1 集合的含义与表示
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．所有的直角三角形
B．不超过10的非负数
C．著名的艺术家
D．方程x2－2x－3＝0的所有实数根
答案：C
解析：A，B，D中的元素是确定的，都能构成集合．但C中的“著名艺术家”的标准不明确，不满足确定性，所以不能构成集合．故选C.
2．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
答案：D
解析：∵xy＜0.∴x与y异号，故点(x，y)在第二或第四象限，故选D.
3．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－5|?N*.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B.
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
答案：B
解析：因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．
5．方程组的解集为
①{2,1,3}；②(2,1,3)；③{(2,1,3)}，其中正确的表示方法是( )
A．①② B．①③
C．③ D．①②③
答案：C
解析：本题的计算不是难点，难点在于这个方程组的解集如何表示，首先应为集合的形式，其次分析集合中元素的形式与属性：有序实数组．
6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．0 B．6
C．12 D．18
答案：D
解析：由于A＝{0,1}，B＝{2,3}，x∈A，y∈B，故需对x、y的取值分类讨论．当x＝0，y∈B时，z＝0；当x＝1，y＝2时， z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故所有元素之和为0＋6＋12＝18.故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．
答案：0,1,2,5
解析：因为x∈N，且∈Z，则x＋1＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5，所以集合M中的元素是0,1,2,5.
8．设x、y、z为非零实数，则＋＋＋的值组成的集合的元素个数________．
答案：3个
解析：分四类，即x、y、z全为正数，二正一负，二负一正，全为负数。
设＋＋＋可能取值为{－4、0、4}．
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义A*B＝{x|x∈A，且x?B}，则集合A*B＝________.
答案：{1,3}
解析：由定义，知集合A*B中的元素是集合A中的元素1,2,3除去集合B中的元素2得到的，所以A*B＝{1,3}．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．用列举法表示下列集合：
(1)；
(2)
.
解：(1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1，5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)由a∈Z，|a|<2，知a＝－1,0,1.
由b∈N*，b≤3，知b＝1,2,3.
所以y＝的值为＝－，＝0，＝，＝－，＝0，＝，＝－，＝0，＝.
考虑到集合中元素的互异性，原集合可用列举法表示为.
11．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
12．集合M中的元素为自然数，且满足若x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有的集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
解：(1)M中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.
所以含一个元素的集合M＝{4}．
(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，
所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)满足条件的集合M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：
①{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共5个；
②{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}，共10个；
③{4,0,8,1,7}，{4,0,8,2,6}，{4,0,8,3,5}，{4,1,7,2,6}，{4,1,7,3,5}，{4,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6}，{0,8,1,7,3,5}，{1,7,2,6,3,5}，{0,8,2,6,3,5}，共10个；
④{4,0,8,1,7,2,6}，{4,0,8,1,7,3,5}，{4,0,8,2,6,3,5}，{4,1,7,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6,3,5}，共5个；
⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}，共1个．
于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31个．
3 函数的单调性
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3
答案：B
解析：(排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数；选项C，y＝－x2在(0，＋∞)上是减函数，选项D，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，当x≤1时y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在(0,2)上并不严格单调．故选B.
2．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
3．下列函数中，在区间(0，k)(k∈(0，＋∞))上单调递增的是( )
A．y＝4－3x B．y＝2x2＋1
C．y＝－5x2 D．y＝x2－2x＋2
答案：B
解析：因为y＝4－3x在(0，k)上单调递减，故A不满足题意；y＝2x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，则在区间(0，k)(k∈(0，＋∞))上也单调递增，故B满足题意；y＝－5x2在(0，k)上单调递减，故C不满足题意；y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故D不满足题意．故选B.
4．函数y＝(2k＋6)x－1在R上是减函数，则实数k的取值范围是( )
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)
答案：D
解析：∵y＝(2k＋6)x－1在R上是减函数，∴2k＋6<0，即k<－3.故选D.
5．函数f(x)＝的单调增区间是( )
A．(－∞，－] B．[－，＋∞)
C．[－3，－] D．[－，2]
答案：C
解析：∵－x2－x＋6≥0，
∴－3≤x≤2， ∴f(x)定义域为[－3,2]．
而y＝－x2－x＋6图像开口向下，利用复合函数单调性可得．
6．函数y＝f(x－1)的图像如图所示，它在R上单调递减，现有如下结论：
①f(0)＞1； ②f()＜1；
③f(2)＜1； ④f()＞f(2)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：y＝f(x)的图像是在y＝f(x－1)的基础上向左平移一个单位长度得到的，由图像知f(0)＝1.故①不正确，而③正确．②显然正确．对于④f(x－1)递减，∴f(x)递减，故f()＞f(2)，∴④正确，综上②③④均正确．故选C.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．二次函数y＝2x2＋3mx－6在(－∞，6]上是减函数，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，－8]
解析：依题意，抛物线开口向上，
因为在(－∞，6]上是减函数，
所以由－＝－m≥6，得m≤－8.
8．已知函数y＝f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，且f(1－a)
答案：
解析：由题意，得，解得09．如果函数f(x)在[a、b]上是增函数．那么对于任意的x1、x2∈[a，b](x1綒x2)，则有：
①>0
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
③a④>0
以上说法正确的序号：________.
答案：①②④
解析：由f(x)为增函数，当a≤x1三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．试判断函数f(x)＝在其定义域上的单调性，并加以证明．
解：函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
又f(x)＝＝＝＋1，
可由反比例函数y＝的图象及平移规律，知函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减．
证明如下：
设任意的x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
同理可证f(x)在(－∞，1)上单调递减．
综上，f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减．
11．已知函数f(x)＝－x2－ax＋3在区间(－∞，－1]上是增函数．
(1)求a的取值范围；
(2)证明f(x)在区间(－∞，－)上为增函数．
解：(1)∵f(x)的图像是开口向下的抛物线，且对称轴为x＝－，∴f(x)在区间(－∞，－]上为增函数．若使f(x)在区间(－∞，－1]上为增函数，则
－≥－1，∴a≤2.
∴a的取值范围是(－∞，2]．
(2)设x1、x2是(－∞，－)上的任意两个实数，且x1＜x2＜－，则
f(x1)－f(x2)＝(－x－ax1＋3)－(－x－ax2＋3)
＝(x2－x1)(x2＋x1＋a)．
∵x1＜x2＜－，
∴x2－x1＞0，x1＋x2＋a＜0.
∴f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(－∞，－)上是增函数．
12．已知函数f(x)对任意实数x、y满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋3, f(3)＝6，当x＞0时， f(x)＞3.
(1)f(x)在R上的单调性是否确定？并说明你的结论．
(2)是否存在实数a，使f(a2－a－5)＜4成立？若存在，求出实数a；若不存在，则说明理由．
解：(1)能确定为单调递增，证明如下：
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2＝x1＋(x2－x1)，x2－x1＞0，
∴f(x2－x1)＞3，∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)
＝f(x1)＋f(x2－x1)－3－f(x1)＝f(x2－x1)－3＞0，即f(x2)＞f(x1)．
∴f(x)在R上单调递增．
(2)令x＝y＝1，则2f(1)＝f(2)＋3，
∴f(3)＝f(2)＋f(1)－3＝2f(1)－3＋f(1)－3＝3f(1)－6＝6，∴f(1)＝4
∴f(a2－a－5)＜4，即为f(a2－a－5)＜f(1)．
又f(x)在R上递增，∴a2－a－5＜1.
即a2－a－6＜0，得－2＜a＜3.
故存在这样的实数a，即－2＜a＜3.
1 正整数指数函数
2 指数概念的扩充
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
答案：A
解析：原式＝.
2．[(－3)2]－100的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案：B
解析：[(－3)2]－100＝(32) －1＝3－1＝2.
3．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
答案：C
解析：(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6，选C.
4．已知x＋x＝5(x>0)，则的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
答案：B
解析：由x＋x＝5平方，得x＋x－1＝23，所以＝x＋x－1＝23，故选B.
5．(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)的值是( )
A. B.
C. D.
答案：D
6．已知a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab ，则(x＋y) ＋(x－y) 为( )
A．0 B．8
C．10 D．以上答案都不对
答案：B
解析：x＋y＝a＋3ab＋b＋3ab＝(a＋b)3
x－y＝a＋3ab－b－3ab＝(a－b)3
∴原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a＋b)＝2×4＝8.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7.＋＝________.
答案：1
解析：＋
＝|3.14－π|＋|4.14－π|
＝π－3.14＋4.14－π
＝1.
答案：－1
9.＋＝________.
答案：－
解析：＋＝＋＝＋＝－＋－＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．
(2)(×)6＋()－4×－×80.25－(－2005)0.
解：(1)原式＝
＝÷
＝×2
＝.
(2)原式＝(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2－1
＝22×33＋2－7－2－1
＝100.
11．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两根，求
①2α·2β，②(2α)β的值．
解：∵α，β为5x2＋10x＋1＝0的两根
α＋β＝－2，αβ＝，
2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，
(2α)β＝2α·β＝2.
12．(1)已知x＋y＝8，xy＝9，且x>y>0，求的值；
(2)化简：.
解：(1)∵x＋y＝8，xy＝9，
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝64－36＝28.
∵x>y>0，∴x－y＝2.
.
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
答案：B
解析：解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验容易知道选B.
2．函数y＝2x与y＝x2图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：D
解析：作出两个函数的图像，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即有三个交点．
3．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．m＜n＜p B．m＜p＜n
C．p＜m＜n D．p＜n＜m
答案：C
解析：0＜m＜1，n＞1，p＜0.
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，有( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案：B
解析：由三个函数的图象变化趋势可得B选项正确．
5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示为( )
答案：A
解析：由于前三年年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，后三年年产量保持不变，故总产量直线上升，图中符合这个规律的只有选项A.故选A.
6．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,2)∪(4，＋∞)
答案：D
解析：在同一坐标系内作出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)．结合图象可知使不等式log2x二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若a＝x，b＝x3，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是________．
答案：c解析：∵x>1，∴a＝x∈(0,1)，b＝x3∈(1，＋∞)，c＝logx∈(－∞，0)．∴c8．方程a－x＝logax(a>0且a≠1)的实解个数为________．
答案：1
解析：当a>1时在同一坐标系中画出y1＝logax与y2＝x的图象．当09．已知a>0，a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是________．
答案：∪(1,2]
解析：当a>1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图象，如图所示．
要使x∈(－1,1)时，均有f(x)<，只需(－1)2－a－1≤，解得a≤2，∴1当0综上所述，a的取值范围是∪(1,2]．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．当1＜x＜a时，比较logx，logax，loga(logax)的大小．
解：∵1＜x＜a,0＜logax＜1，loga(logax)＜0
又＝logax＜1
∴logax＞logx＞0＞loga(logax)
则logax＞logx＞loga(logax)
11．在同一直角坐标系中，作出函数y1＝x2＋5与函数y2＝3x的图像，并比较y1与y2的大小．
解：函数图像如图所示．由图可知，当x＜2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＞2时，y1＜y2.
12．某工厂利润数据如下表：
月份
1
2
3
利润(万元)
2
5
6
现有两个模型刻画该厂的月利润y(万元)与月份x的函数关系：指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab≠0，且b≠1)
解：先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，得解得
∴y＝－·x＋.
把x＝4代入得y≈6.33.
再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴y＝－x2＋6x－3.把x＝4代入得y＝5.0.
∵|5.0－5.1|＜|6.33－5.1|，
∴选模型y＝－x2＋6x－3较好．
2 实际问题的函数建模
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．4点到6点不进水不出水
D．以上都不正确
答案：A
解析：设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图知y1＝t，y2＝2t.由图丙，知0点到3点蓄水量由0变为6，说明0点到3点时2个进水口均打开进水但不出水，故A正确；3点到4点蓄水量随时间增加而减少且每小时减少1个单位，若3点到4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故B不正确；4点到6点为水平线说明水量不发生变化，可能是不进不出，也可能所有水口都打开，进出均衡，故C不正确．
2．某人2010年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2015年1月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)4元
C．[a＋(1＋x)5]元 D．a(1＋x5)元
答案：A
解析：2010年1月1日到银行存入a元，到2011年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2012年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2015年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.
3．某公司营销人员的月收入与其每月的销售量成一次函数关系，已知销售1万件时，收入为800元，销售3万件时收入为1600元，那么没有销售时其收入为( )
A．200元 B．400元
C．600元 D．800元
答案：B
解析：设月收入y元与销售量x万件之间的函数关系式为
y＝kx＋b(k≠0)，
将已知条件代入得，
解得，
∴y＝400x＋400，当x＝0时，y＝400.
因此，营销人员在没有销售时的收入是400元．
4．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价()%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%，已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )
A．Ⅰ B．Ⅱ
C．Ⅲ D．Ⅳ
答案：C
解析：设原价为a，则提价后的价格分别为：
(Ⅰ)a(1＋m%)(1＋n%)；(Ⅱ)a(1＋n%)(1＋m%)；(Ⅲ)a(1＋%)2；(Ⅳ)a[1＋(m＋n)%]，(Ⅰ)、(Ⅱ)相同．
∵(1＋%)2－(1＋m%)(1＋n%)＞0，(1＋%)2－[1＋(m＋n)%]＝(%)2＞0
∴(Ⅲ)＞(Ⅰ)，(Ⅲ)＞(Ⅳ)，故方案(Ⅲ)提价后价格最高，因而提价最多．
5．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水填满，摇匀后再倒出1升混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第k次(k≥1)时，共倒出纯酒精x升，则k＋1次时共倒出纯酒精f(x)升，则f(x)等于( )
A.x B．1＋x
C．20－x D．20(1－x)
答案：B
解析：第k＋1次倒出纯酒精为1×升，
所以f(x)＝x＋＝1＋x升．
6.
某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形(如图)，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(不含上底)为定值m，要使流量最大，则渠深h为( )
A.m B.m
C.m D.m
答案：D
解析：等腰梯形的腰为h，周长为m，下底为m－h，上底为m－h＋h＝m－h，
∴S等腰梯形＝(2m－h)h＝－h2＋mh＝－(h－m)2＋m2(0＜h＜m)，
当h＝m时，
Smax＝m2，此时流量最大．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没注水部分的总量y随注水时间x变化的关系式是________．
答案：y＝1－x(0≤x≤10)
解析：依题意列出函数式即可．
8．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
答案：14
解析：设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100－10x)，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x＜10)．
因此x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
9．如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P运动的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则A，P两点间的距离y与点P运动的路程x之间的函数关系式是________．
答案：y＝
解析：①当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.
②当点P在BC上，即1所以y＝AP＝＝.
③当点P在DC上，即2根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，
所以y＝AP＝＝.
④当点P在AD上，即3所以所求的函数关系式为
y＝
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．A，B两城市相距100 km，在两地之间距A城市x km的D处建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20 t，B城市每天产生的垃圾量为10 t.
