义务教育教科书 数学 七年级上（北京师范大学出版社）
2.2《数轴》教学设计
内容与内容分析
1.内容：数轴
2.内容解析
《数轴》是北师大版数学七年级上册第二章第2节的内容. 本节是在引进了负数及分析了有理数的分类后给出的。
从知识上讲，数轴是初中数学学习和研究的重要工具，它主要应用于有理数的大小比较、相反数、绝对值概念的理解，有理数运算法则的推导及不等式的求解.同时，也是以后学习二维的平面直角坐标系的基础。
从思想方法上讲， 数轴是初中数形结合的重要体现，而数形结合是学生理解数学，学好数学的重要思想方法. 数轴是直观表示数的一种方法，在数字问题和生活实际中有着广泛应用，掌握好本节内容对今后学习和生活有着积极意义。
所以，本节课的教学重点是：数轴的概念和画法，并能利用数轴比较有理数的大小.
二、目标与目标解析
1.教学目标：
（1）通过实际问题情境类比抽象出数轴，理解数轴的三要素，并能正确画出数轴；
（2）能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法；
（3）能利用数轴直观比较有理数的大小.
2.教学目标解析：
（1）经历从实际问题抽象出数轴的过程，由直观认识上升到理性认识，建立数轴的概念，理解数轴的三要素，体验数学来源于生活；
（2）通过学生动手画数轴，来深刻理解数轴的概念，同时培养学生的分析问题能力和动手操作的能力；
（3）通过逐类研究引导学生分析有理数与数轴上的点的对应关系，从而渗透数形结合的思想方法，通过数轴上两点的位置关系判断对应两数的大小，培养学生的数学应用意识，感受数轴的工具魅力.
三、教学问题诊断分析
从知识上看，学生已经学习了有理数，为学习数轴已经做好知识上的准备。从七年级学生的理解能力、思维特征和心理特征上看，学生刚刚进入中学，理性思维的发展还很有限，他们在知识经验、心理品质等方面，依然保留着小学生的特点，天真活泼、对新生事物很感兴趣、具有强烈的求知欲，形象思维能力已比较成熟，但抽象思维能力还比较薄弱。
所以在教学中，为了让学生感受引入数轴的意义，形成数轴的概念，一方面要运用直观生动的形象素材和问题情境，引发学生的探究兴趣；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解并及时的表扬鼓励，充分发挥学生学习的学习主动性。为了使学生充分理解数轴的三要素，利用自主思考、动手操作、相互检查、图形辨析等环节，充分调动学生的积极性。在理解数轴上的点与有理数的关系时，引导学生首先明确有理数的分类，发现还有一类数——无限不循环小数也应在数轴上，从而建立了点与有理数并非一一对应的关系。
由于数轴重要的工具性特点以及数轴的抽象性，因此，本节课的难点为：数轴的建模过程，以及建立有理数与数轴上的点的对应关系。
四、教学支持条件分析：
数学是一门培养学生思维，发展学生思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然” 。
根据本课内容特点，本节课主要通过启发引导学生来进行探索，所以尽力给学生营造的“可探索”的环境，积极参与，互相讨论，一步步地掌握数轴的概念，并通过练习，使学生更好地理解数轴，从而体会数形结合的思想。同时采用多媒体辅助教学，以多媒体手段为驱动、以问题为载体，给学生创设一个宽松愉悦的学习氛围，引导学生积极探索、体验成功。
五、教学过程设计：
教学过程
设计说明
（一）创设情境，引入新知
复习旧知：
上节课，我们学习了一类新的数——负数，这样就可以用正数和负数表示具有相反意义的量，从而数的范围就扩大到有理数范畴。那么有理数如何分类呢？
正整数
整数 零 正有理数
有理数 负整数 有理数 零
正分数 负有理数
分数
负分数
情境引入：
【情境一】
以海平面为基准，珠穆朗玛峰高出海平面8844米，吐鲁番盆地低于海平面155米。若记海平面为0米，则珠峰和吐鲁番盆地的高度是多少呢？如何用图形表示呢？
【情境二】
小明从学校门口出发，向东走50米到达书店，向西走300米到达家。如果规定向东为正方向，向西为负方向，则小明从学校出发，书店记作什么？家又记作什么？如何用图表示？
【情境三】
你能读出图中温度计上的示数吗？
（学生很容易读出示数，但要注意刻度的示数左右均有）
仔细观察温度计的构造中，有什么特点？
（让学生回答，相互补充）
有一个起点或基准点；
有正负两个方向；
刻线都是等距的，每相邻两个刻线之间表示的都是1度.
