ．
15．若＜α＜π，且sinα+cosα=，则tanα的值为 ．
16．函数f（x）=﹣2sin2x+sin2x+1，给出下列4个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x=是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移而得到；
④若，则f（x）的值域是．
其中正确命题序号是 ．
三．解答题（共5小题）
17．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x2﹣5x+6=0的两根．
①求α+β的值．
②求cos（α﹣β）的值．
18．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，
（1）求tanα+tan2α的值；
（2）求β．
19．已知在△ABC中∠A、∠B均为锐角，sinA=，sinB=，
（1）求cos（A+B）
（2）求∠C的度数．
20．已知sinαcosα=，且α是第三象限角．
求+．
21．在平面直角坐标系xOy中，钝角α+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+的终边与单位元圆交于点．21世纪教育网版权所有
（1）求t的值；
（2）求cosα和sinα的值；
（3）设，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．解：cos15°=cos（60°﹣45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=×+×=21教育网
故选D．
4．解：化简可得y=sin（2x﹣）﹣sin2x
=sin2x﹣cos2x﹣sin2x
=﹣（cos2x+sin2x）
=﹣sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，
由于k∈Z，故当k=0时，函数的一个单调递增区间为[，]
故选：B
5．解：∵sin2α=﹣，∴sinαcosα=﹣，①
又∵α∈（﹣，0），∴sinα＜0，cosα＞0，
又sin2α+cos2α=1，②
联立①②解得sinα=，cosα=
∴sinα+cosα=
故选：B
8．解：∵x∈（﹣π，0），cosx=，
∴x∈（﹣，0），
∴sinx=﹣=﹣，tanx==﹣，
∴tan2x==﹣．
故选：D．
9．解：
=
==
故选：C
10．解：∵α，β为锐角，∴0＜α+β＜π，
∵cosα=，cos（α+β）=﹣，
∴sinα==，
∴sin（α+β）==，
∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
==，
∴sinβ==，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
==．
故选：D．
11．解：=sin30°cos6°﹣cos30°sin6°=sin（30°﹣6°）=sin24°
==
=cos20°﹣sin20°=sin45°cos20°﹣cos45°sin20°=sin（45°﹣20°）=sin25°
∵y=sinx当x∈（0，）为增函数，∴sin24°＜sin25°＜sin26°
∴m＜p＜n
故选C
14．解：∵y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，
∴函数y=sin2x+cos2x的最小正周期T=，
∴=1=．
故答案为：π，．
15．解：∵＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴，
解得，
则tanα==﹣3．
故答案是：﹣3．
16．解：由f（x）=﹣2sin2x+sin2x+1
=sin2x+cos2x=．
对于①，由，得，
∴，则f（x）在区间上是减函数，①正确；
对于②，由x=，得，∴直线x=是函数图象的一条对称轴，②正确；
对于③，函数y=sin2x的图象向左平移，得到f（x）=，
∴命题③错误；
对于④，由，得[]，则f（x）的值域是[﹣1，]，命题④错误．
∴正确的命题是①②．
故答案为：①②．
三．解答题（共5小题）
17．解：①由根与系数的关系得：tanα+tanβ=5，tanα?tanβ=6，
∴tan（α+β）==﹣1．
，∴∴α+β=．
②由（1）得，再结合sinαsinβ=6cosαcosβ（4）），
联立（3）、（4）可得 sinαsinβ=，cosαcosβ=，
∴．
18．解：（1）由cosα=，0＜α＜，得sinα===，
∴tanα===4，于是tan2α===﹣，
tanα+tan2α=﹣．…（6分）
（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，
又∵cos（α﹣β）=，
∴sin（α﹣β）===，
由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，21cnjy.com
所以．…（12分）
19．解：（1）∵∠A、∠B均为锐角，sinA=，sinB=，
∴cosA==，cosB==，
∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=×﹣×=．
（2）由（1）可得：cos（A+B）=．
∵在△ABC中，C=π﹣（A+B）∈（0，π），
∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣．
∴C=．
20．解：原式
====，
∵，∴．
∵α是第三象限的角，
∴sinα＜0，cosα＜0，∴，
∴原式=．
21．解：（1）∵钝角α+的终边与单位元圆交于点，
∴根据三角函数的定义，cos（α+）=，
∴t=sin（α+）==；
（2）由sin（α+）=、cos（α+）=得，
（sinα+cosα）=，①
（cosα﹣sinα）=，②
由①②解得，cosα=，sinα=；
（3）∵f（x）=cos（+α），∴函数f（x）的周期T==4，
∴f（1）=cos（+α）=﹣sinα=﹣，f（2）=cos（π+α）=﹣cosα=﹣，
f（3）=cos（π+α）=sinα=，f（4）=cos（2π+α）=cosα=，
f（5）=cos（+α）=﹣sinα，…，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）
=﹣﹣+=﹣．
2017年人教版必修4 第三章 三角恒等变换单元测试卷B卷
一．选择题（共12小题）
1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，P（m，﹣2m）（m≠0）是角α终边上的一点．则tan（α+）的值为（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．已知tanα=3，α∈（0，π），则cos（+2α）=（ ）
A． B． C． D．
3．sin130°cos10°+sin40°sin10°=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．已知cosα=，cosβ=，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）=（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
5．△ABC中，若sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
6．已知＜α＜，﹣＜β＜，且tanα，tanβ是方程x2x+4=0的两实根，则α+β=（ ）21教育网
A． B．﹣ C．或 D．或﹣
7．已知sin（x﹣）=，则sin2x的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
9．已知=2，则的值为（ ）
A． B．7 C．﹣ D．﹣7
10．已知α∈R，，tan2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
11．函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若存在x1，x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是（ ）21cnjy.com
A．（0，1] B．[1，2] C．[，2] D．[，]
