模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．若命题p：任意x∈R,2x2＋1>0，则綈p是( )
A．任意x∈R,2x2＋1≤0
B．存在x0∈R,2x0＋1>0
C．存在x0∈R,2x0＋1<0
D．存在x0∈R,2x0＋1≤0
2．“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若双曲线－＝1
(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．e>
B．1
C．e>2
D．14．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
5．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
7．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3
B．2
C.
D.
9．命题p：关于x的不等式(x－2)≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4A．“綈p”为假命题
B．“綈q”为假命题
C．“p或q”为真命题
D．“p且q”为假命题
10.
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2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C28.TIF"
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如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
12．已知双曲线x2－＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．
13．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率＝__________________________________________________________________.
14．给出如下三种说法：
①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；
②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题；
③若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中正确说法的序号为________．
15．双曲线－＝1
(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假．
17．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．
18.(12分)若r(x)：sin
x＋cos
x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知任意x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知椭圆＋＝1
(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
20.(13分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．
21．(14分)
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2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C32.TIF"
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如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A—A1C—B的正切值大小．
模块综合检测(B)
1．D [綈p：存在x∈R,2x2＋1≤0.]
2．A [因为|a|>0 a>0或a<0，所以a>0 |a|>0，但|a|>0a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件．]
3．C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>a，∴>2.]
4．C [设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知
|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|
＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.]
5．D [与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.]
6．A [(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
＝(cos2α＋1＋sin2α)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，
∴a＋b与a－b的夹角为90°.]
7．C [
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以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则AA1＝2，依题设有B(1,1,0)，C(0,1,0)，
D1(0,0,2)，E(1,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)．
∴cos〈·〉＝＝.]
8．C [令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kl＝－，∴l的方程：x＋2y－3＝0，
由，得6y2－12y＋5＝0.
∴y1＋y2＝2，y1y2＝.
∴|AB|＝
＝.]
9．D
10．D [
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以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．
∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos〈，〉＝＝＝.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.]
11．0
12.
解析 焦点(±2,0)，渐近线：y＝±x，
焦点到渐近线的距离为＝.
13.
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±x＝0只有一个实根，∴－4＝0，∴＝4，∴＝5，∴e＝.
14．①②
解析 对①a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之不一定．故①正确；对②，令x＝5，y＝6，则x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p且q假时，p，q至少有一个为假命题，故③错误．
15．(1,3]
解析 设|PF2|＝m，则2a＝||PF1|－|PF2||＝m，
2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.
∴e＝＝≤3，又e>1，
∴离心率的取值范围为(1,3]．
16．解 “p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
“非p”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根不都是实数．
∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．
∴p真，q假．∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假．
17．解
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设椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0)，F1，F2是它的两个焦点，Q为椭圆上任意一点，QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，
过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H，
则P是F2H的中点，且|F2Q|＝|QH|，
因此|PO|＝|F1H|＝(|F1Q|＋|QH|)
＝(|F1Q|＋|F2Q|)＝a，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．
18．解 由于sin
x＋cos
x＝sin∈[－，]，任意x∈R，r(x)为假命题即sin
x＋cos
x>m恒不成立．∴m≥.①
又对任意x∈R，s(x)为真命题．
∴x2＋mx＋1>0对x∈R恒成立．
则Δ＝m2－4<0，即－2故任意x∈R，r(x)为假命题，且s(x)为真命题，应有≤m<2.
19．解 (1)易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
20．解 方法一
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∵PA＝AB＝AD＝1，且PA⊥面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝k＋(－)
＝－i＋k.
∴＝.
方法二 设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M作AD的平行线交CD于点E.可知NE∥PD.
∵＝＋＝＋
＝－＋(＋)＝－i＋(i＋k)
＝－i＋k，
∴＝.
21．(1)证明 ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱
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2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C33.TIF"
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，
∴AB⊥AA1.
在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，＝(0，，－)，
∴·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，
∴AB⊥A1C.
(2)解 如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)．
则·n＝0，·n＝0，又＝(－1，，0)，
∴ ∴l＝m，n＝m.
不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．
cos〈m，n〉＝
＝＝.
