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北师大数学七下3.1用表格表示的变量间关系
教学设计
课题 用表格表示的变量间关系 单元 第三章 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 情感态度和价值观目标 经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。
能力目标 学会用表格整理试验得出的数据，能从表格中获得变量之间关系的信息，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。
知识目标 在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
重点 能从表格中分清什么是变量、自变量与因变量，理解因变量随自变量的变化规律。
难点 理解两个变量之间的相依关系，将具体问题抽象成数学问题，由数据进行推断。
学法 探究性学习 教法 实验法、引导法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 观察图片：小时候的胡歌和成熟男神胡歌。观察图片：60年前后德国石雕像的变化。我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化。从今天开始，我们将从数学的角度研究变化的量，讨论他们之间的关系，学习这些知识，将有助于我们更好的了解自己，认识世界和预测未来。 思考：你周围有这样的变化吗？哪些量在变化？（学生自由回答） 用图片吸引学生注意力，成功导入主题：哪些量在发生变化？引发学生思考。
讲授新课 探究1、测量弹簧秤挂重物后的长度 以小组为单位，在弹簧上不断地加上钩码，研究钩码个数与弹簧长度之间的变化情况,并用表格记录数据。指出表格中哪些量在发生变化？变化趋势是什么？用弹簧做挂重物实验，在1000g范围内，每增加100g，弹簧长度增加1cm，实验数据如下表：物体质量(g)100200300400弹簧长度(cm)11121314(1)上述哪些量在发生变化？变化趋势是什么？(2) 你能知道不挂物体时弹簧的长度吗？(3) 请你预测所挂物体质量为800g时，弹簧总长度是多少？若弹簧总长度为15厘米时，所挂物体的质量是多少？ 以小组为单位，在弹簧上不断地加上钩码，研究个数与弹簧长度之间的变化情况,由一名学生负责用表格记录。并指出上述表格中哪些量在发生变化？变化趋势是什么？ 让学生亲自实践这个实验，使他们获得变量之间关系的直观体验，并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式。
探究2、小车下滑实验王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间。他们得到的数据如下表：支撑物高度/cm102030405060708090100小车下滑时间/s4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35根据上表回答下列问题：（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎样估计的？(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？ 鼓励学生亲自动手实验，学生在回答问题时可能语言不够准确,教师要适当引导,鼓励学生用自己的语言进行描述。让学生体会到集体的智慧、合作交流的必要性。 让学生亲自动手实验，让学生感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少。问题(4)是进行预测,对学生来说有一定难度,鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格获取信息的能力。
探究3、变量、自变量、因变量、常量的概念在“小车下滑的时间”中，支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量(variable)。其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。支撑物的高度h是自变量(independent variale)，小车下滑的时间t是因变量(dependent variale)。在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直没有变化。像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量（constant）。借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。在表格里，通常把自变量放在上（或左）面，把因变量放在下（或右）面。 小组为单位推选出比较好的例子并指出自变量和因变量。学生的表述个别可能不够准确，需教师加以引导。 结合上述实验总结概念，并进一步引导学生思考：生活中还有哪些例子反映了变量之间的关系呢？其中谁是自变量？谁是因变量呢？
探究4、议一议：我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：时间/年1949195919691979198919992009人口数量/亿5.426.728.079.7511.0712.5913.35（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？ 结合生活实际，思考问题、讨论思路。 能从表格中获得变量之间的关系，并能根据数据分析预测未来。
课堂练习 1．在某一变化过程中不断变化的量，叫做_______；如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做________，y叫做 _________。2．常量：_____________________________________3.购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式可表示为y=________，其中，________是常量，_________是变量。4.在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：(1)上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？(3)时间推移2分钟，水的温度如何变化？(4)时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？ 讨论交流，思考解题思路。 通过练习巩固本课所学，学会把知识应用到实际生活中。
课堂小结 今天我们学习了哪些知识？1.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量。2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步的预测。 学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。 通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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3.1 用表格表示的变量间关系
一、选择题:
1.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表:
年龄x(岁) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高h(cm) 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法错误的是( )
A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢;
B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了;
C.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cm;
D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm.