12．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（ ）www.21-cn-jy.com
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
二．填空题（共4小题）
13．已知函数f（x）=，则f（f（））= ．
14．sin75°+sin15°的值等于 ．
15．规定运算=ad﹣bc，若=，则sinθ= ．
16．关于函数f（x）=sin4x﹣cos4x（x∈R）有下列命题：
①y=f（x）的周期为；
②是y=f（x）的一条对称轴；
③y=f（x）在[0，]上是增函数，其中正确的命题序号是
（把你认为正确命题的序号都写上）．
三．解答题（共5小题）
17．已知角a的终边经过点P（﹣3，4），求的值．
18．已知α、β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，求cos（α+）．
19．已知：cos（α+）=，＜α＜，求cos（2α+）．
20．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值，最小值．
21．（Ⅰ）求值：tan45°+tan15°+tan45°?tan15°
（Ⅱ）某同学在学习中发现，以下两个式子：
①tan13°+tan47°+tan13°?tan47°；②tan（﹣20°）+tan80°+tan（﹣20°）?tan80°的值与（Ⅰ）中计算的结果相同，请你根据这三个式子的结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．21·cn·jy·com
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
∴cos（+2α）
=cos（+2α）
=﹣sin2α
=﹣2sinαcosα
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣．
故选：C．
3．解：sin130°cos10°+sin40°sin10°
=cos40°cos10°+sin40°sin10°
=cos（40°﹣10°）=．
故选：B．
4．解：∵cosα=，cosβ=，且α，β∈（0，），
∴sinα=，sinβ=，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=，
故选：B．
5．解：∵sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB=sin[（A﹣B）+B]=sinA≥1，
∴sinA=1．
又A∈（0，π），
∴A=．
∴△ABC为直角三角形．
故选B．
7．解：∵sin（x﹣）=（sinx﹣cosx）=，
∴sinx﹣cosx=，
两边平方得：（sinx﹣cosx）2=sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=1﹣sin2x=，
则sin2x=．
故选B
8．解：∵sinα+cosα=，①
∴两边平方得：1+2sinαcosα=，
∴2sinαcosα=﹣＜0，
∵α为第四象限角，
∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．
∴cosα﹣sinα=，②
∴①×②可解得：cos2α=．
故选：D．
9．解：∵=2，∴==﹣，
∴sinα=．
∴==．
故选：A．
10．解：∵，
∴，
∵sin2α+cos2α=1，
∴（﹣3cosα）2+cos2α=1，
∴5cos2α﹣3cosα+2=0，
∴cosα=或cosα=，
∴sinα=﹣或
∴tanα=﹣或tanα=2，
∴当tanα=﹣时，tan2α===﹣；
当tanα=2时，tan2α===﹣．
故选D．
11．解：函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，
化简可得：f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
∵x1∈[0，]，
∴≤2x1+≤
∴sin（2x+）∈[，1]
故得函数f（x）的值域为[1，2]．
函数g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），
∵x2∈[0，]，
∴≤2x2﹣≤
∴cos（2x﹣）∈[，1]，
故得函数g（x）的值域为[3﹣，3﹣m]．
由题意：x1，x2∈[0，]存在，使得f（x1）=g（x2）成立，
则需满足：3﹣m≥1且3﹣≤2，
解得实数m的取值范围是[，2]．
故选C
∴α+β+2φ=π，
则cos（α+β）=﹣cos2φ=．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
13．解：∵f（）=﹣tan=﹣1，
∴f（f（））=f（﹣1）=log2[（﹣1）2+3]=log24=2．
故答案为：2．
14．解：sin75°+sin15°
=cos60°sin75°+sin60°cos75°
=sin（75°+60°）
=．
故答案是：．
15．解：由规定运算=ad﹣bc，可知：=，
∴，
化简：==sin2θ﹣cos2θ
∵?；∴
故答案为：．
16．解：f（x）=sin4x﹣cos4x
=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）
=sin2x﹣cos2x
=﹣cos2x，
y=f（x）的周期为=π，故①错误；
y=f（x）的对称轴为x=（k∈Z），故②错误；
y=f（x）在[0，]上是增函数，故③正确；
故答案为：③．
三．解答题（共5小题）
17．解：由题意：tanα===﹣．
故原式===﹣．
18．解：α、β∈（，π），α+β，sin（α+β）=﹣，∴cos（α+β）==；
α、β∈（，π），β﹣∈，∵sin（β﹣）=，∴cos（β﹣）=﹣=﹣；
∴cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]
=cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）
=
=．
19．解：∵cos（α+）=，＜α＜，∴α+∈（，），sin（α+）=﹣，
∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin
=﹣﹣=﹣，
cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin
=+（﹣）?=﹣，
∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，
∴cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=﹣?﹣?=﹣．
20．解：（1）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2=1+sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期是=π．
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，
∴当2x+=时，f（x）取得最大值1，
当2x+=时，f（x）取得最小值﹣．
21．解：（ I）tan45°=1，tan15°=tan（45°﹣30°）===2﹣，
所以原式=1+2﹣+（2﹣）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（注：用第二问中的证明方法去计算也给分）
（ II）若α+β=60°，则tanα+tanβ+tanαtanβ=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）21世纪教育网版权所有
证明：因为tan（α+β）=，所以tanα+tanβ=tan（α+β）（1﹣tanαtanβ），
左边=tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ
=tan60°（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ
=（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ
=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