(1)求x的取值范围；
(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；
(3)垃圾处理厂建在距A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最小？
解：(1)x的取值范围为[10,90]．
(2)由题意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，
即y＝x2－500x＋25000(10≤x<90)．
(3)由y＝x2－500x＋25000＝2＋(10≤x≤90)，
则当x＝时，y最小．
即当垃圾处理厂建在距A城市 km时，才能使垃圾处理费用最小．
11．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t(t为常数，且2≤t≤5)元，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x(25≤x≤40)元．根据市场调查，日销售量q(单位：千克)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．
(1)求该工厂的日销售利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
(2)若t＝5，则每千克蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的日销售利润为100e4元？
解：(1)设日销量q＝(25≤x≤40)，则＝100，
∴k＝100e30，
∴日销量q＝(25≤x≤40)，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝＝100e4，则x－25＝ex－26，
根据函数y＝x－25与y＝ex－26的图象(如图所示)，
可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销量利润为100e4.
12．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(一)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(二)的抛物线段表示．
(1)写出图(一)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；写出图(二)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(1)由题图(一)可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)＝
由题图(二)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，
即h(t)
＝
当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－(t－50)2＋100.
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h(t)＝－(t－350)2＋100.
所以，当t＝300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，
即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
阶段性检测
班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则A等于( )
A．U B．{1,2,4}
C．{2,4} D．{2,3,4}
答案：C
解析：A＝{2,4}．
2．设(x，y)在映射f下的像为(x＋y，x－y)，则像(2,10)的原像是( )
A．(12，－8) B．(－8,12)
C．(6，－4) D．(－4,6)
答案：C
解析：由题意得解得x＝6，y＝－4.
3．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案：A
解析：x＋1≥0且x≠0.
4．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝(x－1)2 B．y＝|x|
C．y＝ D．y＝
答案：B
解析：对于A，y＝(x－1)2在(1，＋∞)上为增函数；对于C，y＝x为(－∞，＋∞)上的减函数；对于D，y＝在(0，＋∞)上为减函数．
5．已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞2}，集合B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，且A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a＜－2
C．－2＜a＜3 D．a＜－2或a＞3
答案：D
解析：由题意知a＋1＜－1或a－1＞2，即a＜－2或a＞3.
6．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
答案：B
解析：g(x＋2)＝2x＋3，令x＋2＝t，则x＝t－2，所以g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，即g(x)＝2x－1.
7．当α∈时，函数y＝xα的值域为R的α值有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：B
解析：α＝1或α＝3.
8．已知二次函数f(x)的图像开口向下，且对称轴方程是x＝3，则下列结论中错误的一个是( )
A．f(6)＜f(4)
B．f(2)＜f()
C．f(3＋)＝f(3－)
D．f(0)＜f(7)
答案：D
解析：|0－3|＜|7－3|，∴f(0)＞f(7)．
9．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移两个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间一定是减函数的是( )
A．[3,4] B．[1,2]
C．[2,3] D．[－1,0]
答案：A
解析：∵f(x)为偶函数且在[－2，－1]上是增函数，
∴f(x)在[1,2]上是减函数．将f(x)的图像沿x轴向右平移两个单位，得g(x)在[3,4]上是减函数．故选A.
10．对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为( )
A. B．3
C. D.
答案：A
解析：分别在同一坐标系中画出3个函数的图像，得出函数f(x)的解析式
f(x)＝
结合图像可知，当x＝时，f(x)取最大值，故选A.
11．已知函数f(x)＝ax3－bx－1(ab≠0)的最大值为M，最小值为N，则M＋N等于( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案：A
解析：∵y＝f(x)＋1是奇函数，最大值为M＋1，最小值为N＋1，(M＋1)＋(N＋1)＝0，∴M＋N＝－2.
12．已知函数f(x)＝若非零实数a满足f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－.
当a>0时，1－a<1,1＋a>1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)．
综上，满足条件的a＝－.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知函数f(x)＝，则f(－2)＝________.
答案：1
解析：由分段函数概念可知f(－2)＝2×(－2)＋5＝1.
14．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，若(?UA)∩(?UB)＝{2}，(?UA)∩B＝{1}，且A中含有两个元素，则A＝________.
答案：{3,4}
解析：因为(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{2}，所以2?A,2?B.又因为(?UA)∩B＝{1}，所以1∈B,1?A.又A中含有2个元素，故A＝{3,4}．
15．已知f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a＞0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，则ab＝__________.
答案：0
解析：因为对称轴为x＝1开口向上，故x＝2时取得最小值，得b＝0.
16．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x－x2，则f(1)＋g(2)＝________.
答案：－
解析：由函数奇偶性与f(－x)＋g(－x)＝2－x－x2得，－f(x)＋g(x)＝2－x－x2，所以f(x)＝，g(x)＝－x2，f(1)＋g(2)＝－.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知全集U＝R，M＝，N＝{x|－2(1)M∪N和M∩N；
(2)M∩(N)和(M)∩N.
解：M＝{x|1≤x<3}，N＝{x|－2(1)利用数轴可得M∪N＝{x|－2(2)M＝{x|x<1或x≥3}，N＝{x|x≤－2或x>3}．
所以利用数轴可得M∩(N)＝?，(M)∩N＝{x|－218．(15分)已知函数f(x)＝
(1)若函数f(x)的图象过点(1，－1)，求f(f(0))的值；
(2)若方程f(x)＝4有解，求a的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)的图象过点(1，－1)，所以f(1)＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝所以f(f(0))＝f(－2)＝－1.
(2)因为当x<0时，f(x)<3，所以当x≥0时，方程x2－a＝4有解，
所以a＝x2－4≥－4，所以a的取值范围是[－4，＋∞)．
19．(15分)已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝满足f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求证：函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．
解：(1)因为f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝0，所以b＝0.
由f＝得a＝1.从而f(x)＝.
(2)设－1因为|x1|<1，|x2|<1，所以|x1x2|<1，得1－x1x2>0.
又x1－x2<0，可得f(x1)20．(15分)已知幂函数f(x)＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数(m∈N*，且m≥2)．
(1)求f(x)；
(2)比较f(－2011)与f(－2)的大小．
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴m2－m－3＜0，即＜m＜，又m∈N*，且m≥2，
∴m＝2，当m＝2时，m2－m－3＝4－2－3＝－1，∴f(x)＝x－1.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－2011)＝－f(2011)＝－2011－1＝－，f(－2)＝－f(2)＝－，
∵－＞－，∴f(－2011)＞f(－2)．
21．(15分)若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A、B.
解：∵1的像是4,7的原像是2，∴可以判断A中元素3的像要么是a4，要么是a2＋3a.由a4＝10，且a∈N知a不可能．
∴a2＋3a＝10，即a1＝－5(舍去)，a2＝2.
又集合A中的元素k的像只能是a4，∴3k＋1＝16，∴k＝5.
∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}
∴a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
单元测试一
本试卷满分：100分 考试时间：90分钟
班级________ 姓名________ 考号________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．符合条件{a，b，c}?P?{a，b，c，d，e}的集合P的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案：C
解析：符合条件的集合P有{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}，共4个．
2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．(A)∪(B) D．(A)∩(B)
答案：D
解析：因为A∪B＝{1,3,4,5,6}，所以(A)∩(B)＝(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.
3．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝x－1，x∈A}，则{0}与B的关系是( )
A．{0}∈B B．{0}B
C．{0}?B D．{0}?B
答案：B
解析：因为x∈A，所以当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝3.所以B＝{0,1,2,3}，所以{0}B，故选B.
4．设集合P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．12
答案：D
解析：P※Q＝{(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)}，共有12个元素．
5．组建一个12人特长活动小组，其中微机特长6人，科技特长8人，小组成员至少有微机和科技特长中一种，那么拥有两项特长的有( )
A．6人 B．3人
C．4人 D．2人
答案：D
解析：借助Venn图可直观表示它们的关系，如图，
设两项特长的人为x人，则(6－x)＋x＋(8－x)＝12，∴x＝2.故选D.
6．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(M)∩(N)等于( )
A．? B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
答案：A
解析：∵M＝{d，e}，N＝{a，c}，∴(M)∩(N)＝{d，e}∩{a，c}＝?.
7．已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax＝1}，若BA，则实数a的值构成的集合M是( )
A．{－1,0，} B．{－1,0}
C．{－1，} D．{，0}
答案：A
解析：A＝{－1,3}． 因为BA，所以B＝?时a＝0，B≠?时a＝－1或.
8．设集合A＝{xx|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足BA的a的值共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案：D
解析：对集合B所含元素的个数分类讨论．由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1，1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集．∵BA，∴B＝?，或B≠?.当B＝?时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠?时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，∴＝－2，或＝－1，或＝1，或＝2，解得a＝1或0或4或3.综上所得，a的值共有5个，故选D.
9．已知集合M＝{m|m＝a＋b，a，b∈Q}，则下列元素：①m＝1＋π；②m＝；③m＝；④m＝＋，属于集合M的元素个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：B
解析：①中，m?M；②中，m＝＝＝2＋?M；
③中，m＝＝1－∈M；
④中，m＝＋＝＋＝?M，故选B.
10．设集合P、Q与全集U，下列命题P∩Q＝P，P∪Q＝Q，P∩(?UQ)＝?，(?UP)∪Q＝U中与命题P?Q等价的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：P∩Q＝P?P∪Q＝Q?P?Q 由P∩(?UQ)＝?，得P?Q
又(?UP)∪Q＝U得P?Q，故选D.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．设全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2答案：{x|x≤－2或3≤x≤4} {x|－3解析：由A∩B＝{x|－212．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，A＝{5}，则实数a＝________.
答案：4
解析：由A＝{5}，知a2－2a－3＝5，∴a＝－2或a＝4.当a＝－2时，|a－7|＝9,9?U，∴a≠－2.经验证a＝4符合题意．
13．如图所示，阴影部分表示的集合为________．
答案：(?U(A∪B))∪(A∩B)
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}．若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
解：由题意，得A＝{1,2}．
因为A∩B＝B，所以B?A.
①当B＝?时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，所以Δ＝1－8m<0，解得m>；
②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相等的实数解，所以Δ＝1－8m＝0，解得m＝，代入方程x2－x＋2m＝0，解得x＝，矛盾，显然m＝不符合题意；
③当B＝{1,2}时，1,2是方程x2－x＋2m＝0的两个根，所以，显然第一个等式不成立．
综上所述，实数m的取值范围是.
15．已知集合A＝{x|a－b5}．
(1)若b＝1，A?B，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，A∩B＝?，求实数b的取值范围．
解：(1)若b＝1，则A＝{x|a－1因为A?B，所以a－1≥5或a＋1≤－1，解得a≥6或a≤－2.
综上，a的取值范围为{a|a≥6或a≤－2}．
(2)若a＝1，则A＝{x|1－b又A∩B＝?，
若A＝?，则1－b≥1＋b，解得b≤0；
若A≠?，则，解得0综上，实数b的取值范围为{b|b≤2}．
16．有100名学生，其中会打篮球的有67人，会打排球的有45人，既会打篮球又会打排球的有33人，求既不会打篮球又不会打排球的学生共有多少人？
解：
设这100名学生组成集合U，会打篮球的学生组成集合A，会打排球的学生组成集合B，则有card(U)＝100，card(A)＝67，card(B)＝45，card(A∩B)＝33.
故有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝67＋45－33＝79.
于是有card(?U(A∪B))＝card(U)－card(A∪B)＝100－79＝21.
故所求的学生人数为21.
17．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}．
(1)当a＝2时，求A∪B和(A)∩B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，
从而A∪B＝{x|－2≤x≤7}，A＝{x|x<1或x>7}，
(A)∩B＝{x|－2≤x<1}．
(2)∵A∩B＝A，∴A?B.
①若A＝?，则a－1>2a＋3，解得a<－4；
②若A≠?，则，解得－1≤a≤.
综上，实数a的取值范围为
.
18．已知全集U＝R，集合P＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4时，存在集合M使得PM?Q，求出这样的集合M；
(2)集合P，Q是否能满足(Q)∩P＝?？若能，求出实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
解：(1)b＝4时，P＝{x|x2－3x＋4＝0}＝?，
Q＝{x|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4,1,2}，
由题设知M是一个非空集合，且是Q的一个子集，
所以用列举法可得这样的集合M共有7个：
{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}，{－4,1,2}．
(2)集合P，Q可以满足(Q)∩P＝?.
由(Q)∩P＝?，得P?Q.
当P＝?时，满足P?Q，此时Δ＝9－4b<0，解得b>.
当P≠?时，因为Q＝{－4,1,2}，
若－4∈P，则b＝－28，此时P＝{－4,7}，不满足P?Q；
若1∈P，则b＝2，此时P＝{1,2}，满足P?Q.
若2∈P，则b＝2，此时P＝{1,2}，满足P?Q.
综上可知，当P＝?或P＝{1,2}时，满足(Q)∩P＝?.
所以实数b的取值范围是
.
单元测试二
本试卷满分：100分 考试时间：90分钟
班级________ 姓名________ 考号________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝·，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋1
答案：B
解析：A选项中的两个函数的定义域分别为{x|x≠0}和R，定义域不同，故不是同一函数；B选项中的两个函数的定义域都是R，对应法则都是y＝x，是同一函数；C选项中的两个函数的定义域分别是[0，＋∞)和(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不同，故不是同一函数；D选项中的两个函数的定义域分别为{x|x≠1}和R，定义域不同，故不是同一函数．故选B.
2．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x≠0}
B．(－4，＋∞)
C．(－4,0)∪(0，＋∞)
D．[－4,0)∪(0，＋∞)
答案：D
解析：要使函数y＝有意义，需满足，解得x≥－4且x≠0，故选D.
3．已知函数f(x)＝x3＋＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
答案：B
解析：设F(x)＝f(x)－1，显然F(x)为奇函数，∴F(a)＝f(a)－1＝1，F(－a)＝－F(a)＝－1，∴f(－a)－1＝－1，∴f(－a)＝0.故选B.
4．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(2，＋∞)
答案：A
解析：
因为f(x)为奇函数，且f(－2)＝0，所以f(2)＝0.作出f(x)的大致图象，如图所示．由图象可知：当－20，所以xf(x)<0；当05．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域为( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．[2,11) D．[2,11]
答案：C
解析：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，x＝2时，ymin＝2，又|5－2|＞|1－2|，∴x＝5时，ymax＝11.∴值域为[2,11)．
6．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图像表示为图中的( )
A B C D
答案：A
解析：由题意分析即得，图像共分两段，第一段为曲线上升，并且越来越陡，第二段为直线上升的线段，故A符合．
7．设集合M＝R，从M到P的映射f：x→y＝，则映射f的值域为( )
A．{y|y∈R} B．{y|y∈R＋}
C．{y|0≤y≤2} D．{y|0＜y≤1}
答案：D
解析：∵x∈R，∴x2＋1≥1，
∴0＜≤1.
