鲁教版八年级数学第八章一元二次方程（4-6节）练习题 （含参考答案）

8.4
用分解因式法解一元二次方程
一、试试你的身手（每小题3分，共24分）
1．方程的根是　　　　．
2．方程的解为　　　　．
3．一元二次方程的根是　　　　．
4．方程与方程的所有根的乘积是　　　　．
5．用　　　　法解方程比较简便．
6．若与的值相等，则x的值必须为　　　　．
7．若，则的值为　　　　．
8．若一个三角形的三边长均满足方程，则此三角形（不考虑等边三角形）的周长为　　　　．
二、相信你的选择（每小题3分，共24分）
1．若关于x的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．方程的解是（　　）
A．
B．
C．x=0或x=-1
Ｄ．x=0或x=1
3．方程的根是（　　）
A．x=6
B．x=0
C．
D．
4．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一根是（　　）
A．4
B．1
C．2
D．－2
5．解一元二次方程，结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．方程的正根为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．以3和为根的一元二次方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知是方程的两个根，则代数式的值是（　　）
A．37
B．26
C．13
D．10
三、挑战你的技能（本大题共38分）
1．（本题9分）用分解因式法解下列方程：
（1）
（2）；
（3）．
2．（本题9分）用公式法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
3．（本题10分）选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
4．（本题10分）已知a、b、c为实数，且，求方程的解．
四、超越你的极限（本题14分）
已知关于x的方程的一个根与方程的解相等．
（1）求k的值；
（2）求方程的另一个根．
提升能力题
1．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
　　　　　　　　①
　　　　　　②
　　　
　　③
……
　
　
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
2．阅读下面的例题：
解方程：，
解：（1）当x≥0时，原方程化为，解得：
(不合题意，舍去)；
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），所以原方程的根是．
请参照材料解方程．
3．阅读材料，解答问题：
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解这个方程得，当时，，所以，所以原方程的解为，上述解题过程，利用换元达到降次的目的，体现了转化思想的应用．
请利用以上数学思想方法解方程．
8.5一元二次方程根与系数的关系
一、选择题（共10小题，每题2分）
1.
方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m是【
】
A.
﹣2或3
B.
3
C.
﹣2
D.
﹣3或2
2．关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是【
】
A.
﹣1或5
B.
1
C.
5
D.
﹣1
3.
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使成立？则正确的是结论是【
】21·cn·jy·com
A．m=0时成立
B．m=2时成立
C．m=0或2时成
D．不存在
4．若α、β是一元二次方程的两根，则=【
】
A.
–6
B.
32
C.
16
D.
40
5．已知m，n是方程的两实数根，则的值为【
】
A.
B.
C.
D.
6.
若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是【
】
A．﹣10
B．
10
C．﹣16
D．16
7.
若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为【
】
A.
B.
C.
D.
8.
若方程的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是【
】A．
B．
C．
D．
9.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是【
】
A．﹣10
B．10
C．﹣6
D．﹣1
10.
已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是【
】
A．x2﹣6x+8=0
B．x2+2x﹣3=0
C．x2﹣x﹣6=0
D．x2+x﹣6=0
二、填空题（共10小题，每题2分）
1.
方程x2+2
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为
．
2.若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=
．
3.
已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是
.21世纪教育网21-cn-jy.com
4.
若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则=
．
5．已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为
．21世纪21世纪教育网有
6.
关于x的方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=
．
7.
设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为
．
8.
已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣
( http: / / www.21cnjy.com )3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=
．2·1·c·n·j·y
9.
若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是
．
10.
设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a=
.21教育网
三、解答题（共6小题，每题10分）
1.
已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数m的值.
2.一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
3.
已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值．
4.
设m是不小于﹣1
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．21cnjy.com
（1）若，求的值；（2）求的最大值．
5.
已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．
6.
