第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
课时目标
1．了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．命题的定义
可以判断________、用________或________表述的语句叫作命题，其中______________的命题叫作真命题，______________的命题叫作假命题．
2．命题的结构
一般地，一个命题由________和________两部分组成．在数学中，通常把命题表示为“____________”的形式，其中______是条件，______是结论．
3．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
4．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．0
6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．下列命题：①四条边相等的四边形是正方形；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．(填序号)
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是__________；逆命题是________________；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
能力提升
12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
13．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．由命题的定义可知，要判断一个语句是否为命题要抓住能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．
2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．
3．一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p则q”的命题，p是条件，q是结论．在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成“若p则q”的形式，然后再进行判断．
4．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假；四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个，2个或4个．
课时作业答案解析
第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
知识梳理
1．真假 文字 符号 判断为真 判断为假
2．条件 结论 若p则q p q
3．(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
4．(1)相同 (2)没有
作业设计
1．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]
2．D [A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.]
3．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]
4．C
5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．③
解析 ③是真命题，①四条边相等的四边形也可以是菱形，②平行四边形不是梯形．
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．
11．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
12．B
13．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)
又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.2.3 充要条件
课时目标
1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．如果既有p q，又有q p，就记作__________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的____________________条件．
2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p和命题q互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用符号“ ”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；(2)a2c≠0________c≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号)
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
能力提升
12．已知P＝{x|a－413．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．判断条件p和结论q之间的关系，可以先尝试确定p、q间的推出关系．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
2．3 充要条件
知识梳理
1．pq 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x>0”“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．B [因为N
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\Application
Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
\
MERGEFORMAT
M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
3．A [若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，
则Δ＝1－4m≥0，因此m≤.
故m<是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．]
4．A [把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l⊥αl⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B [当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)?
8．(2，＋∞)
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\Application
Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
\
MERGEFORMAT
(－a，－1)，∴－2>－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
课时目标 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．全称量词与全称命题
短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列命题不是“存在x0∈R，使x>3”成立的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x>3
B．有些x0∈R，使x>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x0∈R，使x>3
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使>2
5．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
6．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
8．命题“存在x0∈R，使得x＋x0＋2≤0”是__________命题(用真或假填空)．
9．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．(填序号)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1x1x2；
(3)存在T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin
x|；
(4)存在x0∈R，使x＋1<0.
11.给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
能力提升
12．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
13．已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3 全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
知识梳理
1．整体 全部 全称量词
2．个别 一部分 存在量词
作业设计
1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D [“存在”是存在量词．]
3．C [“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，故选C.]
4．B
5．D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
6．C [①③④为特称命题，②为全称命题．]
7．(－∞，3]
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
8．假
9．①②③
解析 命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N+，都有an10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵ax>0
(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan
0＝tan
π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin
x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x0∈R，x＋1>0，∴命题(4)是假命题．
11．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|12．C [∵x0满足方程2ax＋b＝0.
∴2ax0＋b＝0，x0＝－.
f(x)－f(x0)＝ax2＋bx＋c－(ax＋bx0＋c)
＝ax2＋bx－(ax＋bx0)，
其对应方程ax2＋bx－(ax＋bx0)＝0的根的判别式
Δ＝b2＋4a(ax＋bx0)
＝b2＋4a2·＋4ab(－)＝0.
∵a>0，∴f(x)≥f(x0)对任意x∈R恒成立，假命题为C.]
13．解 根据f(x)>0得lg>lg
1，
即x＋－2>1在x
∈[2，＋∞)上恒成立，
分离系数，得a>－x2＋3x在x∈[2，＋∞)上恒成立，
设f(x)＝－x2＋3x，则f(x)＝－2＋，
当x＝2时，f(x)max＝2，∴a>2；
故a的取值范围是(2，＋∞)．§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
课时目标 1.理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．“p且q”的真假
(1)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p且q”是真命题；
(2)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________，新命题“p且q”就是假命题．
2．“p或q”的真假
(1)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________时，新命题“p或q”就是真命题；
(2)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p或q”是假命题．
3．逻辑联结词“非”
(1)一般地，对命题p加以________，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．
(2)“綈p”的真假
一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是__________，一个是__________．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )
A．“p或q”为真，“綈q”为假
B．“p且q”为假，“綈p”为真
C．“p且q”为假，“綈p”为假
D．“綈q”为假，“p或q”为真
3．已知全集S＝R，A S，B S，若命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )
A. A
B.∈ SB
C. A∩B
D.∈( SA)∩( SB)
4．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( )
A．p或q为真，p且q为真，綈p为假
B．p或q为真，p且q为假，綈p为真
C．p或q为假，p且q为假，綈p为假
D．p或q为真，p且q为假，綈p为假
5．设p、q是两个命题，则新命题“p或q为真，p且q为假”的充要条件是( )
A．p、q中至少有一个为真
B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
6．下列命题中既是p且q形式的命题，又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”)
8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
9．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“綈p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根．
11.已知p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负数根，q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
能力提升
12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y＝
的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p假q真
13．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．
设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p且q x∈A且x∈B x∈A∩B；p或q x∈A或x∈B x∈A∪B；綈p x A x∈ UA.