8．定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(4) D．f(－1)＝f(3)
答案：A
解析：因为f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，则其在(2，＋∞)上单调递减．作出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图象，知f(－1)9．已知f(x)＝5x5＋3x3－1，且f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．－b－2 B．－b－1
C．－b D．b
答案：A
解析：令g(x)＝5x5＋3x3，则f(x)＝g(x)－1，所以f(a)＝g(a)－1＝b，g(a)＝b＋1.
又因g(－x)＝－g(x)，
所以f(－a)＝－g(a)－1＝－(b＋1)－1＝－b－2.
10．用长为a的绳子靠墙围成一个矩形场地(一边用墙)，则可以围成场地的最大面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案：C
解析：设矩形的一边为x，则面积就是x的二次函数，利用二次函数求最值的方法可以求最值．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．偶函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，f(5)＝10，则f(－1)＝________.
答案：10
解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(5)＝f(1)．又函数f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝10.
12．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________，g(x)＝________.
答案：x2－2 x
解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2 ①，∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2 ②.由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
13．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋f＋…＋f＝________.
答案：2014
解析：由题意，知当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝2.所以f＋f＝2，f＋f＝2，…，f＋f＝2.以上等式相加，得f＋f＋f＋…＋f＝2×1007＝2014.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知映射： f：A→B，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应B中的元素为(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)与B中的哪一个元素对应？
(2)A中哪些元素与B中元素(1,2)对应？
解：(1)由题意知(1,2)表示代入(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，即得B中的元素(0,9)．
(2)由
解得
∴A中元素(，)与B中元素(1,2)对应．
15．已知幂函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像分别过(，2)，(2，)点，在公共定义域内比较两函数值的大小．
解：设y＝f(x)＝xa，
∴()a＝2，∴a＝2，
∴f(x)＝x2.
y＝g(x)＝xb，∴2b＝，
∴b＝，∴g(x)＝x.
在公共定义域[0，＋∞)上，作出其图像知：
当x＝0或1时f(x)＝g(x)．
当0＜x＜1时，f(x)＜g(x)．
当x＞1时，f(x)＞g(x)．
16．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的值域为非负数集，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解：(1)f(x)＝x2－4ax＋2a＋6＝(x－2a)2＋2a＋6－4a2.
∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，∴2a＋6－4a2＝0，
解得a＝－1或a＝.
(2)∵函数f(x)的值域为非负数集，∴2a＋6－4a2≥0.
即2a2－a－3≤0，∴－1≤a≤，
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝2－a(a＋3)＝－2＋，
∴g(a)在上单调递减，
∴－＝g≤g(a)≤g(－1)＝4.
即函数g(a)的值域为.
17．设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数h(a)的图象，并指出h(a)的最小值．
解：(1)由题意，知g(x)
＝.
当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，
此时g(x)max＝g(3)＝2－3a，g(x)min＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝1－2a.
当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，
此时g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝2a－1.
当0≤a≤1时，
若x∈[1,2]，则g(2)≤g(x)≤g(1)，
若x∈(2,3]，则g(2)因此g(x)min＝g(2)＝1－2a，
而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，
故当0≤a≤时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
当综上所述，h(a)＝
(2)画出y＝h(a)的图象，如图所示，
由图象可得h(a)min＝h＝.
18．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(OA为线段，AB为某二次函数图像的一部分，B为顶点)
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
解：(1)由已知得y＝
(2)当0≤t≤1时，4t≥，得≤t≤1；
当1＜t≤5时，(t－5)2≥，得t≥或t≤，有1＜t≤.
∴≤t≤.∴－＝.
因此，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．
单元测试三
本试卷满分：100分 考试时间：90分钟
班级________ 姓名________ 考号________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.用分数指数幂表示为( )
A．a B．a3
C．a D．a2
答案：C
解析：＝(a·(a·a))＝a，故选C.
2．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B.
C．25 D.
答案：D
解析：由换底公式，得··＝2，所以－＝2，即lg x＝－2lg 5＝lg ，所以x＝.
3．函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＞0且a≠1
答案：C
解析：由解得a＝2.故选C.
4．若f(x)＝，则f(f(log32))的值为( )
A. B．－
C．－ D．－2
答案：A
解析：∵f(log32)＝－＝－，∴f(f(log32))＝f＝3＝.
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．20天
答案：C
解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x，
当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．故选C.
6．指数函数y＝f(x)的反函数的图像过点(2，－1)，则此指数函数为( )
A．y＝()x B．y＝2x
C．y＝3x D．y＝10x
答案：A
解析：利用互为反函数的两个函数的关系知该指数函数过点(－1,2)，代入函数式y＝ax求出a即可．
7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
答案：C
解析：∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝2lnx∈(－2,0)
c＝ln3x∈(－1,0)．
令lnx＝t∈(－1,0)．则t3＞t＞2t.
∴b＜a＜c，故选C.
8．函数y＝[log (5x－3)]的定义域是( )
A．x≤ B.≤x＜
C．x＞ D.＜x≤
答案：D
解析：若使函数有意义，则需log (5x－3)≥0，其同解于0＜5x－3≤1，解得＜x≤.
9．函数y＝log (4x－x2)的值域是( )
A．[－2，＋∞) B．R
C．[0，＋∞) D．(0,4]
答案：A
解析：令t＝4x－x2，则t＝－(x－2)2＋4，
∴0＜t≤4，而y＝logt在(0,4]上为减函数，
∴t＝4时，ymin＝log4＝log ()－2＝－2，
∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)，故选A.
10．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图像只可能是图中的( )
答案：A
解析：由指数函数y＝()x的图像知0＜＜1.所以y＝ax2＋bx的图像过(0,0)点，与x轴的另一个交点在x轴负半轴上，故A符合．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．已知函数f(x)＝a2x－1－1(a>0，且a≠1)的图象过定点，则此定点的坐标为________．
答案：
解析：由2x－1＝0，得x＝，所以函数f(x)＝a2x－1－1的图象过定点.
12．函数y＝log2(x2＋2x)的单调递增区间是________．
答案：(0，＋∞)
解析：由x2＋2x>0，得x<－2或x>0.令t＝x2＋2x，因函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，又t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在[－1，＋∞)上单调递增，故函数y＝log2(x2＋2x)的单调递增区间是(0，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2014)＝________.
答案：0
解析：由f＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22014－blog32014＝2.∴alog22014＋blog32014＝－2，∴f(2014)＝alog22014＋blog32014＋2＝0.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．解方程：
(1)log2(x2－x－2)＝1＋log2(x－1)；
(2)3x＋1－3－x＝2.
解：(1)log2(x2－x－2)＝log22(x－1)．
∴x2－x－2＝2x－2.解得x＝0，x＝3，经检验，x＝3是原方程的根．
(2)3·3x－＝2，
即3(3x)2－2·3x－1＝0.
3x＝1(3x＝－舍去)，
∴x＝0.
15．已知函数f(x)＝＋lg .
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数的单调性；
(2)解关于x的不等式f<.
解：(1)f(x)＝＋lg ＝＋lg ，
要使f(x)有意义，即>0，得－1∴f(x)的定义域为(－1,1)．
任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝lg －lg .
∵－1∴－1＋>－1＋，
∴lg >lg ，
∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在(－1,1)上为减函数．
(2)∵f(0)＝，f<，∴f由(1)，知f(x)在(－1,1)上为减函数，
∴，
解得即不等式的解集为
∪.
16．若点(2，)既在函数f(x)＝2ax＋b的图像上，又在它的反函数的图像上，求a、b的值．
解：因为点(2，)在f(x)的反函数图像上，所以点(，2)在原函数的图像上．将点(2，)和(，2)分别代入f(x)＝2ax＋b得
解之，得a＝－，b＝.
17．已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)和g(x)的大小．
解：因为f(x)－g(x)＝logx，所以
①当，即x>时，logx>0，即f(x)>g(x)；
②当，即00，即f(x)>g(x)；
③当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
④当，即1⑤当时，无解．
综上所述：当x∈(0,1)∪时，f(x)>g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈时，f(x)18．定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)＝，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，
令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，
则0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(2)＝>0，即f(2)>f(0)．
又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数．
又由(1)，知f(x)是奇函数，则f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，
所以k·3x<－3x＋9x＋2，
即32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R恒成立．
令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意的t>0恒成立．
令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其图象的对称轴为直线t＝.
当≤0，即k≤－1时，g(t)在(0，＋∞)上单调递增，g(0)＝2>0，符合题意；
当>0，即k>－1时，需满足，
解得－1综上所述，实数k的取值范围是(－∞，－1＋2)．
单元测试四
本试卷满分：100分 考试时间：90分钟
班级________ 姓名________ 考号________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝－＋log2x的一个零点所在的区间可以为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案：B
解析：因为x∈(0,1)时，f(x)<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝>0，f(3)＝－＋log23>0，f(4)＝>0，所以f(1)f(2)<0，根据函数的零点存在定理，得函数f(x)＝－＋log2x的一个零点所在的区间可以为(1,2)．故选B.
2．设函数f(x)＝x－ln x，则f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在(1，e)内有零点
答案：D
解析：因为f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，且f(x)在区间(0，＋∞)上是连续的，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点，故选D.
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
答案：B
解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
4．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)与y＝ex的图象，如图所示．结合图象可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B.
5．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
答案：B
解析：计算得f()＝－2＜0，f(1)＝e－1＞0，则有f()f(1)＜0，故选B.
6．一种新型电子产品计划投产两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
答案：B
解析：设成本开始为a元，平均每年降价为x，则两年后成本为a(1－x)2＝a(1－36%)?x＝20%.
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.50×[m]＋1)元，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(单位：元)( )
A．3.71 B．3.97
C．4.24 D．4.77
答案：C
解析：m＝5.5时，[m]＝6，故f(5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝4.24.
8．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求图中交点横坐标的是( )
答案：B
解析：只有B中的零点是变号零点．
9．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
答案：A
解析：奇函数的图像关于原点对称，根据零点的概念，可知三个零点也应关于原点对称，故三个零点之和为0.
10．用长度为24m的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4
C．6 D．12
答案：A
解析：设隔墙的长度为x，矩形另一边长为＝12－2x，矩形面积为S＝x(12－2x)＝－2(x－3)2＋18≤18，要使S最大，则x＝3.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．
答案：60,16
解析：因为组装第A件产品用时15 min，所以＝15 ①；所以必有412．若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．
答案：
解析：由题意可知k≠0，
∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.
当x≥0时，kx2－2kx＝x，
解得x＝0或x＝，
∴>0，∴k>0或k<－；
当x<0时，kx2－2kx＝－x，
解得x＝0(舍去)或x＝，
∴<0，∴0综上可知，k的取值范围是.
13．若方程ax＝x＋a有两个实根，则实数a的取值范围是________．
答案：a＞1
解析：当0＜a＜1时，作出y1＝ax和y2＝x＋a图像可知方程只有一个根，当a＞1时，再作出上面两个函数图像，可知原方程有两个根．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知二次函数f(x)图像过点(0,3)，它的图像对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由题意知 c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则x＋x＝10，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
∴(－)2－＝10，
∴16－＝10，
∴a＝1.代入－＝2中，得b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
15．将进货单价为40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚取最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为y元，每个售价为x元，则每个涨(x－50)元，从而销售量减少10(x－50)个，
共售出500－10(x－50)＝1000－10x(个)．
∴y＝(x－40)(1000－10x)
＝－10(x－70)2＋9000(50＜x＜100)．
∴x＝70时，ymax＝9000.
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
16．证明方程2x＋x＝4在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精度为0.3)．
参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解：设函数f(x)＝2x＋x－4，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，
又f(x)在区间(1,2)上单调递增，
∴f(x)在区间(1,2)内有唯一一个零点，
则方程2x＋x－4＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解．
取区间(1,2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
区间
中点的值
中点的函数值
区间长度
(1,2)
1.5
0.33
1
(1,1.5)
1.25
－0.37
0.5
(1.25,1.5)
1.375
－0.035
0.25
由上表可知，区间(1.25,1.5)的长度为0.25<0.3.
∴可取区间[1.25,1.5]内任意一个数(如1.375)作为方程的一个近似解．
17．某地区为响应上级号召，在2011年新建了200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．根据该地区的实际情况，若今后廉价住房面积的年平均增长率为5%.
(1)x年后，该地区的廉价住房的面积为y万平方米，求y＝f(x)的解析式；
(2)求多少年后，该地区的廉价住房的面积能达到300万平方米．(参考数据：1.057≈1.407，1.058≈1.477,1.059≈1.551)
解：(1)1年后，廉价住房的面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)万平方米；
2年后为200(1＋5%)2万平方米；
……
x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x万平方米，
∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)∵200×1.058≈295.4,200×1.059≈310.2，
∴9年后，该地区的廉价住房的面积能达到300万平方米．
18．某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是
f(t)＝
销售量g(t)与时间t的函数关系式是g(t)＝－＋(0≤t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值．
解：①0≤t≤40(t∈N*)时，
S＝(＋22)(－＋)
＝－(t＋88)(t－109)
＝－(t2－21t－88×109)
＝－(t－)2＋＋×，
当t＝10，或t＝11时，Smax＝808.5.
②当40＜t≤100(t∈N*)时，
S＝(－＋52)(－＋)
＝(t－104)(t－109)
＝(t2－213t＋104×109)，
为二次函数，它在区间(40,100]上是减函数，因此在靠近左端t＝41处取最大值，即当t＝41时，Smax＝714，由①②知日销售额的最大值为808.5.
第一章章末检测
班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列表示①{0}＝?，②{3}∈{3,4,5}，③??{0}，④0∈{0}中，正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：③④正确．
2．设全集U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(?UM)∪(?UN)为( )
A．{x|x≥0) B．{x|x<1或x≥5}
C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|x<0或x≥5}
答案：B
解析：借助数轴直观选择．
3．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于( )
A．{0,1,2,6} B．{3,7,8}
C．{1,3,7,8} D．{1,3,6,7,8}
答案：C
解析：直接进行交并运算．
4．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：D
解析：由集合中元素的互异性可知．
5．设集合A＝{0,1}，集合B＝{1,2,3}，定义A*B＝{z|z＝xy＋1，x∈A，y∈B}，则A*B集合中真子集的个数是( )
A．14 B．15
C．16 D．17
答案：B
解析：A*B＝{1,2,3,4}，故集合中有4个元素，则真子集有24－1＝15个．
6．设集合A＝{(x，y)|x－y＝1}，B＝{(x，y)|2x＋y＝8}，则A∩B＝( )
A．{(3,2)} B．{3,2}
C．{(2,3)} D．{2,3}
答案：A
解析：解得.