设二面角A—A1C—B的大小为θ，
∴cos
θ＝cos〈m，n〉＝，sin
θ＝.
从而tan
θ＝，即二面角A—A1C—B的正切值为.模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线的一部分
B．椭圆的一部分
C．圆的一部分
D．直线的一部分
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2
B.
C.
D.
3．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
4．已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60
cm，灯深40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25
cm
B．5.625
cm
C．20
cm
D．10
cm
5．已知椭圆x2＋＝a2(a>0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是( )
A．0B．0
C．0D.6．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
7．下列四个结论中正确的个数为( )
①命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1”；
②已知p：任意x∈R，sin
x≤1，q：若a③命题“存在x∈R，x2－x>0”的否定是“任意x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8.
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北师
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如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB，M是PA的中点，则二面角M—DC—A的大小为( )
A.
B.
C.
D.
9．已知命题P：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R；命题Q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1
B．a<2
C．1D．a≤1或a≥2
10.
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三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( )
A．－2
B．2
C．－2
D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，若点M满足＝，则M的坐标为__________．
12．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝________.
13．已知a、b为不等于0的实数，则>1是a>b的____________条件．
14．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1
(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
15．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0
(λ∈R)，则λ＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知p：x2－12x＋20<0，q：x2－2x＋1－a2>0
(a>0)．若綈q是綈p的充分条件，求a的取值范围．
17．(12分)
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如图，M是抛物线y2＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值．
18.(12分)已知两点M(－1,0)、N(1,0)，动点P(x，y)满足||·||－·＝0，
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F(1,0)，λ∈R，＝λ，求证：＋＝1.
19．(12分)
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如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py
(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
20.(13分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
21．(14分)
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2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C39A.TIF"
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如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求二面角A—EB—C的大小．
模块综合检测(C)
1．B [x＝，∴x2＋4y2＝1
(x≥0)．
即x2＋＝1
(x≥0)．]
2．C [由已知，＝1，∴a＝b，∴c2＝2a2，
∴e＝＝＝.]
3．C [设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
又＝(－2，－6，－2)，＝，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
得x＝，y＝－1，z＝.∴C.]
4．B [设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)，
则抛物线过点(40,30)，∴900＝80p，∴p＝，
∴光源到反光镜顶点的距离d＝＝＝5.625
cm.]
5．B [分两种情况：(1)A点在椭圆外，4＋>a2，解得0.]
6．D [设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.]
7．B [只有③中结论正确．]
8．C [二面角M—DC—A的平面角为∠MDA.]
9．C [由函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R知：内层函数u(x)＝x2＋2x＋a恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数 Δ＝4－4a≥0 a≤1；即P a≤1；同样由y＝－(5－2a)x是减函数 5－2a>1，即Q a<2；由P或Q为真，P且Q为假知，P与Q中必有一真一假．故答案为C.]
10．A
11．(2,2,2)
12．5
解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到准线的距离也为6，所以点P的横坐标x＝5.
13．既不充分又不必要
14．3
解析 由已知，得，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋36＝4a2.
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴4a2－4c2＝36，∴b＝3.
15．－
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解析 如图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，∴＝，
即－＝0，∴λ＝－.
16．解 p：{x|21＋a}．
由綈q 綈p，得p q，于是1＋a<2，
∴017．解 设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
则直线MF的斜率为－k，直线ME的方程为
y－y0＝k(x－y)．
由
得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.
于是y0·yE＝，
所以yE＝.同理可得yF＝.
∴kEF＝＝＝＝－，
即直线EF的斜率为定值．
18．解 (1)||＝2；则＝(x＋1，y)，
＝(x－1，y)．
由||·||－·＝0，
则2－2(x＋1)＝0，
化简整理得y2＝4x.
(2)由＝λ·，得F、P1、P2三点共线，
设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，斜率存在时，直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)
代入y2＝4x得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
则x1x2＝1，x1＋x2＝.
∴＋＝＋
＝＝1.
当P1P2垂直x轴时，结论照样成立．
19．解 (1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，
所以 解得
所以l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，y′＝－x，
所以－x0＝2 x0＝－2，y0＝－x＝－2，
所以P(－2，－2)．
此时点P到直线l的距离
d＝＝＝，
由 得x2＋4x－4＝0，
|AB|＝·
＝·＝4.