2.小明和他爸爸做了一个实验:由小明从一幢245m高的楼顶随手扔下一只苹果,由他爸爸测量有关数据,得到苹果下落的路程和下落的时间有下面的关系:21教育网
下落时间t(s) 1 2 3 4 5 6
下落路程S(m) 5 20 45 80 125 180
则下列说法错误的是( )
A.苹果每秒下落的路程不变; B.苹果每秒下落的路程越来越长
C.苹果下落的速度越来越快; D.可以推测,苹果下落7s后到达地面
3．某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．数100和η，t都是变量 B．数100和η都是常量
C．η和t是变量 D．数100和t都是常量
4．某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下（ ）：
定价（元） 100 110 120 130 140 150
销量（个） 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量，销量是变量
B．定价是变量，销量是不变量
C．定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
二、填空题
5．一个正方形的边长为5cm，它的边长减少xcm后得到的新正方形的周长为ycm，则y与x的关系式是_____，自变量的取值范围是_____．21cnjy.com
6．饮食店里快餐每盒5元，买n盒需付S元，则其中常量是_____，变量是_____．
7．购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式可表示为y=_____，其中，_____是常量，_____是变量www.21-cn-jy.com
二、解答题：
8．三口之家，冬天饮用桶装矿泉水的情况如下表：
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
桶中剩水 4.5加仑 3.9加仑 3.5加仑 3.1加仑 2.5加仑 2加仑 1.5加仑
（1）根据表中的数据，说一说哪些量是在发生变化？自变量和因变量各是什么？
（2）能说出下周一桶中还有多少水吗？
（3）根据表格中的数据，说一说星期一到星期日，桶中的水是如何变化的．
9．小华感冒发烧，临睡前吃了退热镇痛药，妈妈每隔两小时给她测一次体温，测得结果如下表：
时间（时） 18 20 24 2 4 6 8 10 12
体温（℃） 38.4 38.5 38.1 37.6 37.2 36.9 36.7 36.3 36.2
看表回答小华几点钟体温最高，几点钟体温最低．利用周日休息时间每隔两小时测一下自己的体温，并填写出表格．2·1·c·n·j·y
10．2000年7月1日国家规定的整存整取定期储蓄利率如下：
存期 三个月 半年 一年 二年 三年 五年
年利率 1.98% 2.16% 2.25% 2.43% 2.70% 2.88%
（1）年利率是如何随存期的变化而变化的？你如何选择存期？
（2）现有人民币10000元，两年后才用，假定按2000年7月1日的利率存入银行．试问下面两种存款方式中：a. 一个两年期，b. 一个一年期，接着又一个一年期，选择哪一种存款方式能获得最大利息？www-2-1-cnjy-com
11．研究表明，弹簧挂上物体后会伸长，知弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：2-1-c-n-j-y
物体质量/kg 0 1 2 3 4 …
弹簧长度/cm 8 8.5 9 9.5 10 …
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪是自变量？因变量？
（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度是多少？
（3）如果物质质量为kg，弹簧的长度为cm，根据上表写出与的关系式．
（4）当物体质量为3.5kg，你能说出弹簧的长度吗？
（5）当弹簧长度为12.5cm时，根据（3）求出所挂物体质量．
12．（2008 防城港）已知x为实数．y、z与x的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：21*cnjy*com
（1）当x为何值时，y=430？
（2）当x为何值时，y=z？
x y z
… … …
3 30×3+70 2×1×8
4 30×4+70 2×2×9
5 30×5+70 2×3×10
6 30×6+70 2×4×11
… … …
参考答案：
一、1. C
2. A
3. 【解答】解：某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t之间的关系中：η和t是变量，零件的个数100是常量．21世纪教育网版权所有
故选：C．
4.【解答】解：定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量，故C正确；
故选：C．
二、5．【解答】由题意得：原正方形边长为5，减少xcm后边长为5-x，
则周长y与边长x的函数关系式为：y=20-4x；
自变量的范围应能使正方形的边长是正数，故x≥0，且5-x＞0，
解得：0≤x＜5．21·cn·jy·com
6．【解答】常量是个具体的数值5，n和S是会发生变化的量，是变量.