7．已知集合A＝{x∈R|x<5－}，B＝{1,2,3,4}，则(?RA)∩B等于( )
A．{1,2,3,4} B．{2,3,4}
C．{3,4} D．{4}
答案：D
解析：借助数轴直观判断．
8．设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是( )
A．P∩Q＝P B．P∩QQ
C．P∪Q＝Q D．P∩QP
答案：D
解析：对照答案逐一验证．
9．全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}则?UM＝( )
A．{x|－2B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|x<－2或x>2}
D．{x|x≤－2或x>2}
答案：C
解析：∵M＝{x|－2≤x≤2}全集∪＝R∴?UM＝{x|x<－2或x>2}，故选C.
10．已知集合A＝{x|xA．a≤1 B．a<1
C．a≥2 D．a>2
答案：C
解析：?RB＝{x|x≤1或x≥2}，A∪(?RB)＝R ∴a≥2.
11．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A．－3≤m≤4 B．－3C．2答案：D
解析：画数轴观察关系．
12．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )
A．27 B．36
C．9 D．8
答案：A
解析：先理解题目给出的临时性定义，然后根据定义判断．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．用列举法表示集合M＝＝________.
答案：{－7，－3，－1,0,2,3,5,9}
14．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A∩(?UB)＝{1,8}，(?UA)∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{4,7}，则集合A＝________.
答案：{1,3,5,8}
解析：画Venn图将关系直观化．
15．已知集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________．
答案：m≤3
解析：①当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B?A成立，则，解得2≤m≤3.综上，m≤3.
16．定义差集：M－N＝{x|x∈M，且x?N}，若M＝{2,4,6,8,10}，N＝{1,2,3,4,5}，则M－(M－N)＝________.
答案：{2,4}
解析：由题目给出的定义直接求解．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)若{2,9}?{a－3,2a－1，a2－1}，求实数a的值．
解：①a－3＝2时，a＝5，{a－3,2a－1，a2－1}＝{2,9,24}；
②2a－1＝2时，a＝，{a－3,2a－1，a2－1}＝，舍去；
③a2－1＝2时，a＝±，{a－3,2a－1，a2－1}＝{－3,2－1,2}或{a－3,2a－1，a2－1}＝{－－3，－2－1,2}，舍去．
∴a＝5.
18．(12分)设全集U＝{x|x≥－2}，A＝{x|2解：∵U＝{x|x≥－2}，A＝{x|2∴A＝{x|－2≤x≤2或x≥10}，
(A)∩B＝{2}，
A∩B＝{x|2(A∩B)＝{x|－2≤x≤2或x>8}．
19．(12分)已知集合A＝，B＝{a2，a＋b,0}，且A＝B，求a2013＋b2014的值．
解：由，得a≠1且a≠0，
∴或，
解得或(舍去)
∴a2013＋b2014＝－1.
20．(12分)某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12个，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？
解：由题意可画Venn图如右图：
由图可以看出参加三个小组的学生共有1＋2＋2＋3＋4＋5＋10＝27(人)，
所以需要购买27张车票．
21．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且A∪B＝A，求a，b的值．
解：∵A∪B＝A，B≠?，∴B?A且B≠?，故B有两种存在情况：
①当B含有两个元素时，B＝A＝{－1,1}，
此时a＝0，b＝－1；
②当B含有一个元素时，Δ＝4a2－4b＝0?a2＝b，
若B＝{1}时，有a2－2a＋1＝0，∴a＝1，b＝1.
若B＝{－1}时，有a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1，b＝1.
综上可知或或
22．(12分)已知P＝{y|y＝x2－2x＋3,0≤x≤3}，Q＝{x|y＝}．
(1)若P∩Q＝{x|4≤x≤6}，求实数a的值；
(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
解：由已知得：P＝{y|2≤y≤6}，Q＝{x|x≥a}，
(1)P∩Q＝{x|4≤x≤6}，用数轴表示如下：
∴a＝4.
(2)若P∪Q＝Q，即P?Q.
用数轴表示如下：
∴a≤2.
第二章章末检测
班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝R，f：x→x2是A到B的映射，则在B中的对应元素为( )
A. B．±
C．±2 D．2
答案：D
解析：()2＝2.
2．函数y＝＋的定义域是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1,1)
C．(－∞，－1)∪(－1,1]
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案：C
解析：1－x≥0且x＋1≠0，∴x<－1或－13．已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)，则f[g(1)]＝( )
A．－ B.
C．3 D．5
答案：A
解析：f[g(1)]＝f(5)＝－.
4．若函数f(x)＝x(x＋1)(x－a)为奇函数，则a＝( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
答案：B
解析：∵f(x)＝x3＋(1－a)x2－ax，∴f(－x)＝－x3＋(1－a)x2＋ax，∴－x3－(1－a)x2＋ax＝－x3＋(1－a)x2＋ax，∴a＝1.
5．已知函数f(x)＝2x2＋2kx－8在[－5，－1]上单调递减，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案：A
解析：∵x＝＝－，∴－≥－1，k≤2.
6．如果f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )
A．f(－)≥f(a2－a＋1)
B．f(－)≤f(a2－a＋1)
C．f(－)＝f(a2－a＋1)
D．以上关系均不成立
答案：A
解析：根据偶函数的性质判断．
7．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，则( )
A．f(2)B．f(1)C．f(2)D．f(4)答案：A
解析：由f(2＋t)＝f(2－t)知二次函数图像的对称轴为直线x＝2.
8．函数f(2x－3)的图像，可由f(2x＋3)的图像经过下述变换得到( )
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位
答案：D
解析：f(2x－3)＝f[2(x＋－3)]．
9．下列函数中定义域和值域不同的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
答案：D
解析：∵y＝x＝的定义域为R，值域为[0，＋∞)，故选D.
10．已知定义在实数R上的函数y＝f(x)不恒为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有( )
A．f(x)<－1 B．－1C．f(x)>1 D．0答案：D
解析：由f(x＋y)＝f(x)f(y)，用赋值法．
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2(1－x)，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x3－x2 B．x3＋x2
C．－x3＋x2 D．x3－x2
答案：B
解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝x2(1＋x)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(1＋x)＝x3＋x2.
12．已知函数f(x)＝若f(2－x)>f(x)，则x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
答案：C
解析：由题意知f(x)在R上是减函数，∴2－x1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．函数y＝－x2＋4x－2在区间[1,4]上的最小值是________．
答案：－2
解析：求二次函数在给定区间上的最值，先求其图像的对称轴，再看给定区间和对称轴的关系．
14．函数f(x)＝3ax＋2b－2－a，x∈[－1,1]，若f(x)≥1恒成立，则b的最小值是________．
答案：
解析：本题考查函数的单调性问题，a>0，f(x)单调递增，a<0，f(x)单调递减，a＝0，f(x)为常数函数．
15．已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________.
答案：
解析：观察x取值的规律，自变量取x和取时函数值和为1.
16．下列说法正确的有________．
①函数y＝的定义域为{x|x≥1}；
②函数y＝x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数；
③函数f(x)＝x3＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝－2；
④已知f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
答案：②④
解析：①中定义域为{x|x>1}；③中f(a)＝a3＋1＝2，所以a＝1，所以f(－a)＝f(－1)＝0.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0,9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a<0)，给定区间D＝(6,7)．
(1)为使物体落在D内，求a的取值范围；
(2)若物体运动时又经过点P(2,8.1)，问它这时能否落在D内？说明理由．
解：(1)由于物体经过A(0,9)，则9＝c，故物体运动的轨迹方程为y＝ax2＋9(a<0)．
令y＝0，则x＝ .令6< <7，解得a∈(－，－)．
(2)由于点P在y＝ax2＋9上，则8.1＝4a＋9，解得a＝－.
当a∈(－，－)时，物体落在D内，
∵－<－<－，
∴物体落在D内．
18．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))；
(2)画出函数的图象并求出函数f(x)在区间(－2,2)上的值域．
解：(1)∵f(－2)＝2，f(2)＝8，
∴f(f(－2))＝f(2)＝8.
(2)图象如下：
∵f(0)＝4，f(2)＝8，f(－2)＝2，
∴值域为(2,8)．
19．(12分)对于函数f(x)，若f(x0)＝x0，则称x0为f(x)的“不动点”；若f[f(x0)]＝x0，则称x0为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f[f(x)]＝x}．
(1)设函数f(x)＝2x＋1，求集合A和B；
(2)求证：A?B.
解：(1)由f(x)＝x，得2x＋1＝x，解得x＝－1；
由f[f(x)]＝x，得2(2x＋1)＋1＝x，解得x＝－1，
∴集合A＝{－1}，B＝{－1}．
(2)证明：若A＝?，则A?B显然成立；
若A≠?，设t为A中任意一个元素，则有f(t)＝t，
∴f[f(t)]＝f(t)＝t，故t∈B，
∴A?B.
20．(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)
解：(1)当0所以P＝f(x)＝(x∈N*)
(2)设销售商一次订购x件时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝(x∈N*)
当x＝450时，L＝5 850.因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．
21．(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
解：∵函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝＝0，∴n＝0
又∵f(1)＝＝，∴m＝2，
∴f(x)＝.
(2)证明：设－1则f(x1)－f(x2)＝－＝<0，
∴f(x)在(－1,1)上为增函数．
22．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋a满足条件f(＋x)＝f(－x)，且方程f(x)＝7x＋a有两个相等的实数根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(0解：(1)由f(＋x)＝f(－x)，得f(x)的图像关于直线x＝对称，∴－＝?b＝－a，
∴f(x)＝ax2－ax＋a.
又方程f(x)＝7x＋a，即ax2－(a＋7)x＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(a＋7)2＝0，
∴a＝－2，f(x)＝－2x2＋7x－2.
(2)f(x)＝－2(x－)2＋对称轴为x＝.
①当≤m解得x＝－或x＝1或x＝3，不合题意(舍)
②m<≤n时，f(x)min＝f＝＝， ∴m＝
f(x)min＝由①得f(3)为最小值．∴m＝，n＝3.
③0即
①－②得mn＝1或m＝n不合题意．综上所述m＝，n＝3.
第三章章末检测
班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数y＝的值域是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案：A
解析：由题意得0<≤0＝1.
2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )
A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数
B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数
C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数
D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数
答案：D
解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．
3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.
4．不等式x>x－1的解集是( )
A．(－1，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)
答案：C
解析：2x5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )
A．aC．c答案：D
解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a6．函数f(x)＝的定义域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.
7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )
A．1 B．0
C．－1 D．任意实数
答案：A
解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.
8．函数y＝e|lnx|－|x－1|的图像大致是( )
A B
C D
答案：D
解析：y＝e|lnx|－|x－1|＝
找分段函数图像即可．
9．函数y＝2x＋1的图像关于直线y＝x对称的图像大致是( )
A B C D
答案：B
解析：函数y＝2x＋1的反函数为y＝log2(x－1)，其图像为B.
10．若[a]表示不超过a的最大整数．我们定义lgx的首数为[lgx]，lgx的尾数为lgx－[lgx]．现有x，y>10，若lgx，lgy的首数分别为a，c，lgx，lgy的尾数分别为b，d，而|a－1|＋＝0，b＋d＝1，则xy的值为( )
A．10 000 000 B．1 000 000
C．100 000 000 D．100 000
答案：B
11．已知函数f(x)满足当x≥4时，f(x)＝x.当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log)＝( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：f(2＋log)＝f(3＋log)＝＝3·＝×＝
12．已知集合A＝{x|x2－2013x＋2012<0}，B＝{x|logA．0 B．1
C．10 D．11
答案：D
解析：由x2－2013x＋2012<0?1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知a－a＝2，则a＋a－1＝________.
答案：6
解析：a＋a－1＝(a－a)2＋2＝6.
14．函数y＝ax－2＋4(a>0，且a≠1)的图像恒过点________．
答案：(2,5)
解析：借助于指数函数的零次幂为1解题．
15．若函数f(x)＝loga(x＋)是定义域为R的奇函数，则a＝________.
答案：
解析：∵函数f(x)＝loga(x＋)是奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(0)＝loga(|a|)＝0＝loga1，∴|a|＝1，|a|＝.又∵底数a>0，∴a＝.
16.
如右图，开始时，桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5 min时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min桶1中的水只有 L.
答案：10
解析：由题意，5 min后，y1＝ae－5n，y2＝a－ae－5n，y1＝y2，∴n＝ln2.设再过t min桶1中的水只有 L，
则y1＝ae－n(5＋t)＝，解得t＝10.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(1)计算：＋＋80.25×＋÷.
(2)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18.
解：(1)原式＝－6＋(－1)＋(23)×2＋5＝－6＋－1＋2＋5＝.
(2)解法一：lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18
＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)
＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
解法二：lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg 2＋lg 7－lg 18
＝lg ＝lg 1＝0.
18．(12分)现有命题P和Q如下．
P：函数y＝cx在R上单调递减．
Q：函数f(x)＝ln(2x2＋4x＋)的值域为R.
如果P和Q中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c的取值范围．
解：函数y＝cx在R上单调递减?0函数f(x)＝ln(2x2＋4x＋)的值域为R?Δ＝42－4×2·≥0，所以≤2，又c>0，所以c≥.
根据题设可知，命题P和Q有且仅有一个正确．
(1)如果P正确，Q不正确，则0(2)如果Q正确，P不正确，则c≥1.
所以，正数c的取值范围为(0，)∪[1，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝x，a∈R.
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数a，使得f(x)为偶函数．
解：(1)由2x－1≠0，得x≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)在定义域内任取x，由f(x)－f(－x)＝0得x－(－x)＝0.
所以2a＝－－＝1，解得a＝.
存在实数a＝，使得f(x)－f(－x)＝0成立，即使得f(x)为偶函数．
20．(12分)已知函数f(x)＝log2(1－x)，g(x)＝log2(x＋1)，设F(x)＝f(x)－g(x)．
(1)判断函数F(x)的奇偶性；
(2)证明函数F(x)是减函数．
解：(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝log2(1－x)－log2(x＋1)＝log2.
由得－1∴函数F(x)的定义域关于原点对称，
又∵F(－x)＝log2＝－log2＝－F(x)．
∴函数F(x)为奇函数．
(2)由(1)知函数F(x)的定义域为(－1,1)，
任取－1log2.
又(1－x1＋x2－x1x2)－(1＋x1－x2－x1x2)＝2(x2－x1)>0，所以>1，
所以log2－log2>0，即log2>log2，
所以函数F(x)是减函数．
21．(12分)求函数y＝()的值域和单调区间．
解：令t＝1＋2x－x2，
则y＝t，
而t＝－(x－1)2＋2≤2，
所以y＝t≥2＝.
即所求的函数的值域是[，＋∞)．
函数y＝在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
22．(12分)已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)，对定义域内的任意x都有f(2－x)＋f(2＋x)＝0成立．
(1)求实数m的值；
(2)若当x∈(b，a)时，f(x)的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a，b的值．
解：(1)由f(x)＝loga及f(2－x)＋f(2＋x)＝0对定义域内任意x都成立，可得：
loga＋loga＝0.
解得m＝±1.