3.归纳共性：
【想一想】
以上三个图有什么共同特征？
（学生先独立思考，然后四人一小组讨论归纳，再派代表发言，各组相互补充）
都用一条直线来表示位置、高度或温度；
直线上都有一个起点或基准点（0米，0摄氏度）；
都规定了正负方向；
要准确表示必须有刻度.
通过对上节课内容的复习，让学生体会我们引入负数的必要性以及数域的第一次扩充，为本节课将有理数对应到图形打下基础。
情景一、二、三分别从不同高度、位置和温度三方面体现了直线上一点和有理数的对应关系，让学生感知学习数轴的必要性。
情境三中的温度计跟前两个不同之处，在于有刻度，能准确表示温度。而前两个都只是大致表示。
学生经历从特殊到一般的归纳过程，独立思考后再进行讨论，可以提高学生学习的积极性和合作学习的能力。
（二）类比归纳，提炼概念
【问题1】 能否也用一条直线来表示有理数呢？
（根据三个实例图的分析，让学生抽象出没有实际背景下的正数、负数、0的表示）
直线上要有一个0点，
要规定一个正方向，
还要有刻线，相邻刻线等距且意义相同
这样的一条直线就是我们今天要学习的数轴.
(教师板书：2.2数轴)
【问题2】到底什么是数轴呢？
一般地，画一条水平的直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），规定直线上向右的方向为正方向，选取某一单位长度。这样的直线就叫做数轴.
实际上，数轴就像是一个横放的温度计.
理解概念，辨析概念
【问题1】如何画一条数轴？
（根据概念学生自主完成，两位同学板演，最后同桌两人相互检查）
原点（0）：一般居中
正方向（向右）：右端标箭头
单位长度：适当，短线，标数
【问题2】下列哪些是数轴？哪些不是？为什么？
应用概念，数形转换
【想一想】
建立了数轴，我们就可以用数轴上的点来表示有理数了。如何来表示一个有理数呢？
（1）0在数轴的什么位置？正数呢？负数呢？
（2）整数怎么表示？
（3）分数怎么表示？
（4）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示吗？
整数可以用数轴上的刻度点来表示，正整数在原点右侧，负整数在原点左侧;
分数可以先找到它所在的两个相邻整数点，再等分成几份，找到相应的位置.
结论 正数在原点的右侧，负数在原点的左侧.
每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
【做一做】
例1 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
（让学生在自己刚画的数轴上继续找各个点的位置）
思考：在数轴上表示一个有理数时，应注意什么？
先画数轴（完整、适当）；
再找位置（定左右、定距离）；
最后描点、标数（实心圆点、上方标记）
点拨：数 点（形）
例2 如图，数轴上A、B、C、D各点分别表示什么数?
思考：数轴上的每个点都对应一个有理数吗？有理数能填满整个数轴吗？
数轴上的每个点不一定对应有理数，可能还有无限不循环小数.所以，有理数填不满整个数轴.
点拨：点（形） 数
（五）深化概念，比较大小
【议一议】
数轴上的两上点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的
大小关系？
（可实时引导学生类比温度计上的实际意义来比较数的大小.）
结论 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.
正数大于0，0大于负数，正数大于负数.