7．【解答】y=1.2n（n为自然数），其中1.2为常量，n和y为变量．
故答案为y=1.2n（n为自然数）；1.2；n、y．【来源：21cnj*y.co*m】
三、8．（1）日期数、桶中剩水量是变量，日期数是自变量，桶中剩水量是因变量 （2）能有水（提示：最多一天减少0.6加仑） （3）水一天比一天少，大约每天减少0.5加仑．
9．20时小华体温最高是38.4℃，12时小华体温最低是36.℃．
10．（1）随着存期的增加利率也提高 （2）a可得利息486元，b两次共得利息480.0625元，应选a．21·世纪*教育网
11．（1）弹簧长度随物体质量的变化规律，物体质量是自变量，弹簧长度是因变量
（2）9.5cm （3） （4）9.75 （5）9kg
12.【解答】解：∵y=30×x+70，z=2×（x﹣2）（5+x）
（1）当x=12时，y=30×12+70=430；
（2）∵y=z，
即30×x+70=2×（x﹣2）（5+x），
解得：x=﹣3或15．
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用表格表示的变量间关系
数学北师大版 七年级下
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教学目标
胡歌小时候
胡歌男神
60年前后石雕像的变化。
教学目标
教学目标
万物都在悄悄地发生着变化，从数学的角度研究它们之间的关系，将有助于我们更好地认识世界，预测未来，那就让我们一起来揭开变化的新篇章吧…
教学目标
我们在弹簧上不断地加上钩码，研究个数
与弹簧长度之间的变化情况,并记录在下表:
钩码个数 1 2 3
弹簧长度
上述表格中哪些量在发生变化？变化趋势是什么？
1.测量弹簧挂重物后的长度
教学目标
用弹簧做挂重物实验，在1000g范围内，每增加100g，弹簧长度增加1cm，实验数据如下表：
(1)上述哪些量在发生变化？变化趋势是什么？
(3) 请你预测所挂物体质量为800g时，弹簧总长度是多少？若弹簧总长度为15厘米时，所挂物体的质量是多少？
(2)你能知道不挂物体时弹簧的长度吗？
18厘米
500g
10厘米
物体质量和弹簧长度
随着物体质量的增加，弹簧变长。
物体质量(g) 100 200 300 400
弹簧长度(cm) 11 12 13 14
2、小车下滑实验
王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间。
教学目标
20
0
40
60
80
100
单位:cm
认真观察呀！
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100
单位:cm
认真观察呀！
下面是实验得到的数据：
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是______秒。
（2）如果用h（厘米）表示支撑物高度，t（秒）表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
根据上表回答下列问题：
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
1.59
随着h逐渐变大，t越来越短。
支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是怎样估计的？
1.35秒到1.29秒中的任一值
（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？
哪些量始终不发生变化？
下滑的时间t会发生变化，小车下滑的路程没有发生变化。
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
不相同
支撑物高度（h）/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间（t）/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量。
其中________________随______________的变化而变化。
小车下滑的时间t
支撑物的高度h
小车下滑的距离一直没有变化。在变化过程中始终不变的量叫常量。
自变量
因变量
3、变量、自变量、因变量、常量的概念
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009
人口数量/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
4、议一议：
(2)x和y哪个是自变量 哪个是因变量
X是自变量，y是因变量。
随着x的增加，y也增加
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009
人口数量/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
4、议一议：
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？
我国人口将会越来越多
你能从表格中获得变量之间的关系，并能根据数据分析预测未来了吗？
上述定理，反过来，还成吗？吗？
生活中还有哪些例子反映了
变量之间的关系呢？
其中谁是自变量？
谁是因变量呢？
2．常量：_______________________________________ 。
教学目标
1．在某一变化过程中不断变化的量，叫做_______；如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做________，y叫做 _________。
在变化过程中始终不变的量
变量
自变量
因变量
3．购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式可表示为y=________，其中，________是常量，_________是变量。
1.2n
1.2
n、y
教学目标
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
4.在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
(1)上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
时间（分） 0 2 4 6 8 10 12 14 …
温度（℃） 30 44 58 72 86 100 100 100 …
上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；
水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；
水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；
教学目标
(3)时间推移2分钟，水的温度如何变化？
(4)时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？
4.在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
时间（分） 0 2 4 6 8 10 12 14 …
温度（℃） 30 44 58 72 86 100 100 100 …
时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；
时间为8分钟，水的温度是86℃，时间为9分钟，水的温度是93℃；
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
桶中剩水 4.5加仑 3.9加仑 3.5加仑 3.1加仑 2.5加仑 2加仑 1.5加仑
5.三口之家，冬天饮用桶装矿泉水的情况如下表：
（2）根据表格中的数据，说一说星期一到星期日，桶中的水是如何变化的
（1）根据表中的数据，说一说哪些量是在发生变化？自变量和因变量各是什么？
教学目标
日期数、桶中剩水量是变量，日期数是自变量，桶中剩水量是因变量；
水一天比一天少，大约每天减少0.5加仑．
今天我们学习了哪些知识？
1.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量。
2.能从表格中获得变量之间关系的信息，
能用表格表示变量之间的关系，
尝试对变化趋势进行初步的预测。
教学目标
谢 谢！
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