当m＝1时，函数f(x)无意义，所以，只有m＝－1.
(2)m＝－1时，f(x)＝loga＝loga(a>0，a≠1)，
其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
所以，(b，a)?(－∞，1)或(b，a)?(3，＋∞)．
①若(b，a)?(3，＋∞)，则3≤b为研究x∈(b，a)时f(x)的值域，
可考虑f(x)＝loga在(3，＋∞)上的单调性．
下证f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
任取x1，x2∈(3，＋∞)，且x1－＝>0.
又a>1，所以loga>loga，
即f(x1)>f(x2)．
所以当(b，a)?(3，＋∞)时，f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
由题：当x∈(b，a)时，f(x)的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b＝3且f(a)＝1，解得a＝2＋(因为a>3，所以舍去a＝2－)．
②若(b，a)?(－∞，1)，则b0，a≠1，所以0此时，同上可证f(x)在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．
所以，f(x)在(b，a)上的取值范围为(f(b)，f(a))，而f(a)为常数，故f(x)的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．
所以，在这种情况下，a，b无解．
综上，符合题意的实数a，b的值为a＝2＋，b＝3.
2 集合的基本关系(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如果A＝{x|x＞－1}，那么( )
A．0A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
答案：D
解析：注意元素与集合以及集合与集合之间的关系．
2．已知四个命题：①?＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合都有两个或两个以上的子集；④空集是任何集合的子集．其中正确的命题个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：空集是不含任何元素的集合，所以①错误；空集是任何集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只有1个，所以②③错误，④正确．
3．满足{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．15个
答案：B
解析：符合题意的集合M有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}．
4．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．AB D．AB
答案：D
解析：对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB.
5．集合A＝{x|1＜x＜4，x∈N}的真子集的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：由题意得集合A＝{2,3}，因此集合A的真子集个数是22－1＝3，选C.
6．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
答案：D
解析：P＝{－1,1}，当a＝0时，Q＝?，当a≠0时，Q＝{x|x＝}，∵Q?P，∴a＝0，或a＝±1.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用适当的符号填空．
(1)a________{a，b，c}；
(2)0________{x|x2＝0}；
(3)?________{x∈R|x2＋1＝0}；
(4){0,1}________N；
(5){0}________{x|x2＝x}；
(6){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．
答案：(1)∈ (2)∈ (3)＝ (4) (5) (6)＝
8．已知集合P＝{x|0答案：{a|－3≤a≤2}
解析：依题意，知P＝{x|a9．当＝{0，a2，a＋b}时，a＝________，b＝________.
答案：－1 0
解析：依题意，可知a≠0，所以只能＝0，即b＝0.于是a＋b＝a，则a2＝1，解得a＝－1或a＝1(舍去)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正并说明．
(1){?}表示空集；
(2)空集是任何集合的真子集；
(3){1,2,3}不是{3,2,1}；
(4){0,1}的所有子集是{0}，{1}，{0,1}；
(5)如果A?B且A≠B，那么B必是A的真子集；
(6)A?B与A?B不能同时成立．
解：(1){?}不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以(1)不正确．空集有专用的符号“?”，不能写成{?}，也不能写成{}．
(2)不正确．空集是任何非空集合的真子集；也就是说空集不能是它自身的真子集．这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集．由此也发现了如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等．
(3)不正确．两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序，所以两个集合是相等集合．
(4)不正确．注意到?是每个集合的子集．所以这个说法不正确．
(5)正确．A?B包括两种情形：AB和A＝B.
(6)不正确．A＝B时，A?B与A?B能同时成立．
11．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C中每个元素都加上2变成A的一个子集，且C中每个元素都减去2变成B的一个子集，若存在，求集合C；若不存在，说明理由．
解：将A中的每个元素都减去2，得集合D＝{0,2,4,6,7}，
又将B中的每个元素都加上2，得到集合E＝{3,4,5,7,10}，
∵4∈E,4∈D,7∈E,7∈D，
∴集合C＝{4}，{7}或{4,7}．
12．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若N?M，N＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若M?N，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若M＝N，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：(1)①若N＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时N?M；
②若N≠?，则，解得2≤m≤3.
综合①②，得实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)若M?N，则，解得3≤m≤4.
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
(3)若M＝N，则，无解，即不存在实数m使得M＝N.
所以实数m的取值范围为?.
2 集合的基本关系(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列关系正确的是( )
A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{(x，y)|x2－y2＝1}{(x，y)|(x2－y2)2＝1}
D．{x∈R|x2－2＝0}＝?
答案：C
解析：由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，A、B、D错误，C正确．
2．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
答案：B
解析：选项A错，应当是B?A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D?A.
3．集合P＝{x|x＝t2－t，t∈R}，Q＝{y|y＝m2＋3m＋2，m∈R}，则P，Q的关系是( )
A．PQ B．PQ
C．P＝Q D．P，Q无公共元素
答案：C
解析：因为P＝{x|x＝t2－t，t∈R}＝
＝
，Q＝{y|y＝m2＋3m＋2，m∈R}＝＝
，且集合P，Q都是数集，只是代表元素所用的字母不同，所以P＝Q.
4．已知A＝{－2,2012，x2－1}，B＝{0,2012，x2－3x}，且A＝B，则x的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1,1
答案：A
解析：∵A＝B，∴ 解得x＝1.
5．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若M?N，则k满足( )
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
答案：D
解析：因为N＝{x|x≤k}，又M＝{x|－1≤x<2}，所以M?N时，k≥2.
6．设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是( )
A．PQ B．QP
C．P＝Q D．P∩Q＝Q
答案：C
解析：Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m＝0时，－4＜0恒成立； ②m＜0时，
需Δ＝(4m)2－4×m×(－4)＜0，解得－1二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知集合M＝{－1,3,2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N?M，则实数m＝________.
答案：1
解析：依题意，知当N?M时，只能有m2＝2m－1，解得m＝1，经检验知满足题意．
8．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2015＋y2016＝________.
答案：－1
解析：因为M＝N，所以或.由集合中元素的互异性，可知x≠1，解得，所以x2015＋y2016＝－1.
9．定义A*B＝{x|x∈A且x?B}，若A＝{1,3,4,6}，B＝{2,4,5,6}，则A*B的子集个数为________．
答案：4
解析：由A*B的定义知：若A＝{1,3,4,6}，B＝{2,4,5,6} 则A*B＝{1,3}，∴子集个数为22＝4个．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，B＝{－1,2}，且AB，求实数a的取值范围．
解：因为B＝{－1,2}，且AB，所以A可以是?，{－1}，{2}．
①当A＝?时，Δ＝a2－4<0，即－2②当A＝{－1}时，方程有两个相等的实数根，则Δ＝a2－4＝0，且1－a＋1＝0，所以a＝2；
③当A＝{2}时，方程有两个相等的实数根，则Δ＝a2－4＝0，且4＋2a＋1＝0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围为{a|－211．设集合P＝{x|x2－5x－14＝0}，Q＝{x|mx＋1＝0}．
(1)若m＝，试判断集合P与Q的关系；
(2)若Q?P，求实数m构成的集合T.
解：(1)由x2－5x－14＝0，解得x＝－2或x＝7，即P＝{－2,7}．
若m＝，由mx＋1＝0，可得x＋1＝0，即x＝－2，此时Q＝{－2}．所以QP.
(2)因为P＝{－2,7}，又Q?P，所以
①若Q＝?，则方程mx＋1＝0无解，此时m＝0；
②若Q≠?，则m≠0，由mx＋1＝0，可得x＝－，
所以－＝－2或－＝7，即m＝或m＝－.
综上所述，T＝.
12．集合A＝{x|－4≤x≤3}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝?，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使B?A成立，则有，解得－2≤m≤1.
综上可知，若B?A，则实数m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)当x∈Z时，A＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3}，共8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，即A，B没有公共元素．
当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝?，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使A，B没有公共元素，则有
或，解得m>4.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m>4或m<－2}．
3．1 交集与并集
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B＝( )
A．? B.
C. D.
答案：C
解析：由，解得，即A∩B＝，故选C.
2．设集合A＝{x|－5≤x≤1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B等于( )
A．{x|－5≤x≤1} B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}
答案：D
解析：由题意可知AB，因此A∪B＝B.
3．集合M＝{x|－2≤x＜1}，N＝{x|x≤a}，若? (M∩N)，则实数a的取值范围为( )
A．a＜3 B．a≥－2
C．a≥－3 D．－2≤a＜3
答案：B
解析：∵?M∩N，则M∩N非空，故a≥－2.故选B.
4．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1}
C．{0,3} D．{3}
答案：C
解析：因为B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0,3,6,9}，所以A∩B＝{0,3}．
5．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
答案：B
解析：考查集合的关系与运算．
M＝{x|－1≤x≤3}，N为正奇数集．
∴M∩N＝{1,3}．
6．设集合M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：M、N都是{x|0≤x≤1}的子集．
所以且
即0≤m≤且≤n≤1.
依题设定义，易知所求“长度”的最小值为－＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x≤2，x∈N}，则A∩B＝________.
答案：{0,1,2}
解析：依题意B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{0,1,2}．
8．若A＝{x|0答案：{x|0解析：依题意，在数轴上画出集合A，B所表示的区间，可得A∪B＝{x|09．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围是________．
答案：{k|k≥－1}
解析：因为M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}＝{x|x≤k}，如图，当k≥－1时，M，N有公共部分，满足M∩N≠?.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知集合A＝{－2,0,3}，M＝{x|x2＋(a＋1)x－6＝0}，N＝{y|y2＋2y－b＝0}，若M∪N＝A，求a，b的值．
解：因为A＝{－2,0,3},0?M且M∪N＝A，
所以0∈N.
将0代入方程y2＋2y－b＝0，求得b＝0.
由此可得N＝{y|y2＋2y＝0}＝{0，－2}．
因为3?N且M∪N＝A，
所以3∈M.
将3代入方程x2＋(a＋1)x－6＝0，求得a＝－2.
此时M＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，满足M∪N＝A，
所以a＝－2，b＝0.
11．已知集合A＝{x|2(1)若A∩B＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3解：(1)因为A∩B＝?，所以可分两种情况讨论：B＝?和B≠?.
当B＝?时，a≥3a，解得a≤0；
当B≠?时，，解得a≥4或0综上，实数a的取值范围是.
(2)因为A∩B＝{x|312．设A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若? (A∩B)，且A∩C＝?，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠?，求a的值．
解：(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．
因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2,3}，
所以，解得a＝5.
(2)因为? (A∩B)，且A∩C＝?，B＝{2,3}，C＝{－4,2}，
所以－4?A,2?A,3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0，
即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意；
当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去．
综上可知，a＝－2.
(3)因为A∩B＝A∩C≠?，B＝{2,3}，C＝{－4,2}，
所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，
即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去；
当a＝－3时，A＝{－5,2}，满足题意．
综上可知，a＝－3.
3．2 全集与补集
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{3,4}，集合Q＝{1,3,6}，则P∩?UQ等于( )
A．{1,3,4,6} B．{2,5}
C．{3} D．{4}
答案：D
解析：由题意知?UQ＝{2,4,5}，
故P∩?UQ＝{2,4,5}∩{3,4}＝{4}．故选D.
2．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}，集合A＝{1,5,8}，B＝{2}，则集合(?A)∪B＝( )
A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}
C．{1,2,5,8} D．?
答案：A
解析：依题意，知A＝{0,3,6}，又B＝{2}，所以(A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.
3．已知U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,4}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{1,3} B．{1,5}
C．{2,3} D．{2,3,5}
答案：B
解析：图中阴影部分表示的集合是A∩(B)，而B＝{0,1,5}，所以A∩(B)＝{1,3,5}∩{0,1,5}＝{1,5}．故选B.
4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(M)＝?，则M∪N＝( )
A．M B．N
C．I D．?
答案：A
解析：由N∩(M)＝?，可知N与M没有公共元素，则N?M，又M≠N，所以N?M，所以M∪N＝M.故选A.
5．设U为全集，下列四个命题中，不正确的是( )
A．若A∩B＝?，则(?UA)∪(?UB)＝U
B．若A∩B＝?，则A＝B＝?
C．若A∪B＝U，则(?UA)∩(?UB)＝?
D．若A∪B＝?，则A＝B＝?
答案：B
解析：当A＝U，B＝?时，A∩B＝?成立，但A≠B，故A∩B＝?不一定有A＝B＝?.故应选B.
6．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A?B，那么实数m的值可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：由B＝{x|x<2m}，得B＝{x|x≥2m}．因为A?B，可知2m≤2，解得m≤1.故选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合(M∩N)中的元素共有________个．
答案：3
解析：因为U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，则(M∩N)＝{3,5,8}，可知其中的元素有3个．
8．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(B)＝________.
答案：{x|－1≤x<3}
解析：因为B＝{x|x<－1}，则B＝{x|x≥－1}，所以A∩(B)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}．
9．设全集U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}B＝{x|x2－5x＋q＝0}若(?UA)∩B＝{2}．A∩(?UB)＝{4}，则A∪B＝________.
答案：{2、3、4}
解析：∵(?UA)∩B＝{2} ∴2∈B且2?A A∩(?UB)＝{4} ∴4∈A且4?B
∴ ∴
∴A＝{3,4} B{2,3} A∪B＝{2,3,4}
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2(1)求(A)∪B；
(2)求A∩(B)．
解：易知A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
B＝{x|x<－3或2则(1)(A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}．
(2)A∩(B)＝{x|211．设U＝R，集合P＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，Q＝{x|－2≤x<3}．
(1)求P∩(Q)，(P)∩Q；
(2)求(P)∩(Q)，(P∩Q)．
解：因为P＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}＝＝，所以P＝.
又因为Q＝{x|－2≤x<3}，所以Q＝{x|x<－2或x≥3}．
(1)P∩(Q)＝∩{x|x<－2或x≥3}＝{x|x≥3}，
(P)∩Q＝∩{x|－2≤x<3}＝.
(2)(P)∩(Q)＝∩{x|x<－2或x≥3}＝{x|x<－2}，
因为P∩Q＝∩{x|－2≤x<3}＝，
所以(P∩Q)＝.
12．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8,9,10}，求：
(1) ?A∪BB，?A(A∩B)．
(2)从(1)中你可以发现什么规律？
(3)用(2)的规律解答下列问题：已知A＝{x∈R|x2－2x－3＞0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋b≤0}且A∪B＝R，A∩B＝{x|3＜x≤4}，求a＋b的值．
解：(1)因为A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
所以?A∪BB＝{1,2,3}．
因为A∩B＝{4,5,6,7}，
所以?A(A∩B)＝{1,2,3}；
(2)由(1)可发现?A∪BB＝?A(A∩B)；
(3)因为A＝{x|x＞3或x＜－1}，?RB＝?A(A∩B)＝{x|x＜－1或x＞4}，所以B＝{x|－1≤x≤4}，
所以a＋b＝－(－1＋4)＋(－1)×4＝－7.