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断
当p、q都为真，p且q才为真；当p、q有一个为真，p或q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．
3．含有逻辑联结词的命题否定
“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)， U(A∩B)＝( UA)∪( UB)”．
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
知识梳理
1．(1)真命题 (2)假命题
2．(1)真命题 (2)假命题
3．(1)否定
p 非p (2)真命题 假命题
作业设计
1．C [①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]
2．C
3．D [∵p：∈(A∪B)，∴綈p： (A∪B)，
即 A且 B，∴∈ SA且∈ SB，
故∈( SA)∩( SB)．]
4．D [p为真，q为假，结合真值表可知，p或q为真，p且q为假綈p为假．]
5．C [因为p或q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．
又因为p且q为假，所以p、q必有一假，所以p、q中有且只有一个为假．]
6．D [A中的命题是条件复合的简单命题，B中的命题是p或q型，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p且q型且是真命题．]
7．或 真
8．[1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
9．(4，＋∞)
解析 由题意知：p为假命题，q为真命题．
当a>1时，由q为真命题得a>2；由p为假命题且画图可知：a>4.
当04.
10．解 (1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假q真，则“p或q”真，所以该命题是真命题．
11．解 p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负根
??m>.
q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数0(1)若p真，q假，则m≥1.
(2)若p假，q真，则0综上，得m≥1或012．D [当a＝－2，b＝2时，从|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q显然为真．]
13．解 由x2－4ax＋3a2<0，得(x－a)(x－3a)<0.
又a>0.∴a则p：a0.
由得2因此q：2(1)当a＝1时，p：1若p且q为真，则p，q均为真．
∴1所以实数x的取值范围是2(2)由p是q的充分不必要条件，知q是p的充分不必要条件．
∴qp，且pq，∴03.
故实数a的取值范围是12.1 充分条件
2.2 必要条件
课时目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q.通常记作：p q，读作“p推出q”．此时我们称p是q的______________．
2．如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的__________．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．“A＝B”是“sin
A＝sin
B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“k≠0”是“方程y＝kx＋b表示直线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0
B．a－b>0
C.>1
D.>－1
4．命题p：α是第二象限角；命题q：sin
α·tan
α<0，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．“lg
x>lg
y”是“>”的__________条件．
7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．
8．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．
三、解答题
9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．
命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？
10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
能力提升
11．“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．
§2 充分条件与必要条件
2．1 充分条件
2．2 必要条件
知识梳理
1．充分条件 2.必要条件
作业设计
1．A [“A＝B”“sin
A＝sin
B”，反过来不对．]
2．B [k＝0时，方程y＝kx＋b也表示直线．]
3．A [a<0，b<0?a＋b<0，反之不对．]
4．A [p：α是第二象限角语句q：sin
α·tan
α<0，反之不能成立．]
5．A
6．充分不必要
解析 由lg
x>lg
y，得x>y>0，
由>，得x>y≥0.
7．充分不必要
解析 ab≠0a≠0，所以是充分条件；
a≠0，b＝0ab＝0，不必要条件．
8．必要不充分
解析 命题q：α∥β命题p：a与b无公共点，反之不对．
9．解 由f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数，
得f(－x)＝ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1恒成立．
∴bx＝0对任意实数x恒成立，所以b＝0，
同理由b＝0也可以得出f(x)是偶函数．
故“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p既是q的充分条件，又是必要条件．
10．解 由(x－a)2<1，得a－1由x2－5x－24<0，得－3因为N是M的必要条件，所以，MN.
∴，∴－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2,7]．
11．A [若a>0，则|a|>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件；若|a|>0，则a>0或a<0，所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件．]
12．解 由x2－4ax＋3a2<0，a<0，得3a由x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，
可得x<－4或x≥－2.
因为q是p的必要不充分条件，
所以或.
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.3.3 全称命题与特称命题的否定
课时目标 理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出__________就可以了．
2．全称命题的否定是______________．
3．要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是__________．
4．特称命题的否定是____________．
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( )
A．某些平行四边形不是矩形
B．任何平行四边形是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是( )
A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋1
998”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋1
998
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋1
998
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋1
998
D．以上都不对
5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
6．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为( )
A．任意四边形都没有外接圆
B．任意四边形不都有外接圆
C．有的四边形没有外接圆
D．有的四边形有外接圆
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________________．
8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：__________________________________________.
9．命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)存在x0∈Q，x＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
11．已知命题“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．
能力提升
12．命题r：存在x∈R，使>0的否定为( )
A．对任意x∈R，<0
B．对任意x∈R，x2＋4x－5≤0
C．对任意x∈R，≤0
D．对任意x∈R，>0
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．熟练掌握了以下常用词语的否定，对否定含量词的命题很有利．
关键词
否定词
关键词
否定词
等于
不等于
大于
不大于
能
不能
小于
不小于
至少有一个
一个都没有
至多有一个
至少有两个
都是
不都是
是
不是
没有
至少有一个
属于
不属于
3．3 全称命题与特称命题的否定
知识梳理
1．一个反例 2.特称命题 3.正确的 4.全称命题
作业设计
1．A [在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.]
2．C [特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.]
3．C [要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．]
4．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]
5．D [命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．]
6．C
7．存在一个向量与零向量不共线
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
9．存在x0∈R，使f(x0)10．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“存在x0∈Q，x＝5”是特称命题，其否定为“任意x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
11．解 因为命题“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”的否定形式为：
对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；
综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是[－3，0]．
12．B [命题可等价转化为：存在x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：任意x∈R，x2＋4x－5≤0.]