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第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组
1、什么是一元一次方程？“元”指什么？“次”指什么？
复习旧知
含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程。
2、什么是方程的解？
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
“元”指的是未知数，“次”指的未知数的指数。
在NBA篮球联赛中，比赛规则是：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 姚明所在的火箭队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少
情景导入
上述问题中包含哪些等量关系？
胜的场数+负的场数=总场数
胜场积分+负场积分=总积分
根据等量关系你能列出方程吗？
2x+(10－x)=16
设这个队设胜x场，根据题意得：
设这个队胜x场，负y场；你能根据题意列出方程吗？
用方程表示为：
这两个方程和我们以前学过的方程相同吗？什么共同特征？
情景导入
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
1：未知数的个数都是2
2：含有未知数的项最高次数是1次
3：含有未知数的项是整式而不是分式
（即分母不含有未知数）
相同点
探究新知
归纳：
方程：
上面两个二元一次方程合在一起，写成 就组成了一个方程组.
x+y=10
2x-y=16
探究新知
对比两个方程，你能发现它们之间的关系吗？
方程组中的两个x，y都是这个队的胜、负场数，它们必须同时满足这两个方程。
像这样方程组中有____个未知数，含有每个未知数的项的次数都是____，并且一共有____个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
两
1
两
二元一次方程组定义：
探究新知
(3)
(1) 3y-2x =z+5
(4)x=
(5)
(2)
(6)3 - 2xy =1
是
不是
不是
不是
不是
不是
判断下列方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+π=0
(8)2x=1-3y
不是
是
试一试
探究：
满足x+y=10的值有哪些？请填入表中：
使二元一次方程两边相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解，记作.
x …
y …
探究新知
1
9
2
8
3
7
4
6
5
5
6
4
一般地，一个二元一次方程有无数个解。
x 0 1 2 3 … 6 … 8
y
满足方程2x+y=16且符合问题的实际意义的x 、y的值如下表：
不难发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组的解。
记作：
16 14 12 10 … 4 … 0
探究新知
类比归纳 ， 形成概念
二元一次方程组中的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
二元一次方程组的解定义：
探究新知
3x+y=10的解有多少个？一个解有几个数？正整数解有几个？
二元一次方程3x+y=10有无数组解,
一个解就有2个数，
有3组正整数解，分别是x=1，y=7；x=2,y=4；x=3，y=1
想一想
典例精析
例、若方程2x2m+3+3y3n-7=0是关于x、y的二元一次方程，求m+n的值。
解：由题意得：2m+3=1，3n-7=1
解得：m=1，n=
所以：m+n=1+
例2、暴风雨即将来临, 一群蚂蚁正忙着搬家.其中有大蚂蚁和小蚂蚁,已知大小蚂蚁总共有1 00只,小蚂蚁一次只能搬一粒食物,大蚂蚁一次能搬两粒,一场忙碌过后,洞里的160粒食物刚好一次被安全转移,求大小蚂蚁各有几只
典例精析
解:设小蚂蚁有x只,大蚂蚁有y只,
根据题意得：
昨天，我们8个人去北陵公园玩，买门票花了34元。
每张成人票5元，每张儿童票3元。他们到底去了几个成人、几个儿童呢？
列出方程组来看看!
典例精析
解:设去了x个成人，y个儿童，得：
x+y=8
5x+3y=34
典例精析
1．下列方程中，是二元一次方程的是( )
A．3x－2y＝4z B．6xy＋9＝0
C.＋4y＝6 D．4x＝
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
D
A
随堂练习
C
3．在方程(k－2)x2＋(2－3k)x＋(k＋1)y＋3k＝0中，若此方程为关于x，y的二元一次方程，则k值为( )
A．－2 B．2或－2
C．2 D．以上答案都不对
4．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
B
随堂练习
C
随堂练习
6.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
B
1．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是( )
A
拓展延伸
拓展延伸
拓展延伸
1、方程中含有两个未知数(x和y),并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、把两个一次方程合在一起后共有两个未知数，就组成了一个二元一次方程组。
3、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4、一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解。
课堂小结8.1 二元一次方程组
教学目标
1． 认识二元一次方程和二元一次方程组.