思考：你能否将例1中的各数用“<”连接呢？
（引导学生借助刚才数轴上各点的位置来比大小.）
去生活化的东西，留数学的本质，这个过程是从直观认识到理性认识的提升，从而为建立数轴的概念做好铺垫。
给出定义后，让学生先自主理解，动手操作画出数轴，同桌之间再进行检查，使学生较为深刻的理解概念，认清三要素。
本题考查学生对数轴的识别和判断，对于每一个细节都要注意，确保数轴是准确和完整，加深对三要素的认识。
建立数轴的目的就是直观的表示有理数，所以回到最初引入数轴的初衷，思考如何表示。这里通过对每一类数的表示的研究从而得出每一个有理数与数轴上点的对应。
例1考查数轴的画法和意义，能在数轴上找到每个有理数对应的位置，从而描点、标数。在整个过程中要关注数轴的完整性和点的位置的正确性，确保将所给出的点一个不落的标在数轴上，实现从数到形。
例2是找到数轴上的点表示的数，实现从形到数的转化。但要思考的是数轴上的每个点一定对应表示一个有理数吗？这个问题，只要学生对数的分类认识清楚，就能理解。
这里研究数轴上两点对应的数的大小，可以类比温度计，借助“温度高低”这个实际意义来理解数的大小关系，从而得到结论--从左向右越来越大。这与数轴规定的正方向是一致的，也体现了数轴的有序性。
反过来，对例1中各数继续比大小，再次体现了本节课学习数轴的意义——将抽象的数转化为直观的形.
（六）收获感悟，总结提升
本节课你有何收获？经历了哪些探究过程？学会了哪些知识？掌握了哪些方法？
探究过程： 表示高度、位置、温度 直线
表示有理数 数轴
（数） （点）
比较数的大小 根据点的位置
2. 知识内容：（1）数轴的概念：三要素；
（2）任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示；
（3）数轴上右边的点总比左边的点表示的数大.
3. 能力技巧：（1）会画数轴；
（2）会用数轴上的点表示有理数；
（3）会借助数轴比较数的大小.
3. 思想方法：归纳类比、数形结合
通过对本节课探究流程的回顾，让学生体会概念的形成是有依据和背景的，不是突如其来；同时培养学生梳理知识、建构知识体系的能力；体会数学中“数”与“形”的密切联系，以及数学抽象与直观的高度统一.
（七）布置作业，课后拓展
1. 课本155页：习题6.7 1、3
2. 课外探究：
点A在数轴上距离原点3个单位长度.
（1）点A表示的数是什么？
（2）若将一个点从点A处向右移动5个单位长度，再向左
移动2个单位长度，此时终点表示的数是什么？
课后作业1就是对本节课所学知识的熟练应用和巩固；2是考查学生确定点的位置需要两个要素，所以不知道方向时就要分类讨论，需要学生要考虑周全。
六、目标检测设计
1. 下列说法错误的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点用有理数0表示
C．数轴上表示的点在原点左边 个单位长度处
D．在数轴上离开原点的距离越远的点表示的数越大
【设计意图】考查学生如何在数轴上表示有理数，以及数轴上的点对应有理数的大小关系.
一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是 .
【设计意图】从动态的角度理解点的运动及有理数的对应关系,理解运动需要两个要素，方向和距离，这也正是有理数表示时的两个关键.
在数轴上,表示数-3,2.6, ,0, -1的点中,在原点左边的点有 个.
【设计意图】考查正数负数及零在数轴上位置的分布.
数轴上表示的点与表示3.1的点之间有________个整数点，这些整数分别是______________．
【设计意图】考查分数在数轴上的表示，关键找对它在哪两个相邻的整数点之间，再结合图形观察整数点，体会数形结合的思想.
数轴上表示―3的点记为A，表示2的点记为B，那么把A点向____边移动_____个单位长度得到B点，点A和点B之间的距离是 ．
【设计意图】考查学生对有理数和数轴上点的对应关系的灵活运用.
下表是我国几个城市的二月份的平均气温（℃）
上海
沈阳
昆明
北京
广州
兰州
4
－18
12
－5
15
－3
（1）在同一数轴上将6个数表示出来，并用“＜”将6个数连接起来；
（2）根据数轴指出最高和最低温度分别是多少？并求出最低温度比最高温度低多少？
【设计意图】通过实际问题背景来考查学生对有理数的表示及借助数轴比大小，并通过数轴上的距离来求两数的差.