2．1 函数的概念
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列选项中，表示的是同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x－2)2
C．f(x)＝，g(t)＝|t|
D．f(x)＝·，g(x)＝
答案：C
解析：A选项中，函数f(x)＝和函数g(x)＝()2的定义域分别为R和[0，＋∞)，即两个函数定义域不同，故不是同一函数；B选项中，函数f(x)＝x2和函数g(x)＝(x－2)2的对应法则不同，故不是同一函数；C选项中，两个函数f(x)和g(t)的定义域都是R，对应法则都是求自变量的绝对值，故尽管表示自变量的字母不同，但它们依然表示同一函数；D选项中，函数f(x)和g(x)的定义域分别是[1，＋∞)和(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不同，故函数f(x)和g(x)不是同一函数．故选C.
2．函数f(x)＝－的定义域为( )
A．(－3,5) B．(－3,5]
C．[－3,5) D．[－3,5]
答案：C
解析：要使函数f(x)＝－有意义，需满足，解得－3≤x<5，所以函数f(x)的定义域为[－3,5)．故选C.
3．已知函数f(x)＝8－3x，x∈[－2,2)，则函数f(x)的值域为( )
A．[2,14) B．(2,14]
C．[2,14] D．(2,14)
答案：B
解析：∵－2≤x<2，∴－6<－3x≤6,2<8－3x≤14，即f(x)的值域为(2,14]．故选B.
4．已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则函数f(2x－4)的定义域为( )
A．(－4,0) B．(2,3)
C．(－1,0) D．(0,2)
答案：B
解析：由题意，得0<2x－4<2，解得25．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下面四个图形，其中能构成从集合M到集合N的函数关系的是( )
答案：D
解析：A中函数的定义域是[0,1]，B中函数的定义域是[－1,2]，C中，由图象，知存在x＝2∈M，对应的y值有两个且均属于集合N，所以C中图象不表示函数关系，故选D.
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B．[，4]
C．[，3] D．[，＋∞)
答案：C
解析：y＝x2－3x－4＝(x－)2－，结合二次函数图像可知≤m≤3.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．观察数表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f(g(3)－f(－1))＝________.
答案：4
解析：由数表，可得g(3)＝－4，f(－1)＝－1，∴g(3)－f(－1)＝－3，∴f(g(3)－f(－1))＝f(－3)＝4.
8．函数y＝(x∈[0,3]且x≠1)的值域为________．
答案：(－∞，－4]∪[5，＋∞)
解析：y＝＝＝2＋，因为x∈[0,3]且x≠1，所以x－1∈[－1,2]且x－1≠0，可得y≤－4或y≥5.故填(－∞，－4]∪[5，＋∞)．
9．已知f＝3x－2，且f(m)＝7，则m＝________.
答案：－
解析：令3x－2＝7，解得x＝3，则m＝－3＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的定义域，并用区间表示．
(1)函数f(x)＝；
(2)函数f(x)＝－＋.
解：(1)要使函数f(x)＝有意义，需满足，解得x≤4且x≠－1，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≤4且x≠－1}，
用区间表示为(－∞，－1)∪(－1,4]．
(2)要使函数f(x)＝－＋有意义，
需满足解得－≤x<2且x≠0，
故函数f(x)的定义域为
，用区间表示为∪(0,2)．
11．求下列函数的值域．
(1)y＝＋2；
(2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)由题意得yx2＋y＝2x2－1，∴(2－y)x2＝y＋1(显然y≠2)．∴x2＝≥0?(y＋1)(y－2)≤0，且y≠2.
∴－1≤y＜2. ∴值域为[－1,2)．
(3)－x2＋x＋2≥0，－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，即0≤－x2＋x＋2≤，∴0≤y≤.∴值域为[0，]．
12．已知函数f(x)＝(x≠0)．
(1)分别计算f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
(3)利用(2)中的结论计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f＋f＋f＋…＋f的值．
解：(1)f(2)＋f＝＋＝1，f(3)＋f＝＋＝1，f(4)＋f＝＋＝1.
(2)由(1)，猜想f(x)＋f＝1.
证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)原式＝f(1)＋
＝＋2014＝.
2．2 函数的表示方法
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的公共点共有( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．可能多于1个
答案：C
解析：设函数的定义域是D，由函数的定义知，当a∈D时，则仅有一个函数值f(a)，也就是在函数y＝f(x)图像上横坐标为a的点仅有点(a，f(a))，即此时函数的图像与直线x＝a有1个公共点；当a不在函数y＝f(x)的定义域中时，则函数图像上不存在横坐标为a的点，则此时函数的图像与直线x＝a无公共点，故选C.
2．函数f(x)＝x＋的图象是( )
答案：C
解析：因为f(x)＝，所以选C.
3．已知f(x)＝则f{f[f(－1)]}等于( )
A．π－1 B．π
C．π＋1 D．0
答案：C
解析：因为－1＜0，所以f(－1)＝0，又f(0)＝π，π＞0，故f(π)＝π＋1.
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间不断地加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案：C
解析：小明一开始匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；然后因交通堵塞停留了一段时间，此时小明与学校的距离不变，故排除D；最后为了赶时间不断地加快速度行驶，故排除B.故选C.
5．设函数f(x)＝，则f(f(f(a)))(a<0)＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．a
答案：B
解析：∵a<0，∴f(a)＝1，f(f(a))＝f(1)＝－1.∴f(f(f(a)))＝f(－1)＝1.故选B.
6．已知f＝，则函数f(x)的解析式是( )
A. B．－
C. D．－
答案：C
解析：由题意，令t＝，则x＝，则f(t)＝，即f(x)＝，故选C.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知A＝{1,2,3,4,5}，对应法则f：x→(x－3)2＋1，设B为A中元素在f作用下的像集，则B＝________.
答案：{1,2,5}
解析：1→(1－3)2＋1＝5,2→(2－3)2＋1＝2,3→(3－3)2＋1＝1,4→(4－3)2＋1＝2,5→(5－3)2＋1＝5.
∴B＝{1,2,5}．
8．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f＝________.
答案：
解析：由图象，可得函数f(x)＝.
∴f＝－1＝－，f＝－＋1＝.
∴f＝f＝.
9．若函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x(x≠0)，则f(x)＝________.
答案：2x－
解析：函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，用替换表达式中的x，得到2f＋f(x)＝，联立两个方程消去f，可得f(x)＝2x－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．画出下列函数的图像．
①y＝2x－3，x∈z且|x|≤2
②y＝|x－5|＋|x＋3|
③y＝x2－2|x|－1
④y＝
解：①y＝2x－3 x＝±2，±1,0，图示为5个点(－2，－7)(－1，－5)(0，－3)(1，－1)(2,1)
②y＝|x－5|＋|x＋3|
＝
③y＝x2－2|x|－1
＝
④y＝
11．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)；
(2)已知f(x)满足3f(x)＋2f(－x)＝4x，求f(x)．
解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)
＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]
＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b
＝ax＋8a＋b
＝2x＋21，
∴a＝2,8a＋b＝21，
∴a＝2，b＝5，
∴f(x)＝2x＋5.
(2)3f(x)＋2f(－x)＝4x， ①
用－x替换x，得3f(－x)＋2f(x)＝－4x， ②
①×3－②×2得5f(x)＝20x，
∴f(x)＝4x.
12．如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，设AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示成x的函数，并写出函数的定义域．
解：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD ，G为垂足，依题意，
则有AH＝，AG＝a，
①当M位于点H的左侧时，点N在AB上，由于AM＝x，∠A＝45°，
∴MN＝x.
∴y＝S△AMN＝x2(0≤x≤)．
②当M位于HG之间时，由于AM＝x，
MN＝，BN＝x－，
∴y＝S直角梯形AMNB＝·[x＋(x－)]
＝ax－(＜x≤a)．
③当M位于点G的右侧时，由于AM＝x，MN＝MD＝2a－x，
∴y＝S梯形ABCD－S△MDN
＝·(2a＋a)－(2a－x)2
＝－(4a2－4ax＋x2)
＝－x2＋2ax－(a＜x≤2a)．
综上，
y＝
2．3 映射
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若f：A→B是一个映射，有下列说法：①A中的任一元素在B中必须有象且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的象；③B中的多个元素可以在A中有相同的原象；④B中一定存在元素在A中没有原象．其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：根据映射的定义，知(1)(2)说法正确，(3)(4)说法错误．故选B.
2．已知集合A＝{a1，a2}，集合B＝{－1,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
答案：C
解析：由映射的定义，知选C.
3．如果(x，y)在映射f作用下的象是(x＋y，x－y)，则(1,2)的原象是( )
A．(－1,3) B．(－3，－1)
C．(3，－1) D.
答案：D
解析：由题意，知，解得.故选D.
4．设集合A＝{(0,1)，(1,0)}，集合B＝{0,1,2}，则从A到B的映射的个数是( )
A．3 B．6
C．8 D．9
答案：D
解析：根据映射的定义，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的象，所以从A到B的不同映射的个数为32＝9.故选D.
5．已知集合A＝{x|0≤x≤16}，集合B＝{y|0≤y≤4}，给出下列由A到B的对应：①f：x→y＝x，②f：x→y＝，③f：x→y＝－，④f：x→y＝x－12.
其中能构成映射的是( )
A．①② B．①③
C．③④ D．②④
答案：A
解析：对于①，当0≤x≤16时，0≤x≤4，显然对于A中的任意元素x，B中有唯一的元素y与之对应，是映射；对于②，也符合映射的定义；对于③，当0≤x≤16时，－4≤－≤0，显然[－4,0]B，不是映射；对于④，当0≤x<12时，－12≤x－12<0，B中没有象与之对应，也不符合映射的定义．故选A.
6．若集合A＝{a，b}，B＝{－2,0,1,2}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，则这样的映射f：A→B的个数为( )
A．2 B．3
C．8 D．16
答案：B
解析：由f(a)，f(b)∈{－2,0,1,2}，且满足f(a)＋f(b)＝0，知这样的映射有：，，，共3个．故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设A＝B＝C＝R，若A到B的映射为f1：x→x－2，B到C的映射为f2：y→y－2，则A到C的映射为f：________.
答案：x→x－4
解析：由映射的定义，知f：x→(x－2)－2＝x－4.故填x→x－4.
8．已知(x，y)在映射f的作用下的像是(x＋y，xy)，则(3,4)的像是________，(1，－6)的原像是________．
答案：(7,12) (－2,3)或(3，－2)
解析：当x＝3，y＝4时，x＋y＝7，xy＝12，∴(3,4)的像是(7,12)；
令解得或
∴(1，－6)的原像是(－2,3)或(3，－2)．
9．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－2x2＋8x＋3，若集合B中的实数k，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是________．
答案：(11，＋∞)
解析：∵y＝－2x2＋8x＋3＝－2(x－2)2＋11，∴y≤11，即象的集合为(－∞，11]．∵集合B中的实数k在集合A中不存在原象，即k不在象的集合内，∴k>11.故填(11，＋∞)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，并分别说明哪些是一一映射，哪些是函数．
(1)A＝{2,3,4}，B＝{4,5,6,7,8,9,10}，对应关系f：x→3x－2；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的等腰梯形}，对应关系f：每一个圆都对应它的外切等腰梯形；
(3)A＝，B＝{1,2,3,4}，对应关系f：x→.
解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→3x－2和数集B中的元素3x－2对应，这个对应是从数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素5,6,8,9没有原象，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为一个圆有无穷多个外切等腰梯形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．由映射、一一映射和函数的概念可判定．
11．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,1,2}，映射f：A→B.
(1)求映射f：A→B的个数；
(2)若f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
解：(1)根据映射的定义，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的象，所以f：A→B可构成不同映射的个数为43＝64.
(2)由于f(a)，f(b)，f(c)∈{－2,0,1,2}，故符合条件f(a)＋f(b)＝f(c)的f(a)，f(b)，f(c)的取值情况如下表所示：
f(a)
0
2
0
－2
0
2
－2
1
0
1
f(b)
0
0
2
0
－2
－2
2
1
1
0
f(c)
0
2
2
－2
－2
0
0
2
1
1
由上表可知，所求映射的个数为10.
12．设A＝B＝Z，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，经过两次映射后，
(1)求A中元素1在C中的对应元素；
(2)C中元素1在A中有没有对应元素？
解：(1)A中元素1按x→2x－1法则，在B中的对应元素为1，B中元素1，按y→法则，在C中对应元素为；
(2)假设C中元素1在B中的对应元素为y，则＝1，解得y＝0；假设A中与B中元素0对应的元素为x，则2x－1＝0，解得x＝?Z，∴C中元素1在A中没有对应元素．
4 二次函数性质的再研究(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．抛物线f(x)＝－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是( )
A．(1,1)，x＝－1 B．(1,1)，x＝1
C．(－1,1)，x＝1 D．(－1,1)，x＝－1
答案：B
解析：∵f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,1)，对称轴方程为x＝1.故选B.
2．函数y＝2x2－8x在[－4,4]上的最小值为( )
A．－8 B．－16
C．64 D．32
答案：A
解析：由题，可知函数y＝2x2－8x＝2(x－2)2－8的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，又2∈[－4,4]，所以在x＝2处取得最小值－8.故选A.
3．若函数f(x)＝－2x2－mx＋3满足对于任意实数x，都有f(3＋x)＝f(3－x)，则m＝( )
A．－2 B．12
C．－12 D．2
答案：C
解析：由f(3＋x)＝f(3－x)，可知函数f(x)＝－2x2－mx＋3的图象的对称轴为直线x＝3，即－＝3，解得m＝－12.故选C.
4．如果函数y＝8x2－2kx＋13在[2,12]上是单调函数，则实数k的取值范围为( )
A．(－∞，16]
B．[96，＋∞)
C．(16,96)
D．(－∞，16]∪[96，＋∞)
答案：D
解析：抛物线y＝8x2－2kx＋13的对称轴为直线x＝，若函数y＝8x2－2kx＋13在[2,12]上是单调函数，则≤2或≥12，所以k≤16或k≥96.故选D.
5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
答案：B
解析：因为函数图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；函数图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，即2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a6．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(0)＝3，f(2)＝1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0,2) D．[2,4]
答案：D
解析：二次函数f(x)关于x＝2对称，画出图像，知m∈[2,4]．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若f(x)＝2x2＋2(a＋2)x＋5，x∈[a，b]的图象关于直线x＝4对称，则b＝________.
答案：18
解析：因为f(x)＝2x2＋2(a＋2)x＋5，x∈[a，b]的图象关于直线x＝4对称，则a＋b＝8，－＝4，解得a＝－10，b＝18.
8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积是________．
答案：8
解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0解得：x1＝1，x2＝－3.
所以两交点坐标为(－3,0)，(1,0)．
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x＋1)＋4＝－(x＋1)2＋4
∴C点的坐标为(－1,4)． ∴S△ABC＝×4×4＝8.
