第三章 圆锥曲线与方程(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )
A.
B.
C．2
D．4
2．设椭圆＋＝1
(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
4．若双曲线－＝1
(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.
B.
C.
D.
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2)
B．(，)
C．(2,5)
D．(2，)
7．若△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为( )
A.
B.
C．1＋
D．1＋
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于( )
A．9
B．6
C．4
D．3
9．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－2)
10．已知椭圆x2sin
α－y2cos
α＝1
(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.
13．设椭圆＋＝1
(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
14．双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为，则双曲线的实轴长是________．
15．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1
③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中所有正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
17．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
18.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．
19．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1
(a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
20.(13分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
21．(14分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值．
第三章 圆锥曲线与方程(A)
1．A [由题意可得2＝2×2，解得m＝.]
2．B [∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.]
3．B [抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6.①
由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，知＝，②
且c2＝a2＋b2.③
由①②③解得a2＝9，b2＝27.
故双曲线的方程为－＝1，故选B.]
4．A [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
所以双曲线－＝1的焦点在x轴上，
即m>0，n>0，故a＝，b＝，所以c＝.
所以e＝＝2.①
又＝1，②
由①②得 所以mn＝.]
5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，
且双曲线的标准方程为－＝1.
根据题意2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c.
又a2＋b2＝c2，且a＝2，
∴解上述两个方程，得b2＝4.
∴符合题意的双曲线方程为－＝1.]
6．B [∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝
.
∴e＝＝
＝
.
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴7．B [由条件知：|AB|＝|BC|＝2c，|AC|＝2c，
∴2c－2c＝2a，∴e＝＝＝.]
8．B [设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，
∵＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由抛物线定义知||＋||＋||
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.]
9．B [根据抛物线的定义可得．]
10．D [椭圆方程化为＋＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.
又∵0≤α<2π，∴<α<.]
11.
解析 由已知得∠AF1F2＝30°，故cos
30°＝，从而e＝.
12．2
解析 ∵F，∴设AB：y＝x－与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0，∴xA＋xB＝3p.
由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.
13.
解析 由题意，得＝3 ＋c＝3c－b b＝c，
因此e＝＝
＝
＝
＝.
14．3
解析 因为直线4x＋5y＝0过原点，所以可设弦的一端为(x1，y1)，则有
＝.
可得x＝，取x1＝，y1＝－2.
∴a2＝－4＝，|a|＝，∴2|a|＝3.
15．③④
解析 ①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝时，方程表示圆；验证可得③④正确．
16．解 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴ 把，
代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
17．解 设双曲线方程为－＝1.
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
18．解 将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：
k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
由，得k>－1且k≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：x1＋x2＝＝4 k2＝k＋2 k2－k－2＝0.
解得：k＝2或k＝－1(舍去)．
由弦长公式得：
|AB|＝·＝×＝2.
19．解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.
20．解 焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥Ox，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.
由消去x，
整理得ky2－2py－kp2＝0.
由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝
＝
·
＝2p(1＋)＝p.
解得k＝±2.
∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
21．解 (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.第一章 常用逻辑用语(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0
B．a＋b＝0
C．a＝b
D．a2＋b2＝0
2．若“a≥b c>d”和“aA．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
3．在下列结论中，正确的是( )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则( )
A．p真q真
B．p假q真
C．p真q假
D．p假q假
6．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是( )
A．－B．－C．－3D．－17．“x＝2kπ＋
(k∈Z)”是“tan
x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
9．下列命题中为全称命题的是( )
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin
2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．下列命题中________为真命题．(填序号)
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\Application
Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
\
MERGEFORMAT
B”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_______________________，这是__________命题．
13．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
14．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的____________条件．
15．给出下列四个命题：
①任意x∈R，x2＋2>0；
②任意x∈N，x4≥1；
③存在x∈Z，x3<1；
④存在x∈Q，x2＝3.
其中正确命题的序号为____________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
17．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．
(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．
18.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．
20.(13分)下列三个不等式：
①>1；
②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；
③a>x2＋.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
21．(14分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
第一章 常用逻辑用语(B)
1．D [若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，
f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，
∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]
2．B [由a≥b c>d可得c≤d a3．B
4．B [∵a＝1且b＝2 a＋b＝3，
∴a＋b≠3 a≠1或b≠2.]
5．B [由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]
6．D
7．A [tan＝tan
＝1，所以充分；
但反之不成立，如tan
＝1.]