已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
8.6
一元二次方程的应用水平测试
一、试试你的身手（每小题3分，共24分）
1．长方形的长比宽多3cm，面积为70cm2，长方形的周长为　　　　cm．
2．直角三角形两条直角边的长的比是5∶12，斜边的长为130cm，则这个直角三角形的面积是　　　　cm2．
3．某种品牌的电脑，原价是7
200元/台，经过连续两次降价后，现价是3
528元/台，平均每次降价的百分率为　　　　．
4．已知直角三角形两直角边长的和为17，斜边长为13，则斜边上的高为　　　　．
5．某房产开发公司经过不懈努力，开发建设住
( http: / / www.21cnjy.com )宅面积由2004年的4万平方米，增长到2006年的7万平方米，设这两年该开发公司建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为　　　　．
6．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是　　　　．
7．如图1，某广场一角的矩形花草区，其长为
( http: / / www.21cnjy.com )40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，则路的宽度为　　　　．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．小萍要在一幅长为90厘
( http: / / www.21cnjy.com )米，宽为40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个画面面积的54%，设金色纸边的宽为x厘米，根据题意得方程为　　　　．
二、相信你的选择（每小题3分，共24分）
1．华风超市2005年八月份的营业额为200万元，十月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（　　）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
2．一个直角三角形的面积是24，两条直角边的和为14，则这个三角形的斜边的长是（　　）
A．9
B．10
C．13
D．15
3．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽为4米的绿化带，使余下部分面积为140平方米，则原正方形广场的边长是（　　）
A．10米
B．12米
C．14米
D．16米
4．在一次小型会议上，参加会议的代表每人都和其他代表握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（　　）
A．12人
B．18人
C．9人
D．10人
5．剪一块面积是150cm2的矩形铁皮，使它的长比宽多5cm，则这个铁皮的周长是（　　）
A．30cm
B．40cm
C．50cm
D．60cm
6．某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．某厂今年3月份的产值为50万元，5
( http: / / www.21cnjy.com )月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少 若设平均每月增长的百分率为x．则列出的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．利用墙的一面，再用13m的铁丝
( http: / / www.21cnjy.com )网围成一个面积为20m2的长方形（其中一长边为墙面），求这个长方形的长和宽，设长为xcm，可得方程（　　）
A．
B．
C．
D．
三、挑战你的技能（本大题共38分）
1．（本题8分）两个连续的正偶数的积是288，求这两个偶数．
2．（本题10分）某水果批发商场经
( http: / / www.21cnjy.com )销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．
经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
现该商场要保证每天盈利6
000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
3．（本题10分）如图2，学校课外生物小组的
( http: / / www.21cnjy.com )实验园地是一块长35米，宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵的三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米，求小道的宽(精确到0.1米)．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（本题10分）某商厦二
( http: / / www.21cnjy.com )月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份采取措施，销售额稳步上升，五月份的销售额达到了135.2万元，求四、五月份的平均增长率
四、超越你的极限（本题14分）
如图3，在长为32m，宽
( http: / / www.21cnjy.com )为20m的矩形土地上，修筑两条同样宽的“之”字形小路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积是540m2，道路的宽应是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
提升能力题
1．一名跳水运动员进行10米跳台训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间t（s）与运动员距离水面高度h（m）满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作 （精确0.01）
2．如图，某农科站有一块长方形试验田，
( http: / / www.21cnjy.com )面积为1
200m2，现要将其分成A，B，C，D四个区，其中A区为正方形，C区的长为30m，宽为20m，那么A区的面积是多少m2？
( http: / / www.21cnjy.com )
3．某科研公司研制成功一种新产品，决定
( http: / / www.21cnjy.com )向银行贷款200万元，用于生产这种产品．签定的合同上约定两年到期时一次性还清本金和利息．利息为本金的8%，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年内到期时，除还清贷款的本金和利息，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分点数相同，试求这个百分数
8.4
用分解因式法解一元二次方程
参考答案
一、1．
2．
，
3．，
4．
5．
分解因式
6．
4或
7．2011
8．
10
二、1．B　2．D　3．C　4．D　5．B　6．D　7．C　8．A
三、1．（1）；
（2）；
（3）．
2．解：（1）；
（2）；
（3）．
3．解：（1）公式法：;
（2）分解因式法：．
4．．
四、（1）；
（2）所以方程的另一个解为．
提升能力题答案
1．略．
2．方程的解为．
3．．
8.5一元二次方程根与系数的关系
参考答案
1.C．∵x1+x2=m+6，x1
( http: / / www.21cnjy.com )x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2．21·世纪
教育网∵方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（m+6）2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0，解得m=6或m=﹣2．
∴m=﹣2．
故选C．
2．D．【分析】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1 x2=2a，
∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2
( http: / / www.21cnjy.com )﹣2x1 x2=5，即a2﹣4a﹣5=0，解得a1=5，a2=﹣1，21世纪教育网21-cn-jy.com
∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．
故选D．
3.
