10.4 中心对称 同步练习
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10.4 中心对称
核心笔记: 1.中心对称图形:在平面内,把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形,这个中心叫做对称中心,因此中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形.【来源：21·世纪·教育·网】
2.中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点.21·世纪*教育网
3.中心对称的性质及判定:
性质1:成中心对称的两个图形形状相同,大小相等;
性质2:在成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;
判定:如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称.21教育网
基础训练
1.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在一次游戏中,小明将图中前面的四张扑克牌中的某一张旋转180°后,得到后面四张牌的图示,小芳看了后,很快知道小明旋转的是哪一张扑克牌!她知道是( )www.21-cn-jy.com
A.红桃9 B.红桃J C.红桃8 D.梅花3
3.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称,下列结论中错误的是( )
A.AD∥EF,AB∥GF B.BO=GO C.CD=HE,BC=GH D.DO=HO
4.如图所示是由三个小正方形组成的图形,若在图形中补画一个小正方形,使得补画的图形为轴对称图形或中心对称图形,则可补画成轴对称图形和中心对称图形的个数分别是____________.www-2-1-cnjy-com
5.英文字母A、E、H、I、M、N、S、X、Y、Z中是中心对称图形的
有 个.
6.如图,D是△ABC的边BC的中点,连结AD并延长到点E,使DE=AD,
连结BE.图中两个三角形成中心对称的是___________,若△ADC的面积为4,则△ABE的面积为 .21·cn·jy·com
7.如图所示的两个正六边形能否关于某一点成中心对称?若能,请指出对称中心.
培优提升
1.如图所示的图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )
2.在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
①线段,②角,③等边三角形,④圆,⑤平行四边形,⑥长方形.
A.③④⑥ B.①③⑥ C.④⑤⑥ D.①④⑥
3.下列说法中正确的是( )
A.两个能够互相重合的图形一定成中心对称
B.成中心对称的两个图形一定能够互相重合
C.把一个图形绕着某一点旋转一定的角度,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形一定成中心对称
D.如果两个图形的对应点的连线都经过某一点,那么这两个图形关于这一点成中心对称
4.在如图所示的方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂上阴影,与图中阴影部分构成中心对称图形,该小正方形的序号是 .21世纪教育网版权所有
5.如图所示是一圆锥,在它的三视图中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是它的 视图.(填“主”、“俯”或“左”)
6.为了学习方便,有人把26个英文字母分成了五类,现在还剩下5个字母:D、M、Q、X、Z.请你根据现有的分类信息把这五个字母填在相应的长方形框中.2-1-c-n-j-y
①F R P J L G②H I O③N S④B C K E⑤V A T Y W U
7. (1)过中心对称图形的对称中心的任一直线,能否将该图形分成面积相等的两部分?为什么?
(2)如图所示是由5个相同的小正方形组成的图形,你能否画出一条直线将这个图形分成面积相等的两部分?请设计两种方案.
8.如图,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,试探究BE+FC与EF之间的大小关系,并说明理由.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
2.【答案】B
解：红桃9,红桃8,梅花3都不是中心对称图形,旋转后都会有变化,此题中的图案没有变化,说明小明旋转的是红桃J.故选B.
3.【答案】D
解：A、∵AD与EF关于点O成中心对称,
∴AD∥EF,同理可得AB∥GF,∴A正确;B、∵B与G关于点O成中心对称,∴BO=GO,∴B正确;C、∵CD与HE关于点O成中心对称,∴CD=HE,同理可得BC=GH,∴C正确;D、∵D与E关于点O成中心对称,∴DO=EO,∴DO=HO错误.21cnjy.com
4.【答案】4个,3个
解：如图①,是轴对称图形的一共有4个;如图②,是中心对称图形的一共有3个.
①
②
5.【答案】6
解：根据中心对称图形的定义进行解答.中心对称图形有:H、I、N、S、X、Z,共6个.