8．A [举例：a＝1.2，b＝0.3，
则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]
9．C
10．D [∵“负数的平方是正数”即为任意x<0，
则x2>0，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3>x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝sin
2ax，当最小正周期T＝π时，有＝π，∴|a|＝1a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝sin
2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]
11．②④
解析 ①A∩B＝A A B但不能得出A
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\Application
Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
\
MERGEFORMAT
B，
∴①不正确；
②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假
13．(－∞，－1)
解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.
14．充分不必要
15．①③
16．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
17．解 (1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．
∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．
(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．
18．证明 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．解 |f(x)|≤1 －1≤f(x)≤1 －1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①
当x＝0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需
－2≤a≤0，
又a≠0，故－2≤a<0.
综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．
20．解 对于①，>1，即－x2＋ax－>0，故x2－ax＋<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．
则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．
所以，不等式a>x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是{a|a<－2或a>2}．
21．解 ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
当a>0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1>0有解；
当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.
又命题q为假命题，∴a≤－1.
综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.第二章 空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若a，b，c为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2
B．3
C．4
D．5
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于( )
A．－
B.
C.
D．－
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不正确
8．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( )
A．19
B．－
C.
D.
9.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-72.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝______.
12．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________________．
13．如图所示，
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-76.TIF"
\
MERGEFORMAT
已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
15.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-77.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ
，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.
17．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，
－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
18.(12分)
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\1-315B.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值．
19．(12分)
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-79.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
20.(13分)
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-80.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
21．(14分)
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-81.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．
第二章 空间向量与立体几何(A)
1．C [只有命题④正确．]
2．D
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-71.TIF"
\
MERGEFORMAT
[如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]
3．D [∵a∥b，∴存在实数λ，使，∴.]
4．C [设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．C [∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.]
6．B [
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\+3.TIF"
\
MERGEFORMAT
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)，
B.
∴＝，
＝，∴·＝－－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
7．A [∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]
8．C [＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝.
故当x＝时，||取最小值．]
9．C [如图所示，
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-73.TIF"
\
MERGEFORMAT
作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值为.]
10．B
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\1-306.TIF"
\
MERGEFORMAT
[以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知＝(1,1,1)，＝，
故cos〈，〉＝，
从而sin〈，〉＝.]
11.
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
12．不等边的锐角三角形
解析 ＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3，1)，·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，
||＝，||＝.
13.
解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·＝(＋)·(＋)＝0＋·＋·＋0＝4×1×cos
120°＋1×4×cos
120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cos
θ＝＝.
14.或
解析 设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.
15.
解析 因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos
θ.
所以||＝，
即AD的长为.
16．证明 以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．
设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，
＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，
由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，
·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：
|AB1|2＝a2＋b2＋d2，
|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，
∴AB1＝CA1.
17．证明 因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，
所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
18．(1)证明
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\1-315BA.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图所示，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知得D(0,0,0)，
A(2,0,0)，B(2,2,0)，
C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，
F(0,2,1)．
易知平面ACD1的一个法向量是＝(2,2,2)．
又∵＝(－1,2，－1)，由·＝－2＋4－2＝0，∴⊥.
又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.
(2)解 ∵＝(0,2,0)，
cos〈，〉＝＝＝.
19．证明 设＝a，＝b，＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos
θ－|c||b|cos
θ＝0，
所以C1C⊥BD.
20．解 因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
21．(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\-82.TIF"
\
MERGEFORMAT
易得＝，＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉
＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明 易知＝(1,2,1)，
＝，＝，
于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，
由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，
从而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1—ED—F的正弦值为.第二章 空间向量与立体几何(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．空间四个点O、A、B、C，，，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )
A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线
C．O、A、B、C四点中任意三点不共线
D．O、A、B、C四点不共面
2．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
4．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是( )
A．0
B．2
C．4
D．6
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
12．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.
13．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
14．若向量a＝(2,3，λ)，b＝的夹角为60°，则λ＝________.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C16.TIF"
\
MERGEFORMAT
15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C18.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
17.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\P1.TIF"
\
MERGEFORMAT
(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝a，点E是SC上的点，且SE＝λa
(0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；
(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．
18.(12分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
19．(12分)
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C21.TIF"
\
MERGEFORMAT
如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．
20.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C23.TIF"
\
MERGEFORMAT
(13分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PCD的距离．
21．(14分)如图，
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\31.TIF"
\
MERGEFORMAT
四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
第二章 空间向量与立体几何(B)
1．B
2．C [＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.]
3．C [＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
由空间向量的基本定理知，x＝y＝.]