∴△ABP面积的最大值为＝8.
20．解 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16<0，
∴－2函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a>1，即a<1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则∴1≤a<2.
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤－2}．
21．(1)证明 ∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC，
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∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设EA＝AC＝BC＝2，则
A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，
又M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)，＝(0,1,1)，
＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，
＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC.
(2)解 设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥且n⊥，
∴n·＝0且n·＝0.
∴ 即
取y＝－1，则x＝1，则n＝(1，－1,0)．
又∵为平面EBC的一个法向量，且＝(0,1,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－，
设二面角A—EB—C的平面角为θ，
则cos
θ＝|cos〈n，〉|＝，
∴二面角A—EB—C为60°.模块综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．命题“若A B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．0
B．2
C．3
D．4
2．已知命题p：若x2＋y2＝0
(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
4．已知椭圆＋＝1
(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．圆
C．双曲线的一支
D．线段
5．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10
B．8
C．6
D．4
7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8．若A，B两点的坐标分别是A(3cos
α，3sin
α，1)，B(2cos
θ，2sin
θ，1)，则||的取值范围是( )
A．[0,5]
B．[1,5]
C．(1,5)
D．[1,25]
9．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．x±y＝0
B.x±y＝0
C．x±y＝0
D.x±y＝0
10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,0，z)与向量b＝(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z＝________.
12．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是_______________________________________________________________．
13．已知双曲线－＝1
(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为____________________
____________________________________________________．
14．若AB是过椭圆＋＝1
(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
15．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，
且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．
17．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
18.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
19．(12分)
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如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
20.(13分)已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
21．(14分)
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如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
模块综合检测(A)
1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B [命题p为真，命题q为假，故p或q真，綈q真．]
3．D [双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]
4．A [∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]
5．D [
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如图所示，建立坐标系，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，
即sin
α＝.]
6．B [由抛物线的定义，
得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，
设b＝k，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.]
8．B [||＝
＝
＝.
因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤13－12cos(α－θ)≤25，所以||∈[1,5]．]
9．D
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[如图所示，∵O是F1F2的中点，∴＋＝2，
∴(＋)2＝(2)2.
即||2＋||2＋
2||·||·cos
60°＝4||2.
又∵|PO|＝a，
∴||2＋||2＋||||＝28a2.①
又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.
即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.②
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos
60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]
10．D [
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建立如图所示坐标系．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，
C(0，a，c)，B1(b，a,0)，
D(0,0，c)，N，M.
∵∠CMN＝90°，∴⊥，
∴·＝·
＝－b2＋c2＝0，∴c＝b.
∴·＝(－b,0，－b)·
＝－b2＋b2＝0，
∴AD1⊥DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90°.]
11．0
解析 设两个向量的夹角为θ，
则cos
θ＝
＝＝，
解得z＝0.
12．[3,8)
解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
13.－＝1
解析 由双曲线－＝1
(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
14．－
解析 设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
15.
解析
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建系如图，
则M，N，
A(1,0,0)，C(0,1,0)
∴＝，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
16．解 由，得，
即2设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2∵綈p 綈q，∴q p，∴B A.
即2设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
17．解 如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
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则S△F1PF2＝mnsin
＝mn.
由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝20，
即m＋n＝20.①
又由余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝|F1F2|2，
即m2＋n2－mn＝122.②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
18．解 (1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
19.
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证明 (1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG 平面EDB且PA 平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
20．解 设P(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，
＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝，
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，
化简整理，得y2＝－8x.
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
21．解 设正方体的棱长为1，如图所示，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
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(1)依题意，得B(1,0,0)，
E(0,1，)，A(0,0,0)，
D(0,1,0)，
所以＝(－1,1，)，
＝(0,1,0)．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则
sin
θ＝＝＝.
故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，
＝(－1,1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由n·＝0，n·＝0，
得
所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．
而B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ·n＝0 (t－1,1,0)·(2,1,2)＝0 2(t－1)＋1
＝0 t＝ F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.