A．由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使成立，将x1+x2=m，x1x2=m﹣2整体代入变形后的式子，得到关于m的分式方程，解之即可：
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．
∵，∴，解得m=0．
经检验，m=0是方程的根，且当m=0时，方程为x2﹣2=0的两根为，符合题意．
故选A．
4．C．∵α、β是一元二次方程的两根，
∴.
∴.
故选C．
5．A．【分析】∵m，n是方程的两实数根，∴m+n=1，mn=﹣1．
∴．
故选A．
6.
A．∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
故选A．
7.
A．∵是方程的两根，∴.
∴.
故选A．
8.
D．∵方程的两实根为α、β，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣1．
∴；．
∴说法不正确的是.
故选D．
9.A．∴根据一元二次方程根与系数的关系得，﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，即b=﹣2，c=﹣8
∴b+c=﹣10．
故选A．
10.
D．设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为﹣2，3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6.
∴这个方程为：x2+x﹣6=0．
故选D．
二、填空题（共10小题，每题2分）
1.【答案】1．∵x12+x22=4，
∴x12+x22=x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2=（x1+x2）2﹣2x1 x2=4．
∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣2k，x1 x2=k2﹣2k+1，且．
∴4k2﹣4（k2﹣2k+1）=4，解得k=1．
2..
【答案】﹣1．设关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根为x1，x2，∴x1x2=k2．
∵两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1．
∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去．
故k的值为﹣1．
3.
【答案】或.∵，∴或.
∵关于x的一元二次方程的两根x1和x2，
∴若，则；
若，则方程有两相等的实数根，
∴.
∴或.
4.
【答案】﹣1．∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=1，x1x2=﹣1，
∴.
5．【答案】.∵关于x的方程的两个根分别是、，
∴.
∵，即，∴.
6.
【答案】0.∵关于x的方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=，x1x2=.
∵，
解得：m
1=0，m
2=2.
当m=0时，方程为，，满足题意；
当m=2时，方程为，，方程无实数根，不符合题意，舍去.
∴m=0.
7.
【答案】。∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=。
∴
( http: / / www.21cnjy.com )。
8.
【答案】9。∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3。
∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9。
9.
【答案】6。∵两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根。∴m+n=2，mn=﹣1。
∴。　
10.
【答案】10∵x1、x2是一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3。　　21
cnjy
com
又∵，即，即。
∴，即，解得a=10。
三、解答题（共6小题，每题10分）
1.
【答案】解：原方程可变形为：。
∵、是方程的两个根，∴△≥0，即：。
∴
8m+4≥0,
m≥。
又∵、满足，∴或。
当时，△=0，即8m+4=0，得m=。
当时，，即=0，得m=(不合m≥，舍去)。
∴当时，m的值为。
2.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，解得m≥0．
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1 x2=．
∵|x1﹣x2|=1，∴（x1﹣x2）2=1．∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1．
∴22﹣4×=1，解得：m=8．
经检验m=8是原方程的解．
∴m=8．
3.
【答案】解：（1）由题意有，
整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1.
∴实数m的取值范围是m≥﹣1.
（2）由两根关系，得，
∵，∴.
∴，整理，得m2+8m﹣9=0，
解得m=﹣9或m=1.
∵m≥﹣1，∴m=1．
4.
【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1.
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，，
∴，解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）.
∴．
（2）∵，
∴当m=﹣1时，的最大值为3．
5.【答案】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2.
∴整数m的最大值为1.
（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：.
∴x1+x2=，x1x2=1.
∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．
6.【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴，即。
∴。∴。
∴当时，原方程有两个实数根。
（2）假设存在实数k使得成立。
∵x1，x2是原方程的两根，∴。
由，得。
∴，整理得：。
∴只有当k=1时，上式才能成立。
又∵由（1）知，
∴不存在实数k使得成立。
8.6
一元二次方程的应用水平测试
参考答案
一、1．34
2．
3
000
3．
30%
4．
5．
6．
81
7．
2m
8．
二、1．C　2．B　3．C　4．C　5．C　6．C　7．D　8．B
三、1．
16和18．
2．当每千克涨价5元时，可使顾客得到实惠，且每天盈利6
000元．
3．小道的宽约为1.4米．
4．四、五月份的平均增长率为30%．
四、道路的宽为2m．
提升能力题答案
1．他最多有1.28s时间完成规定动作．
2．A区的面积为100m2．
3．该公司资金增长的百分数是20%．