9．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2,2]
解析：设f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4.
解法一：当a＝2时，f(x)＝－4<0恒成立；当a≠2时，f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，即f(x)有最大值且最大值小于零，即，解得－2解法二：当a＝2时，不等式显然对x∈R恒成立；当a≠2时，若不等式成立，即f(x)<0对x∈R恒成立，必有，解得－2三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知函数y＝f(x)＝－x2－3x－.
(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程；
(2)已知f(－)＝，不直接计算函数值，求f(－)的值；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－)与f(－)的大小．
解：y＝－x2－3x－＝－(x＋3)2＋2.
(1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别为(－3，2)和x＝－3.
(2)∵f(－)＝f(－3－)＝f(－3＋)＝f(－)．∴f(－)＝.
(3)∵f(－)＝f(－3－)＝f(－3＋)＝f(－)．又－，－∈[－3，＋∞)，∵a＝－＜0，
∴y＝f(x)在[－3，＋∞)上是单调递减的．
∵－＞－，
∴f(－)＜f(－)，即
f(－)＜f(－)．
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－x2＋2x＋3的图象的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．
解：∵y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－x2＋2x＋3的图象的形状相同，开口方向相反，
∴a＝，则y＝x2＋bx＋c.
又(1，n)，(m,1)两点均在直线y＝x－2上，
∴?，即点(1，－1)和(3,1)均在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上．
∴，解得.
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－x－.
12．f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，求：
(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；
(2)g(t)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2.
当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；
当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)增大，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上可得g(t)＝
(2)当t＜1时，g(t)＝t2－2t－7＝(t－1)2－8＞－8；
当1≤t≤2时，g(t)＝－8；
当t＞2时，g(t)＝t2－4t－4＝(t－2)2－8＞－8，
则g(t)的最小值是－8.
4 二次函数性质的再研究(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
答案：A
解析：二次函数图像的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.
2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )
A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1,3]上递增
D．单调性不能确定
答案：A
解析：由已知可得该函数的图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
3．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于( )
A．－ B．－
C．c D.
答案：C
解析：∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图像关于x＝－对称，∴x1＋x2＝－.
∴f (x1＋x2)＝f＝a·－b·＋c＝c.
4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
答案：B
解析：y＝|x|(1－x)＝?y＝?y＝，画出函数的大致图象，
如图所示．由图易知函数在上单调递增．故选B.
5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－1,3)和(4，＋∞)
答案：A
解析：由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y＝，a>0，再根据f(－3)f(－1)<0，f(2)f(4)<0，可得f(x)的零点所在的区间是(－3，－1)和(2,4)，
即方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．
6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(aA．αB．a<α<βC．a<αD．α答案：A
解析：设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若方程ax＋b＝0(a≠0)的一个解是1，则方程bx2－ax＝0的解是________．
答案：0或－1
解析：由题意知ax＋b＝0(a≠0)的解为x＝1，∴b＝－a，∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)，令g(x)＝0，则x＝0或x＝－1.
8．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a＝________.
答案：1
解析：函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数f(x)的最大值在区间的端点处取得．
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或，解得a＝1.
9．设函数f(x)＝，若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．
答案：{－2,2}
解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，所以，解得，故f(x)＝.当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，解得x＝－2或x＝1(舍去)；当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.所以方程f(x)＝x的解集为{－2,2}．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
11．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
又f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，
所以，解得.
故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，对任意的x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1(x∈[－1,1])，则问题可转化为g(x)min>m.
又g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1.
故m<－1.
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)．
12.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)若f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求函数f(x)的最小值g(a)．
解：(1)由f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，知其图象的对称轴为直线x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
∴实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
(2)当a≤－5时，f(x)在[－5,5]上为减函数，则f(x)min＝f(5)＝27＋10a；
当－5当a≥5时，f(x)在[－5,5]上为增函数，则f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
综上所述，g(a)＝
5 简单的幂函数(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数中，不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2
C．y＝2x D．y＝
答案：C
解析：选项C的自变量没有在底数的位置．故选C.
2．下列命题中正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图像不可能在第四象限
答案：D
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图像不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限，故D正确．
3．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意可设f(x)＝xα.又函数图象过点(4,2)，∴4α＝2，∴α＝，得f(x)＝x，∴f＝＝.故选D.
4．图中曲线是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取±3，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n的值依次为( )
A．－3，－，，3 B．3，，－，－3
C．－，－3,3， D．3，，－3，－
答案：B
解析：当n>0时，幂函数在(0，＋∞)上为单调递增函数，当n<0时，幂函数在(0，＋∞)上为单调递减函数，并且在x＝1的右侧，图象自下而上所对函数的幂指数n依次增大，故选B.
5．函数y＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，则( )
A．m＝－1，或m＝2 B．m＝－1
C．m＝2 D．－1＜m＜3
答案：C
解析：由题意知
?
?
?m＝2.
6．当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xa的图像恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是( )
A．0＜a＜1
B．a＜0
C．a＜1，且a≠0
D．a<1
答案：D
解析：如图(1)所示，当0＜a＜1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图像恒在直线y＝x的下方；如图(2)所示，当a＜0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图像也符合条件．如图(3)，当a＝0时，对x∈(1，＋∞)，符合条件．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．数1.1，1.2，0.8按从小到大排列为________．
答案：0.8＜1.1＜1.2
解析：因为幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数且1.1＜1.2，所以1.1＜1.2且都大于1，而0.8＜1
∴0.8＜1.1＜1.2.
8．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
答案：二、四
解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限．
9．函数y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则m的取值范围是________．
答案：m＞2
解析：要使y＝(mx2＋4x＋2) ＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则需mx2＋4x＋2＞0对一切实数都成立，即所以
解得m＞2或m＝0.
故m的取值范围是m＞2或m＝0.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由．
(1)2.5，(－1.4) ，(－)；
(2)4.5，3.8，(－1.9)；
(3)0.16，0.5，6.25.
解：(1)∵(－1.4) ＝1.4＞0，(－)＜0，
又y＝x在(0，＋∞)上单调递增．∴(－)＜(－1.4) ＜2.5.
(2)∵4.5＞1,0＜3.8＜1，(－1.9) ＜0，
∴(－1.9) ＜3.8＜4.5.
(3)0.16＝()，0.5＝4，6.25＝，
又∵y＝x在(0，＋∞)单调递增
∴6.25＜0.5＜0.16
11．求下列函数的定义域、值域和单调区间．
(1)y＝(2x－1)；(2)y＝(x＋2) －1.
解：(1)2x－1≥0，x≥.
∴定义域为[，＋∞)，值域为[0，＋∞)．
在[，＋∞)上单调递增．
(2)x＋2≠0，x≠－2，
∴定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，
值域为(－1，＋∞)．
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．
12．点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(－2，)在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)问当x取何值时有：
①f(x)＞g(x)；
②f(x)＝g(x)；
③f(x)＜g(x)．
解：(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xb，因为点(－2，)在幂函数g(x)的图像上，将(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像如下图所示：
由图像可知：
①当x＞1或x＜－1时， f(x)＞g(x)；
②当x＝1或x＝－1时， f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时， f(x)＜g(x)．
5 简单的幂函数(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x－x
D．y＝x2＋x
答案：C
解析：由奇偶性定义易得y＝x－x为奇函数．
2．函数f(x)＝(x－1)·，x∈(－1,1)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：B
解析：∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0.
∴f(x)＝(x－1)·＝－.
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．故选B.
3．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
答案：C
解析：∵f(x)＝－x是奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，故选C.
4．奇函数f(x)的定义域为R，则有( )
A．f(x)＜f(－x)
B．f(x)≤f(－x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)＞0
答案：C
解析：f(x)为奇函数，f(x)f(－x)＝f(x)[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.
5．若f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)
B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)
C．f(－π)＜f(－2)＜f(3)
D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)
答案：A
解析：由f(x)为偶函数知f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π.
∴f(2)＜f(3)＜f(π)，故f(－2)＜f(3)＜f(－π)，故选A.
6．定义域为R的函数f(x)是偶函数，且在x∈[0,5]上是增函数，在[5，＋∞)上是减函数，又f(5)＝2，则f(x)( )
A．在x∈[－5,0]上是增函数且有最大值2
B．在x∈[－5,0]上是减函数且有最大值2
C．在x∈[－5,0]上是增函数且有最小值2
D．在x∈[－5,0]上是减函数且有最小值2
答案：B
解析：用图像法即可看出(如图)，只有B项正确．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则2a＋3b＝________.
答案：－
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以(a－1)＋2a＝0，所以a＝.
因为偶函数的图像关于y轴对称，
所以－＝0，
所以b＝－3.
故2a＋3b＝－.
8．已知a＝xα，b＝x，c＝x，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
答案：c解析：∵α∈(0,1)，∴>α>.又09．对于定义在R上的函数f(x)，给出以下三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．
其中正确命题的序号为________．
答案：②
解析：由偶函数的定义，知对于定义域内的任意的x，都有f(－x)＝f(x)成立，则函数f(x)为偶函数，所以①错误，②正确；③中，若f(－2)＝f(2)＝0，则f(x)有可能为奇函数，所以③错误．故填②.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．判断下列函数是奇函数还是偶函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(4)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)＝是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(4) 方法一：由题意，知函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
综上，可知f(x)为奇函数．
方法二：f(x)＝，
作出f(x)的图象，如图所示．
由图象知，函数f(x)是奇函数．
11．奇函数f(x)的定义域为[－1,1]，若f(x)在[0,1]上单调递减，且f(1＋m)＋f(m)<0，求实数m的取值范围．
解：因为奇函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以函数f(x)在[－1,1]上单调递减．
由f(1＋m)＋f(m)<0，得f(1＋m)<－f(m)＝f(－m)，
所以解得－故实数m的取值范围是.
12．函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)判断f(x)是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0.
又f(1)＝＝，则a＝1，∴a＝1，b＝0.
(2)由(1)，知f(x)＝.
任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵x1，x2∈(－1,1)且x1∴f(x)在(－1,1)上单调递增．
(3)令y＝f(x)，由于其定义域为R，
则关于x的方程yx2－x＋y＝0有实数根，即Δ＝1－4y2≥0，
解得－≤y≤，
且f(－1)＝－，f(1)＝.
故f(x)min＝f(－1)＝－，f(x)max＝f(1)＝.
3．1 指数函数的概念、图像及性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝－3 B．y＝3x＋1
C．y＝(3－1)x D．y＝1x
答案：C
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个 B．512个
C．1024个 D．1023个
答案：B
解析：3小时为9个20分钟，细菌个数为29＝512.
3．若函数y＝2x＋m的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－∞，－1] D．(－∞，0]
答案：C
解析：∵y＝(3－1)x＝x符合指数函数的概念，∴选C.
4．如图，分别是y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x的图象，则a，c对应的值分别是( )
A．2,3 B．3，
C.，2 D．3，
答案：D
解析：依据图象，可知05．函数y＝(2a－1)x为减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意，知0<2a－1<1，所以6．已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
答案：D
解析：由f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，f(－2)>f(－3)，得a2>a3，故0二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．
答案：
解析：x∈[－1,1]，则≤3x≤3，
即－≤3x－2≤1.
8．若定义运算a※b＝则函数f(x)＝3x※3－x的值域是________．
答案：(0,1]
解析：f(x)＝3x※3－x＝
∴函数f(x)的值域是(0,1]．
9．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于________．
答案：或
解析：当a>1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，所以a－a－1＝1，所以a＝；当0三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.72.5和1.73；
(2)0.8－0.1和1.250.2；
(3)1.70.3和0.93.1.
解：(1)由于1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
又2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)1.250.2＝0.8－0.2，由于0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，即0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.
11．求函数y＝3的定义域、值域和单调区间．
解：定义域为(－∞，＋∞)．
设u＝f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则y＝3u(u≤4)．
∵y＝3u是增函数，∴0<3u≤34，即值域为(0,81]．
当x≤1时，u＝f(x)单调递增，y＝3u单调递增，
∴原函数单调递增；
当x>1时，u＝f(x)单调递减，y＝3u单调递增，
∴原函数单调递减．
综上，函数y＝3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)．
12．设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求m的取值范围．
解：∵f(x)＝ax－a－x，∴f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，
∴原不等式可化为f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)．
又当a>1时，∵y＝ax与y＝－a－x在(－1,1)上均为增函数，
∴f(x)＝ax－a－x在(－1,1)上为增函数．
此时可得解得1当0∴f(x)＝ax－a－x在(－1,1)上为减函数，
此时可得：解得0综上所述，当a>1时，13．2 指数函数的性质及应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各函数中，指数函数的个数是( )
①y＝2x ②y＝－x ③y＝－()x
④y＝(－2)x ⑤y＝2×3x ⑥y＝2x－1
⑦y＝(3a－1)x(a>且a≠为常数)
⑧y＝()x
A．2个 B．3个
C．4个 D．6个
答案：B
解析：①⑦⑧为指数函数．
2．函数f(x)＝2|x|的值域是( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．[1，＋∞) D．R
答案：C
解析：∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴f(x)的值域为[1，＋∞)．
3．已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案：C
解析：由两函数图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即＝1，解得a＝4.
4．已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝10x，则当x<0时，f(x)＝( )
A．10x B．10－x
C．－10x D．－10－x
答案：B
解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝10－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝10－x.
5．函数f(x)＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
答案：A
解析：∵f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，∴f(x)为奇函数，故选A.
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
答案：D
解析：解法一：由题意得
解得4≤a＜8.
解法二：当a＝4时，f(x)＝画出图像可知图像在R上是上升的，所以a＝4符合题意，排除C；
当a＝2时，f(x)＝画出图像可知图像在R上不是上升的，所以a＝2不符合题意，排除A、B.故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝0.3的递减区间是________．
答案：[1，＋∞)
解析：令u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在[1，＋∞)上单调递增．
又y＝0.3u是减函数．
故y＝0.3的递减区间是[1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过点P，则定点P的坐标是________．
答案：(1,5)
解析：将y＝ax向右平移1个单位得y＝ax－1的图像，再将y＝ax－1向上平移4个单位，得y＝ax－1＋4的图像，而y＝ax恒过点(0,1)，故y＝ax－1＋4恒过点(1,5)．
9．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案：
解析：由数形结合，知当a>1时，图象只有一个公共点(如图1)；当0三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知指数函数f(x)过点(2,4)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝为奇函数，求b的值．
解：(1)∵f(x)为指数函数，
∴设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
∵f(x)过点(2,4)，
∴a2＝4，得a＝2，
∴f(x)＝2x.
(2)由(1)，知g(x)＝.
∵g(x)为奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即＝－，
即＝，
∴1－b＝b，解得b＝.
11．设函数f(x)＝kx2＋2x(k为常数)为奇函数，函数g(x)＝af(x)－1(a>0，且a≠1)．
(1)求k的值；
(2)求g(x)在[－1,2]上的最大值．
解：(1)由题意，知f(－x)＝－f(x)，
所以kx2－2x＝－kx2－2x，所以k＝0.