课例点评
《数轴》这节课属于概念课，数轴这个概念也是中学数学中数形结合的起点。在这节课中，执教者能紧紧抓住“数轴的概念”这一重点，从实际出发，创设情境，通过对三个具体问题的体验和感知，让学生先形成感性认识，再通过类比归纳，提炼共性，得到本质特征，从而形成数轴的概念；得到概念后，先让学生根据自己对概念的理解画出数轴，借助对学生出现错误的纠正，更加深了对数轴三要素的认识，调动了学生探究问题的积极性和主动性；在数轴上表示有理数时，先提出几个问题，将正数、负数、零及整数、分数的表示分别思考探究，既渗透了分类讨论的方法，也体现了理论为先的思想，接着再让学生动手去表示具体的有理数时就成了水到渠成的事情了。
从具体到抽象，在通过类比、归纳来形成概念的同时还注重对概念内涵的探究及概念的辨析，并在“用数轴上的点直观表示有理数并比较大小”的应用中，使学生体会到了学习数轴的必要性和重要性，感受到“数学来源于生活又服务于生活”的数学应用价值。
整节课结构清晰、环环相扣、层层递进，能关注学生的情感，注重调动学生学习的积极性和主动性，同时体现了数学思想方法的渗透，是一节成功的概念课教学的案例。如果在概念的形成过程中，能再大胆一些，放手让学生去讨论、交流，是否效果更好？
课件16张PPT。北师大版教材七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.2 数轴问题 有理数如何分类呢？
复习回顾整数有理数分数零正整数负整数正分数负分数正有理数零负有理数情境一 以海平面为基准，珠穆朗玛峰高出海平面8844米，吐鲁番盆地低于海平面155米。情境引入8844米海平面珠峰吐鲁番
盆地?155米0米 若记海平面为0米，则珠峰和吐鲁番盆地的高度是多少呢？如何用图形表示呢？情境二 小明从学校门口出发，向东走50米到达书店，向西走300米到达家。书店记作：+50米情境引入东西学校家书店50米300米家记作： ?300米 如果规定向东为正方向，向西为负方向，则小明从学校出发，书店记作什么？家又记作什么？如何用图表示？情境三
你能读出图中温度计上的示数吗？情境引入50-10
仔细观察温度计的构造，有什么特征？ （前后四人一组讨论）想一想归纳共性以上三个图有什么共同特征？
能否也用一条直线来表示有理数呢？提炼概念
怎样画出一条数轴呢？理解概念 （请同学们自己动手试一试，画一画）水平直线原点
（0） 正方向
（向右）单位长度
（适当） 01324657-3-2-1-4-5-6判断：
下列哪些是数轴？哪些不是数轴？为什么？辨析概念01324657-3-2-1-4-5-601324657-3-2-1-4-5-601324657-3-2-1-4-5-601324657-4-5-6-3-2-10132456-3-2-1（1）（2）（3）（4）（5）（6）0（7）01324657-3-2-1-4-5-6想一想：
（3）分数怎么表示？ 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 建立了数轴，我们就可以用数轴上的点来表示有理数了。如何来表示一个有理数呢？
（2）整数怎么表示？应用概念 （4）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示吗？ （1）0在数轴的什么位置？正数呢？负数呢？ 正数在原点的右侧，负数在原点的左侧.例1 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
.做一做： 解：如图应用概念01324657-3-2-1-4-5-6在数轴上表示一个有理数时，应注意什么？画数轴（定左右，定距离）找位置描点、标数数点（形） 例2 如图，数轴上A、B、C、D各点分别表示什么数?是不是数轴上的每个点都对应一个有理数呢？做一做： 解：点A表示的数是-3，应用概念0123-1-2-3 点B表示的数是2， 点C表示的数是-1,点D表示的数是-2. 点数思考 数轴上的两上点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？议一议： 深化概念01324657-3-2-1-4-5-6越来越大 正数大于0，0大于负数，正数大于负数. 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. 例3 比较下列每组数的大小：
（1）-2和6 （2）0和-1.8 （3） 和做一做： 深化概念 解：（1）-2<6 （2）0>-1.8 （3）012-4-1-2-3 例3 比较下列每组数的大小：
（1）-2和6 （2）0和-1.8 （3） 和
谈谈本节课的收获和感悟：
我经历了…，学会了…，…
收获感悟高度温度用直线上的
一点表示类比数
形
结
合位置有理数数轴用数轴上的
点表示水平直线单位长度正方向原点01324657-3-2-1-4-5-6越来越大课后作业1.课本29页：习题2.2 1、2、32.课外思考：
点A在数轴上距离原点3个单位长度.（1）点A表示的数是什么？（2）若将一个点从点A处向右移动5个单位长度，再向左
移动2个单位长度，此时终点表示的数是什么？