2． 了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
重点、难点
重点: 理解二元一次方程组的解的意义
难点: 求二元一次方程的正整数解
教学过程
复习
什么是一元一次方程？“元”指什么？“次”指什么？
什么是方程的解？
设计意图：通过学生复习以前的内容，知道用元与次的含义，为这节课所学的二元一次方程组奠定基础。
二、情境导入
在NBA篮球联赛中，比赛规则是：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 姚明所在的火箭队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少
思考：
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？21cnjy.com
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程表示吗？
学生自己先用一元一次方程来解答此题，然后根据两个等量关系列出方程：x＋y＝10，2x＋y＝16
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节。21·cn·jy·com
三、探究新知
提问：这两个方程和我们以前学过的方程相同吗？什么共同特征？
学生通过观察，师生共同总结：
相同点1：未知数的个数都是2
2：含有未知数的项最高次数是1次
3：含有未知数的项是整式而不是分式
从而归纳出二元一次方程的定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.21世纪教育网版权所有
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22
2x＋y＝40
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
提问：对比两个方程，你能发现它们之间的关系吗？
师生共同总结二元一次方程组的概念像这样方程组中有两个个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
探究：
满足x+y=10的值有哪些？请填入表中：
使二元一次方程两边相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解，记作.
满足方程2x+y=16且符合问题的实际意义的x 、y的值如下表：
不难发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组的解。www.21-cn-jy.com
归纳二元一次方程组的解的定义：二元一次方程组中的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
思考：3x+y=10的解有多少个？一个解有几个数？正整数解有几个？
设计意图：现代数学教学论指出，数学知识的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过学习用坐标表示平移观察分析、独立思考、小组交流等活动，引导学生归纳。2·1·c·n·j·y
四、例题讲解
例、若方程2x2m+3+3y3n-7=0是关于x、y的二元一次方程，求m+n的值。
例2、暴风雨即将来临, 一群蚂蚁正忙着搬家.其中有大蚂蚁和小蚂蚁,已知大小蚂蚁总共有1 00只,小蚂蚁一次只能搬一粒食物,大蚂蚁一次能搬两粒,一场忙碌过后,洞里的160粒食物刚好一次被安全转移,求大小蚂蚁各有几只 21·世纪*教育网
例3、
学生思考，试着解答，最后共同宣布答案。
设计意图：在例题讲解过程中，让学生充分活动起来，通过例题探究来进行总结，不要让学生死记硬背，重点在理解，会灵活运用。www-2-1-cnjy-com
五、随堂练习
1．下列方程中，是二元一次方程的是( )
A．3x－2y＝4z B．6xy＋9＝0
C.＋4y＝6 D．4x＝
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
3．在方程(k－2)x2＋(2－3k)x＋(k＋1)y＋3k＝0中，若此方程为关于x，y的二元一次方程，则k值为( )21*cnjy*com
A．－2 B．2或－2 C．2 D．以上答案都不对
4．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
A、 B、 C、 D、
5．二元一次方程组的解为( )
A. B. C. D.
6.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
设计意图：几道练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，升华知识
六、拓展延伸
1．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是( )2-1-c-n-j-y
A. B.
C. D.
2．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 016＋(－b)2 017.
设计意图：这个环节是巩固本课知识点，通过设置练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
七、课堂小结
以提问进行：
（1）、二元一次方程（组）的特征是什么？
（2）、二元一次方程组的解要满足什么条件？
设计意图：通过共同小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，再一次突出本节课的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．同时为以后的学习作知识储备.21教育网
八、教学反思
1.概念课教学模式：本节课的主要内容是二元一次方程（组）的有关概念，设计时按照“实例研究，初步体会——比较分析，把握实质——归纳概括，形成定义——应用提高，发展能力”的思路进行，让学生体会到是因为“需要”而学习新知识，逐步渗透应用意识。
2.类比法的运用：二元一次方程及其解的意义类比一元一次方程学习，一方面加深学生对于方程中“元”与“次”的理解，另一方面易于理清一元一次方程与二元一次方程“解”的相关知识的异同，同时为二元一次方程组相关概念扫清障碍。【来源：21cnj*y.co*m】
3.分层递进，循环上升：学生对知识的理解，教师对学生的要求，都是由低到高，逐步提升，题目的设计从单一知识点的直接运用，逐渐到多个知识点的灵活运用，给学生设计必要的台阶，使其一步步向前，最终达到教学目标。【版权所有：21教育】
参考答案
随堂练习
1、D 2、A 3、C 4、B 5、C 6、B
拓展延伸
1、A
2、解：把代入方程②中，得
4×(－3)－b×(－1)＝－2，解得b＝10.
把代入方程①中，得
5a＋5×4＝15，解得a＝－1.
∴a2 016＋(－b)2 017＝(－1)2 016＋(－×10)2 017＝1＋(－1)＝0.【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网