6.【答案】△ADC和△EDB;8
解：∵△ADC和△EDB成中心对称,△ADC的面积为4,∴△EDB的面积也为4.∵D为BC的中点,∴△ABD的面积也为4,∴△ABE的面积为8.
7.解:能.对称中心是这两个正六边形交点所连线段的中点.
【培优提升】
1.【答案】B
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.
2.【答案】D
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.
3.【答案】B
4.【答案】②
5.【答案】俯
解：圆锥的主视图是等腰三角形,是轴对称图形,但不是中心对称图形;圆锥的左视图是等腰三角形,是轴对称图形,但不是中心对称图形;圆锥的俯视图是圆加一圆心,是轴对称图形,也是中心对称图形.
6.【答案】①Q ②X ③Z ④D ⑤M
解：本题考查了字母的对称性.能够熟练分析字母的对称性,根据对称性进行合理分类是关键.
7.解:(1)能.因为过中心对称图形的对称中心的直线把该图形分成了两部分,如果将其中一部分绕对称中心旋转180°,那么能与另一部分重合,所以这两部分面积相等.2·1·c·n·j·y
(2)能.方案一:作出右上角小正方形的对称中心,再作出下边“田”字形的对称中心,过这两个对称中心的直线即是所求直线.方案二:作出左边两个小正方形所组成的图形的对称中心,再作出右边三个小正方形所组成的图形的对称中心,过这两个对称中心的直线即是所求直线.
解：(2)题答案不唯一.
8.解:BE+FC>EF.理由如下:因为D为BC的中点,
所以BD=CD.作△BDE关于点D成中心对称的△CDM,如图.
由中心对称的性质可得CM=BE,MD=ED,
连结FM.在△FME中,MD=ED,FD⊥ME,所以FD是ME的垂直平分线,所以
△FDM和△FDE关于FD对称,
所以FM=FE.
又因为在△FCM中,CM+FC>FM,
所以BE+FC>EF.
分析：通过几何图形的中心对称变换,可以将线段进行等长的位置转移,使分散的几何元素集中起来.
核心笔记: 1.中心对称图形:在平面内,把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形,这个中心叫做对称中心,因此中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形.【来源：21·世纪·教育·网】
2.中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合,那么,我们就说这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点.21·世纪*教育网
3.中心对称的性质及判定:
性质1:成中心对称的两个图形形状相同,大小相等;
性质2:在成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;
判定:如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称.21教育网
基础训练
1.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在一次游戏中,小明将图中前面的四张扑克牌中的某一张旋转180°后,得到后面四张牌的图示,小芳看了后,很快知道小明旋转的是哪一张扑克牌!她知道是( )www.21-cn-jy.com
A.红桃9 B.红桃J C.红桃8 D.梅花3
3.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称,下列结论中错误的是( )
A.AD∥EF,AB∥GF B.BO=GO C.CD=HE,BC=GH D.DO=HO
4.如图所示是由三个小正方形组成的图形,若在图形中补画一个小正方形,使得补画的图形为轴对称图形或中心对称图形,则可补画成轴对称图形和中心对称图形的个数分别是____________.www-2-1-cnjy-com
5.英文字母A、E、H、I、M、N、S、X、Y、Z中是中心对称图形的
有 个.
6.如图,D是△ABC的边BC的中点,连结AD并延长到点E,使DE=AD,
连结BE.图中两个三角形成中心对称的是___________,若△ADC的面积为4,则△ABE的面积为 .21·cn·jy·com
7.如图所示的两个正六边形能否关于某一点成中心对称?若能,请指出对称中心.
培优提升
1.如图所示的图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )
2.在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
①线段,②角,③等边三角形,④圆,⑤平行四边形,⑥长方形.