(2)由(1)，知f(x)＝2x，所以g(x)＝af(x)－1＝a2x－1＝(a2)x－1.
①当a2>1，即a>1时，g(x)＝(a2)x－1在[－1,2]上为增函数，
所以g(x)的最大值为g(2)＝a4－1.
②当a2<1，即0所以g(x)的最大值为g(－1)＝－1.
所以g(x)max＝.
12．设函数f(x)＝.
(1)求证：对一切x∈R，f(x)＋f(1－x)为定值；
(2)记g(n)＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，求g(n)的解析式．
解：(1)f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝.
(2)由(1)，知f(0)＋f(1)＝，f＋f＝，f＋f＝，…，f(1)＋f(0)＝.
将上述n＋1个式子相加，得2g(n)＝，
所以g(n)＝(n∈N*)．
4 对数(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的范围是( )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3答案：C
2．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：3a－b＝＝＝.
3．2log525＋3log264－8ln1等于( )
A．220 B．8
C．22 D．14
答案：C
4．已知f(10x)＝x，则f(3)等于( )
A．3 B．103
C．310 D．lg 3
答案：D
解析：由10x＝3，得x＝lg 3.又f(10x)＝x，∴f(3)＝lg 3.
5．已知a>0，a≠1，x>0，n∈N*，给出下列各式：
①(logax)n＝nlogax；②logax＝－loga；③＝logax；④logaxn＝nlogax.
其中恒成立的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：结合对数的运算性质及运算性质成立的条件，可知②④恒成立．
6．方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根x1，x2的积等于( )
A．lg 2＋lg 3 B．lg 2·lg 3
C. D．－6
答案：C
解析：因为lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3)，所以lg (x1x2)＝－lg 6＝lg 6－1＝lg ，所以x1x2＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知logx＝3，则x＝________.
答案：
解析：由logx＝3，得x＝3＝，所以x＝＝.
8．已知3a＝2，则log34－log36＝________(用a表示)．
答案：a－1
解析：因为3a＝2，所以a＝log32，所以log34－log36＝log322－log3(2×3)＝2log32－log32－log33＝a－1.
9．方程lg(4x＋2)＝lg2x＋lg3的解是________．
答案：0或1
解析：原式化为：lg(4x＋2)＝lg(2x×3)?4x＋2＝2x×3?2x＝1或2x＝2?x＝0或x＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．计算：(1)log81；
(2)log(2＋)(2－)．
解：解法一：(1)设x＝log81，则()x＝81，即3＝34，∴x＝16，即log81＝16.
(2)令x＝log(2＋)(2－)，则(2＋)x＝2－＝(2＋)－1，∴x＝－1，即log(2＋)(2－)＝－1.
解法二：(1)log81＝log ()16＝16.
(2)log(2＋)(2－)＝log(2＋)(2＋)－1＝－1.
11．若log4{2log2[1＋log2(1＋log2x)]}＝.求x的值．
解：由log4{2log2[1＋log2(1＋log2x)]}＝得
2log2[1＋log2(1＋log2x)]＝2.
∴log2[1＋log2(1＋log2x)]＝1，∴1＋log2(1＋log2x)＝2，
∴log2(1＋log2x)＝1，∴1＋log2x＝2，
∴log2x＝1，∴x＝2.
12．已知f(3x)＝3xlog23＋231.求f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(210)的值．
解：∵f(3x)＝3xlog23＋231＝3log23x＋231，
∴f(x)＝3log2x＋231，
∴原式＝10×231＋3(log22＋2log22＋…＋10log22)
＝2310＋3×55＝2475.
4 对数(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知loga3＝2，则a的值为( )
A．2 B．3
C．8 D．9
答案：B
解析：∵2＝30＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.
2．化简log34·log45·log58·log89的结果是( )
A．1 B.
C．2 D．3
答案：C
解析：log34·log45·log58·log89＝···＝＝2.
3.，，log，logabn，(a，b均为不等于1的正数且ab≠1，n∈N＋)，其中与logab相等的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
答案：B
4．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是( )
A. B．9
C．18 D．27
答案：B
解析：原式可化为··＝log442＝2，所以lg m＝2lg 3＝lg 9，所以m＝9.
5．若x＝60，则＋＋的值为( )
A．1 B.
C．2 D．－1
答案：A
解析：＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1.
6．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
答案：B
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若log32＝a，则log123可以用a表示为：________.
答案：
解析：log123＝＝＝.
8.＋log94＝________.
答案：1
解析：原式＝|log32－1|＋log32＝1.
9．计算(＋)＝________.
答案：
解析：原式＝(－)＝(－)＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列各式的值：
(1)log535＋2log5－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log52－log5－log514＝log5＝log5＝log525＝2.
(2)原式＝÷log64＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.
11．设lg a＋lg b＝2lg (a－2b)，求log4的值．
解：由题知a>0，b>0，a－2b>0，
∴lg a＋lg b＝2lg (a－2b)可化为ab＝(a－2b)2，
即a2－5ab＋4b2＝0，即2－5＋4＝0，
∴＝4或＝1(舍去)，
∴log4＝1.
12．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：∵2(lgx)2－lgx4＋1＝0，∴2(lgx)2－4lgx＋1＝0.
∵a，b是这个方程的根，∴
∴lg(ab)·(lgab＋logba)＝(lga＋lgb)·(＋)
＝2·
＝2·＝4·(22－2×)＝12.
5．1 对数函数的概念、图像及性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x
C．y＝loga(x2＋x) D．y＝ln x
答案：D
解析：由对数函数的概念，知D正确．
2．函数f(x)＝，则f(－1)的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
3．函数y＝ln (1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案：B
解析：根据题意，得，解得0≤x<1，即所求定义域为[0,1)．
4．若f(x)＝，则满足f(x)＝的x的值为( )
A．3 B.
C. D．9
答案：A
解析：因为当x≤1时，f(x)＝x≥，所以满足f(x)＝的x∈(1，＋∞)，即log81x＝，所以x＝＝3.
5．已知01，则下列不等式成立的是( )
A．logbB．logabC．logabD．logb答案：B
6．若函数，则y＝f(1－x)的图像是( )
A B C D
答案：C
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝f(x)的图像与函数y＝log3x(x>0)的图像关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
答案：3x
8．已知函数f(x)＝mlog2(x＋n)为对数函数，则3m＋2n＝________.
答案：3
解析：∵f(x)＝mlog2(x＋n)为对数函数，∴m＝1，n＝0，故3m＋2n＝3.
9．函数y＝log2(3＋1)的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
解析：由已知，得x－1≥0，∴x≥1，故定义域为[1，＋∞)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各函数中的两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)．
解：(1)对数函数y＝log2x，∵2>1，∴函数在(0，＋∞)上递增，∴log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，loga5.1loga5.9.
11．已知函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为A，函数g(x)＝x(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B?C，求a的取值范围．
解：(1)由题意，知x－1>0，得x>1，
所以A＝{x|x>1}．
又0≤x≤－1，即1≤x≤2.
所以B＝{y|1≤y≤2}．
所以A∩B＝{x|1(2)由(1)，知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B?C，则有a－1≥2，
所以a≥3，故a的取值范围为[3，＋∞)．
12．求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log (3＋2x－x2)．
解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R，
∵x2＋4≥4，log2(x2＋4)≥log24＝2，
∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设v＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4，∵v>0，
∴0又∵y＝logv在(0，＋∞)上为减函数，
∴logv≥log4＝－2，
∴函数y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
5．2 对数函数的性质及其应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝x，x>1}，则A∩B＝( )
A. B．{y|0C. D．?
答案：A
解析：∵A＝{y|y>0}，B＝，∴A∩B＝.
2．函数y＝1＋log3x的图象一定经过点( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,1)
答案：D
解析：∵y＝log3x的图象一定经过点(1,0)，∴y＝1＋log3x的图象一定经过点(1,1)．
3．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减数，则a的取值范围( )
A．(0,1) B．(0，)
C．[，) D．[，1)
答案：C
解析：?≤a<.
4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
答案：C
解析：当a>1时，y＝a－x＝x是减函数，y＝loga(－x)是减函数，且其图象位于y轴左侧；当05．设0A. B．[1，＋∞)
C. D．(－∞，1)
答案：A
解析：由于y＝logax(01，即ax>.又06．已知函数，若f(m)A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案：C
解析：当m>0时，－m<0，f(m)1；当m<0时，－m>0，f(m)二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝loga(x＋k)(a>0，且a≠0)的图象恒过点(0,0)，则函数y＝log (x－k)的图象恒过点________．
答案：(2,0)
解析：由题意，得logak＝0，∴k＝1，∴y＝log (x－k)＝log (x－1)的图象恒过点(2,0)．
8．函数y＝log (1－2x)的单调递增区间为________．
答案：
解析：函数y＝log (1－2x)的定义域为.令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间上单调递减，而y＝logu在(0，＋∞)上单调递减，故函数y＝log (1－2x)在上单调递增．
9．已知0答案：(3,4)
解析：∵00.又0三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各组数中三个值的大小．
(1)0.23.3， 2.40.2， log0.93.8；
(2)log1.10.9, log0.70.8， 1.10.9.
解：(1)0.23.3＜0.20＝1，且0.23.3＞0,2.40.2＞2.40＝1，log0.93.8＜log0.91＝0，
∴log0.93.8＜0.23.3＜2.40.2.
(2)log0.70.8＜log0.70.7＝1，而log0.70.8＞log0.71＝0，log1.10.9＜log1.11＝0,1.10.9＞1.10＝1，
∴log1.10.9＜log0.70.8＜1.10.9.
11．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解：由y＝logx在区间[2,4]上为减函数，知log4≤logx≤log2，即－2≤logx≤－1.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5＝2＋.
所以当t＝－2，即x＝4时，原函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，原函数取得最小值，最小值为.
12．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)若函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围；
(3)判断函数F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性．
解：(1)∵3≤x≤63，∴4≤x＋1≤64.
∵函数u＝x＋1在R上是增函数，函数y＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，
∴log24≤log2(x＋1)≤log264，
∴2≤f(x)≤6，
∴f(x)的最大值为6，最小值为2.
(2)∵f(x)－g(x)>0，∴f(x)>g(x)，
即log2(x＋1)>log2(1－x)，
则，解得0∴x的取值范围为(0,1)．
(3)要使函数F(x)＝f(x)＋g(x)有意义，需
，即－1∴函数F(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称．
又F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)＋g(x)＝F(x)，∴F(x)为偶函数．
1 函数与方程(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0)
B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2
D．0,2
答案：C
解析：令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
3．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是( )
A. B．－
C．2 D．－2
答案：A
解析：根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A.
4．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴，即，∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－，故选B.
5．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且mA．只有一个零点
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定有无零点
答案：D
解析：对于条件f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且m6．函数f(x)＝2x－2＋ex－1的零点所在区间为( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案：B
解析：由题意，知f(－1)＝－4＋<0，f(0)＝－2＋<0，f(1)＝1>0，f(2)＝2＋e>0，f(3)＝4＋e2>0，因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)的零点所在区间为(0,1)，故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数f(x)＝ln x＋3x－2的零点的个数是________．
答案：1
解析：由f(x)＝ln x＋3x－2＝0，得ln x＝2－3x，设g(x)＝ln x，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有1个交点，故函数f(x)＝ln x＋3x－2有1个零点．
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0,0.5) f(0.25)
解析：函数f(x)＝x3＋3x－1连续，且f(0)f(0.5)＜0，
则在(0,0.5)上有一个零点，第二次应计算f()＝f(0.25)
9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列连续整数________之间有根．
①－2与－1 ②－1与0 ③ 0与1 ④ 1与2
⑤2与3
答案：①②④
解析：令f(x)＝x3＋x2－2x－1，
x
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
－1
1
－1
－1
7
29
∵f(－2)·f(－1)＜0，f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0.
∴f(x)＝0在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有根．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x－1；
(2)f(x)＝x2－x－2；
(3)f(x)＝x3－x.
解：(1)由f(x)＝0，得x－1＝0，∴x＝1，
∴函数f(x)＝x－1的零点是x＝1.
(2)由f(x)＝x2－x－2＝0，得x1＝2，x2＝－1，
∴函数f(x)＝x2－x－2的零点是2，－1.
(3)由f(x)＝x3－x＝0?x(x＋1)(x－1)?x1＝0，x2＝－1，x3＝1.
∴函数f(x)＝x3－x的零点是0，－1,1.
11．已知函数f(x)＝2ax＋4在[－2,1]上存在零点，求实数a的取值范围．
解：f(－2)＝－4a＋4，f(1)＝2a＋4，∵f(x)在[－2,1]上存在零点，
∴f(－2)·f(1)≤0，∴(－4a＋4)·(2a＋4)≤0，即(a－1)(a＋2)≥0，∴a≤－2或a≥1.
12．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，函数f(x)的一个零点为，求满足f(logx)＜0的x的取值集合．
解：由题意，得f()＝0，∵f(logx)＜0，
∴由单调性知logx＜－，或logx＞，解得0＜x＜，或x＞2，
∴x的取值集合为(0，)∪(2，＋∞)．
1 函数与方程(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若关于x的方程x2＋x＋m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.
B．(－2,2)
C.∪
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案：A
解析：∵方程x2＋x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
∴其判别式Δ＝1－4m2>0，解得－2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案：B
解析：函数f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上单调递增．
由于x0是f(x)的一个零点，即f(x0)＝0，
∴f(x1)<0，f(x2)>0，故选B.
3．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
答案：C
解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
4．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此函数f(x)的零点在区间内，故选C.
5．函数y＝ln(x＋1)与y＝的图像交点的横坐标所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案：B
解析：函数y＝ln(x＋1)与y＝的图像交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln3－＞0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)．
6．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案：A
解析：依题意，注意到f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，
因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f (1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．
答案：1.56
解析：由表中f(1.562 5)＝0.003，f(1.556 2)＝－0.029，可知零点近似值为1.56.
8．已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案：(0,1)
解析：画出f(x)＝的图像，如图．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图像得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．
9．若函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是________．
答案：{－3,0,1}
解析：当m＝1时，f(x)＝4x－1＝0，得x＝，符合要求．
当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0.即m2＋3m＝0，
解得：m＝－3或m＝0，
∴m的取值集合是{－3,0,1}．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
若函数f(x)在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围．
解：∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是直线x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数f(x)在区间[－1,1]上存在零点，
则必有，即，
∴－20≤q≤12.
∴实数q的取值范围为[－20,12]．
11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围．
解：因为函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，且f(x)是奇函数，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(logx)≥0，得－≤logx≤0或logx≥，
解得1≤x≤2或0所以x的取值范围是∪[1,2]．
12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0有且仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0，即m＞2，或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．
∴这种情况不可能．
综上，可知m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