4．C
5．C [∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；
∵·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误．]
6．C
7．B [△BCD中，·＝(－)·(－)＝2>0.∴∠B为锐角，同理，∠C，∠D均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．]
8．C
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C14b.TIF"
\
MERGEFORMAT
[建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
∴＝(－1,0,1)，
＝(0,1,1)
∴cos〈，〉
＝＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.]
9．C [∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则＝(1－x，2－x,3－2x)，＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，∴x＝时，·最小，这时Q.]
10．C [
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C15.TIF"
\
MERGEFORMAT
以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．
可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD.
又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.]
11．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
12．2∶3∶(－4)
解析 ＝，
＝，
由a·＝0，a·＝0，得，
x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
13．60°或120°
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.
14.
解析 ∵a＝(2,3，λ)，b＝，
∴a·b＝λ＋1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∴λ＝.
15.
解析
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C17.TIF"
\
MERGEFORMAT
建立如图所示坐标系，则＝(－1,1，－2)，
＝(0,2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.
即异面直线AD和BC1所成角的大小为.
16．解 ∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
17．(1)证明 连结BD，AC，设BD与AC交于O.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\P2.TIF"
\
MERGEFORMAT
由底面是菱形，得BD⊥AC.
∵SB＝SD，O为BD中点，
∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.
又AE 面SAC，∴BD⊥AE.
(2)解 由(1)知BD⊥SO，
同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\P3.TIF"
\
MERGEFORMAT
取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SO＝x，
则OA＝，OB＝.
∵OA⊥OB，AB＝2a，
∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.
∴OA＝a，则A(a,0,0)，C(－a,0,0)，
S(0,0，a)．
∵SC⊥平面EBD，∴是平面EBD的法向量．
∴＝(－a,0，－a)，＝(a,0，－a)．
设SA与平面BED所成角为α，
则sin
α＝＝＝，
即SA与平面BED所成的角为.
18．解 a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)cos
θ＝＝＝－，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
19．解
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C22.TIF"
\
MERGEFORMAT
以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中点M.
故＝，＝，
＝(－1,0，－1)，
所以·＝0，·＝0.
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈，〉为二面角A—SC—B的平面角．
cos〈，〉＝＝.
即二面角A—SC—B的余弦值为.
20．(1)证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C24.TIF"
\
MERGEFORMAT
题意可知A(0,0,0)，
B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，
P(0,0,2)．
∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则
所以平面PCD的一个法向量为.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量为＝(0,2,0)．
∵n·＝0，∴n⊥.
∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)解 由(1)知平面PCD的一个单位法向量为＝.
∴＝＝，
∴点B到平面PCD的距离为.
21．(1)证明 连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．
设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D，C，
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\43.TIF"
\
MERGEFORMAT
B，
＝，
＝，
∴·＝0.
∴OC⊥SD，即AC⊥SD.
(2)解 由题意知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，
设所求二面角为θ，则cos
θ＝＝，
故所求二面角P—AC—D的大小为30°.
(3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝，
＝，
设＝t，
则＝＋＝＋t
＝.
由·＝0，得t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.第三章 圆锥曲线与方程(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
4．设椭圆＋＝1
(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
5．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m
B．4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
6．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.
B.
C．2
D.
7．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为( )
A．－2
B．0
C．－2或0
D．－2或2
8．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为( )
A．5
B．6
C．10
D．5
9．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1
B．－1
C．2
D．1±
10．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于( )
A．3
B．6
C．1
D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知椭圆＋＝1
(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________________________________________________________________________．
12．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．
13．已知抛物线C：y2＝2px
(p>0)，过焦点F且斜率为k
(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k＝________.
14．已知抛物线y2＝2px
(p>0)，过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则·＝
______.
15．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
17．(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
18.(12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．
19．(12分)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．
20.(13分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．
第三章 圆锥曲线与方程(B)
1．A [2a＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，
b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.]
2．D
3．D [P在以MN为直径的圆上．]
4．B [2a＝3＋1＝4.∴a＝2，
又∵c＝＝1，
∴离心率e＝＝.]
5．B [∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.]
6．A
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C80.TIF"
\
MERGEFORMAT
[如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为＝.]
7．B [由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]
8．A
9．C [由消去y得，
k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4
＝64(1＋k)>0，
解得k>－1，由x1＋x2＝＝4，
解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]
10．B [因为·＝0，所以⊥，
则||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝36，
故|＋|2＝||2＋2·＋||2＝36，所以|＋|＝6.故选B.]