A.③④⑥ B.①③⑥ C.④⑤⑥ D.①④⑥
3.下列说法中正确的是( )
A.两个能够互相重合的图形一定成中心对称
B.成中心对称的两个图形一定能够互相重合
C.把一个图形绕着某一点旋转一定的角度,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形一定成中心对称
D.如果两个图形的对应点的连线都经过某一点,那么这两个图形关于这一点成中心对称
4.在如图所示的方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂上阴影,与图中阴影部分构成中心对称图形,该小正方形的序号是 .21世纪教育网版权所有
5.如图所示是一圆锥,在它的三视图中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是它的 视图.(填“主”、“俯”或“左”)
6.为了学习方便,有人把26个英文字母分成了五类,现在还剩下5个字母:D、M、Q、X、Z.请你根据现有的分类信息把这五个字母填在相应的长方形框中.2-1-c-n-j-y
①F R P J L G②H I O③N S④B C K E⑤V A T Y W U
7. (1)过中心对称图形的对称中心的任一直线,能否将该图形分成面积相等的两部分?为什么?
(2)如图所示是由5个相同的小正方形组成的图形,你能否画出一条直线将这个图形分成面积相等的两部分?请设计两种方案.
8.如图,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,试探究BE+FC与EF之间的大小关系,并说明理由.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
2.【答案】B
解：红桃9,红桃8,梅花3都不是中心对称图形,旋转后都会有变化,此题中的图案没有变化,说明小明旋转的是红桃J.故选B.
3.【答案】D
解：A、∵AD与EF关于点O成中心对称,
∴AD∥EF,同理可得AB∥GF,∴A正确;B、∵B与G关于点O成中心对称,∴BO=GO,∴B正确;C、∵CD与HE关于点O成中心对称,∴CD=HE,同理可得BC=GH,∴C正确;D、∵D与E关于点O成中心对称,∴DO=EO,∴DO=HO错误.21cnjy.com
4.【答案】4个,3个
解：如图①,是轴对称图形的一共有4个;如图②,是中心对称图形的一共有3个.
①
②
5.【答案】6
解：根据中心对称图形的定义进行解答.中心对称图形有:H、I、N、S、X、Z,共6个.
6.【答案】△ADC和△EDB;8
解：∵△ADC和△EDB成中心对称,△ADC的面积为4,∴△EDB的面积也为4.∵D为BC的中点,∴△ABD的面积也为4,∴△ABE的面积为8.
7.解:能.对称中心是这两个正六边形交点所连线段的中点.
【培优提升】
1.【答案】B
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.
2.【答案】D
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.
3.【答案】B
4.【答案】②
5.【答案】俯
解：圆锥的主视图是等腰三角形,是轴对称图形,但不是中心对称图形;圆锥的左视图是等腰三角形,是轴对称图形,但不是中心对称图形;圆锥的俯视图是圆加一圆心,是轴对称图形,也是中心对称图形.
6.【答案】①Q ②X ③Z ④D ⑤M
解：本题考查了字母的对称性.能够熟练分析字母的对称性,根据对称性进行合理分类是关键.
7.解:(1)能.因为过中心对称图形的对称中心的直线把该图形分成了两部分,如果将其中一部分绕对称中心旋转180°,那么能与另一部分重合,所以这两部分面积相等.2·1·c·n·j·y
(2)能.方案一:作出右上角小正方形的对称中心,再作出下边“田”字形的对称中心,过这两个对称中心的直线即是所求直线.方案二:作出左边两个小正方形所组成的图形的对称中心,再作出右边三个小正方形所组成的图形的对称中心,过这两个对称中心的直线即是所求直线.
解：(2)题答案不唯一.
8.解:BE+FC>EF.理由如下:因为D为BC的中点,
所以BD=CD.作△BDE关于点D成中心对称的△CDM,如图.
由中心对称的性质可得CM=BE,MD=ED,
连结FM.在△FME中,MD=ED,FD⊥ME,所以FD是ME的垂直平分线,所以
△FDM和△FDE关于FD对称,
所以FM=FE.
又因为在△FCM中,CM+FC>FM,
所以BE+FC>EF.
分析：通过几何图形的中心对称变换,可以将线段进行等长的位置转移,使分散的几何元素集中起来.