章末总结
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知识点一 空间向量的计算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
例1 沿着正四面体O—ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
知识点二 证明平行、垂直关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2
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2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C8.TIF"
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如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.
例3
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2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C10.TIF"
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如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.
例4 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
知识点三 空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
例5
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如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(1)求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．
知识点四 空间向量与空间距离
近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
例6
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如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求证：平面MND⊥平面PCD；
(3)求点P到平面MND的距离．
章末总结
重点解读
例1 解
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如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3
＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos
60°＋6cos
60°＋12
cos
60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝
＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
例2 证明 (1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.∴BD∥B1D1.
同理可证A1B∥D1C，
又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.
∴·＝0，∴MN⊥BD.
同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
例3
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解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．
则＝(－1，－1,0)，
＝(0,0,1)，
＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，〉|＝
＝.
依题意得＝sin
60°＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
例4 证明
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如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
则E、D1(0,0,1)、
F、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝，
＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．
由 .
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由 ，
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．
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则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．
∴＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，
∴⊥平面ANM，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，
·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面ANM所成角的余弦值为.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.
例6 (1)解 ∵PA⊥平面ABCD，
由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P—CD—B的大小为45°.
(2)
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如图，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，D(0,2,0)，
C(2,2,0)，M(1,0,0)，
∵N是PC的中点，
∴N(1,1,1)，
∴＝(0,1,1)，
＝(－1,1，－1)，＝(0,2，－2)．
设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．
∴m·＝0，m·＝0，
即有
令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.
∴m＝(－2，－1,1)．
同理，由n·＝0，n·＝0，
即有
令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．
∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.
(3)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，
∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，
∴|·m|＝4，
又|m|＝＝，
∴d＝＝＝.
即点P到平面MND的距离为.章末总结
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知识点一 四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1 判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0
(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p：－2例3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
例5 设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x，x>0；
(4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
例如当x＝－，＝<3.
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥ba·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直ba·b≠0也为真．
例2 解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分条件．
例3 解 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴AB，∴或，
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
例4 解 (1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p：由ax2－x＋a>0恒成立得
，∴a>2.
q：由<1＋ax对一切正实数均成立，
令t＝>1，则x＝，
∴t<1＋a·，
∴2(t－1)1均成立．
∴2，∴a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．章末总结
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知识点一 圆锥曲线的定义和性质
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
例1 已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．
在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．
例2
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如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)求x1x2与y1y2的值；
(2)求证：OM⊥ON.
知识点三 轨迹问题
轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．
例3 设点A、B是抛物线y2＝4px
(p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
例4 若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，A2为椭圆的右顶点且AA2⊥BA2，求证：直线l过定点．
知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：
(1)平面几何法
平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．
例6 已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．
章末总结
重点解读
例1 解
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如图所示，设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，
得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos
60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①
又S△PF1F2＝12，
∴|PF1||PF2|sin
60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.②
由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
例2 (1)解 过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：y＝k(x－2)．
把y＝k(x－2)代入y2＝2x，
消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，
x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M、N两点在抛物线上，
∴y·y＝4x1·x2＝16，
而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.
(2)证明 ∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.
∴⊥，即OM⊥ON.
例3 解 设直线OA的方程为y＝kx
(k≠±1，因为当k＝±1时，直线AB的斜率不存在)，则直线OB的方程为y＝－，
进而可求A、B(4pk2，－4pk)．
于是直线AB的斜率为kAB＝，
从而kOM＝，
∴直线OM的方程为y＝x，①
直线AB的方程为y＋4pk＝(x－4pk2)．②
将①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，
即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③
又k2x－ky＝x，代入③式并化简，
得(x－2p)2＋y2＝4p2.
当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.
故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2
(x≠0)上．
∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2
(x≠0)，
∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．
例4
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证明 设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
则
即
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16km＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
且均满足3＋4k2－m2>0.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点．
例5 解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左
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2015\\ppt\\同步\\数学\\步步高
北师
2-1\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\C6.TIF"
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焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.
如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.
当点M在BA′的延长线上时取等号．
所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2.
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又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|
＝10－(|MA′|－|MB|)
≥10－|A′B|，
当M在A′B的延长线上时取等号．
所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2.
例6 解 由题意，|F1F2|＝2.
设直线AB方程为y＝kx＋1，
代入椭圆方程2x2＋y2＝2，
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，
∴|xA－xB|＝.
S△ABF2＝|F1F2|·|xA－xB|＝2×
＝2×
≤2×＝.
当＝，即k＝0时，
S△ABF2有最大面积为.