11．(±，0)
12.或－1
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，
设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，
所以，离心率e＝＝＝＝－1.
13.
解析 设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，由＝3，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝.
即k＝.
14．－p2
15．2
解析 设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
16．解 由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，
得，解得，
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
17．解 设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由椭圆的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F(，0)．
直线l的方程为y＝x－.①
将①代入＋y2＝1，化简整理得
5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
18．解 设动点M的坐标为(x，y)．
设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，
∴tan
α＝tan
2β，则tan
α＝.①
(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan
β＝，tan
α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3
(x>0，y>0)；
(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，
tan
β＝，tan
α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3
(x>0，y<0)；
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\L1A.TIF"
\
MERGEFORMAT
(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有α＝β＝0.
综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0
(－119．(1)解 ∵A(0，－2)，B(0,4)，
∴＝(－x，－2－y)，＝(－x,4－y)．
则·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)
＝x2＋y2－2y－8.
∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，∴x2＝2y.
(2)证明 将y＝x＋2代入x2＝2y，
得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0，
设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4.
而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，
∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4，
∴kOC·kOD＝·＝＝－1，
∴OC⊥OD.
20．解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA到l的距离d＝
可得＝，解得t＝±1.
因为－1 [－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
21．解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1
(a>b>0)．
抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，
则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.
由e＝＝＝.
得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，
得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，
＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．
∵＝m，＝n，
∴m＝，n＝，
∴m＋n＝，
又2x1x2－2(x1＋x2)＝
＝－，
4－2(x1＋x2)＋x1x2＝4－＋
＝，
∴m＋n＝10.第一章 常用逻辑用语(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列语句中是命题的是( )
A．梯形是四边形
B．作直线AB
C．x是整数
D．今天会下雪吗？
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
4．已知命题p：任意x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：存在x∈R，sin
x－cos
x＝.则下列判断正确的是( )
A．p是真命题
B．q是假命题
C．綈p是假命题
D．綈q是假命题
5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
6．在△ABC中，“A>30°”是“sin
A>”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是xA．“p或q”为真命题
B．“p且q”为假命题
C．“綈p且q”为真命题
D．“綈p或綈q”为真命题
9．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是( )
A．(－2,2)
B．(－2,2]
C．(－∞，2]
D．(－∞，－2)
10．已知命题p：存在x∈R，使tan
x＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________________________________________________________________________．
12．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”
为_______________________________________．
14．若A：a∈R，|a|<1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的________________条件．
15．下列四个命题中
①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；
③函数y＝的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正方形是矩形又是菱形；
(2)同弧所对的圆周角不相等；
(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．
17．(12分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
18.(12分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0
(m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
20.(13分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
21．(14分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
单元检测卷答案解析
第一章 常用逻辑用语(A)
1．A
2．A [因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]
3．C
4．D [2x2＋2x＋<0 (2x＋1)2<0，p为假；
sin
x－cos
x＝sin≤，故q为真．
∴綈q为假，故选D.]
5．B [①中有“且”；②中没有；③中有“或”．]
6．B [当A＝170°时，sin
170°＝sin
10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin
A> 30°30°，即“回得来”．]
7．A [綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：5x－6≤x2，
即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.
∴綈p 綈q，但綈q綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]
8．A [命题p：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时，由|x|<1，得－19．B [注意二次项系数为零也可以．]
10．D [∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]
11．圆的切线到圆心的距离等于半径
12．[－3,0]
解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得－3≤a<0；
∴－3≤a≤0.
13．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形
解析 本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
14．充分不必要
15．①②③
解析 ①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，即y＝cos
2kx，T＝＝π，k＝±1.
②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝；
③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，ymin＝＋＝.
16．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．
(3)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
17．解 方法一 (直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0.
即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
方法二 (先判断原命题的真假)
∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥>1，∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．
18．解 綈p：>2，解得x<－2，或x>10，
A＝{x|x<－2，或x>10}．
綈q：x2－2x＋1－m2>0，
解得x<1－m，或x>1＋m，
B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．
∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴B
INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
and
Settings\\常贝
2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\Application
Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
\
MERGEFORMAT
A，
即 m>9.
经验证，当m＝9时，也符合题意．
∴m≥9.
19．解 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根 ，
即k<－2.
所以其充要条件为k<－2.
20．解 对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立 a＝0或 0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根 1－4a≥0 a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>，
∴综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
21．解 假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，
x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则，
即得－∴所求实数a的范围是a≤－或a≥－1.