黑龙江省鹤岗市绥滨一中2016-2017学年高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省鹤岗市绥滨一中2016-2017学年高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 271.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-27 08:50:01 | ||
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文档简介
2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：（每题5分，共60分）
1．抛物线x2=y的准线方程是（ ）
A．y=1
B．y=﹣1
C．y=
D．y=﹣
2．“”是“A=30°”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件
3．若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，﹣1），则（ ）
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．A、C都有可能
4．已知命题p： {0}，q：3∈{1，2}由它们构成“p∨q”，“p∧q”，“￢p”三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．双曲线的焦距是（ ）
A．8
B．4
C．
D．与m有关
6．已知椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），且过点（0，3），则椭圆的标准方程是（ ）
A．
+=1
B．
+=1
C．
+=1
D．
+=1
7．平面内有两定点A、B及动点P，如果|PA|+|PB|=2a（a为常数），那么P点的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F
( http: / / www.21cnjy.com )1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
12．已知双曲线，直线l过其左焦点F1，
( http: / / www.21cnjy.com )交双曲线左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为（ ）
A．8
B．9
C．16
D．20
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为 ．
14．准线方程是的抛物线的标准方程是 ．
15．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为 ．
16．P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1））．下面结论：
①A1D⊥C1P；
②若BD1⊥平面PAC，则λ=；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；
④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：
17．求双曲线=1的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
18．求以双曲线y2﹣3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程．
19．已知抛物线的焦点在x轴上，且经过点P，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过焦点F且倾斜角是的直线L与抛物线相交于两点A和B，求弦长|AB|．
20．已知p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，AD=AB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
22．若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与
( http: / / www.21cnjy.com )椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题5分，共60分）
1．抛物线x2=y的准线方程是（ ）
A．y=1
B．y=﹣1
C．y=
D．y=﹣
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；
所以：2p=，即p=，
所以：
=，
所以准线方程y=﹣．
故选：D．
2．“”是“A=30°”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由正弦函数的周期性，满足的A有无数多个．
【解答】解：“A=30°” “”，反之不成立．
故选B
3．若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，﹣1），则（ ）
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．A、C都有可能
【考点】直线与平面垂直的判定；直线的方向向量；平面的法向量．
【分析】利用向量的数量积判断直线与平面的位置关系即可．
【解答】解：直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，﹣1），
可得 =（=（2，5，7）（1，1，﹣1）=2+5﹣7=0，
所以l∥α．或l α．
故选：D．
4．已知命题p： {0}，q：3∈{1，2}由它们构成“p∨q”，“p∧q”，“￢p”三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p： {0}，是真命题；q：3∈{1，2}，是假命题．利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p： {0}，是真命题；q：3∈{1，2}，是假命题．
则“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，“￢p”是假命题．
∴真命题的个数是1．
故选：B．
5．双曲线的焦距是（ ）
A．8
B．4
C．
D．与m有关
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由曲线方程可得a2，b2的值，结合隐含条件得答案．
【解答】解：∵是双曲线，且m2+12＞0，
∴4﹣m2＞0，得﹣2＜m＜2．
∴a2=m2+12，b2=4﹣m2，
则c2=a2+b2=16，c=4．
∴2c=8．
故选：A．
6．已知椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），且过点（0，3），则椭圆的标准方程是（ ）
A．
+=1
B．
+=1
C．
+=1
D．
+=1
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】根据题意可得：椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），且过点（0，3），所以c=4，b=3进而得到椭圆的方程．
【解答】解：因为椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），
所以c=4，
又因为椭圆过点（0，3），
所以b=3，
所以由a，b，c之间的关系可得a=5．
故选A．
7．平面内有两定点A、B及动点P，如果|PA|+|PB|=2a（a为常数），那么P点的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
【考点】曲线与方程．
【分析】结合椭圆的定义，分类讨论进行判断．
【解答】解：若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a
（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．
故选：D．
8．已知F1，F2是椭圆的
( http: / / www.21cnjy.com )两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由△ABF2是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|，即=2c，由此推导出这个椭圆的离心率．
【解答】解：由△ABF2是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|，∴=2c
又∵c2=a2﹣b2
∴a2﹣c2﹣2ac=0
∴e2+2e﹣1=0
解之得：e=﹣1或e=﹣﹣1
（负值舍去）．
故选C
9．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0
( http: / / www.21cnjy.com )，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，
因为，，
所以=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，
故选C．
10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，解得答案．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为，
∴，准线方程为，
令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即
故选：B．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．
【分析】令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，建立空间坐标系，利用向量法，可得直线A1E与直线BC1所成角的余弦值．
【解答】解：令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
建立如图所示的坐标系，
则=（1，0，1），=（1，﹣，﹣1），
则直线A1E与直线BC1所成角θ的余弦值为：
cosθ==0，
故选：D．
12．已知双曲线，直线l过其左焦
( http: / / www.21cnjy.com )点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为（ ）
A．8
B．9
C．16
D．20
【考点】双曲线的简单性质；双曲线的定义．
【分析】应用双曲线的定义和△ABF2的周长为20，解出半长轴，可求m的值．
【解答】解析：由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又|AB|=4，则|AF2|+|BF2|=16．
据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，
所以4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=16﹣4=12，
即a=3，所以m=a2=9，
故选B．
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为 20 ．
【考点】椭圆的应用．
【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．
【解答】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．
∴△PQF2的周长=20．，
故答案为20．
14．准线方程是的抛物线的标准方程是 x2=2y ．
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】根据准线方程是，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．
【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，
设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），
∵抛物线的准线方程是，
∴=，
∴p=1，
∴抛物线的标准方程为x2=2y，
故答案为x2=2y．
15．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】联立，得到线段AB的中点
( http: / / www.21cnjy.com )为（），设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出椭圆的离心率．
【解答】解：联立，得x=，y=，
∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为，∴线段AB的中点为（），
设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
=，
分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：
，两式相减，
得，
a2=2b2，∴a=，∴．
故答案为：．
16．P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1））．下面结论：
①A1D⊥C1P；
②若BD1⊥平面PAC，则λ=；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；
④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】画出图形，直接判断①A1D⊥C1P的正误；
利用正方体的特征，判断②若BD1⊥平面PAC，则λ=的正误；
通过λ=，判断△PAC是否为钝角三角形，判断λ∈（0，）的正误；
通过建立空间直角坐标系，判断④λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形，判断④的正误．
【解答】解：如图①中，A1D⊥面ABC1D1，C1P 面ABC1D1
∴A1D⊥C1P
故①正确；
对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；
对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，设正方体棱长为a，PA=PC=a，AC=a，此时∠APC=120°，
∴则λ∈（0，），③不正确；
对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长
|AB|=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），
∴=（﹣1，﹣1，1），=（﹣λ，﹣λ，λ），==（λ，λ﹣1，﹣λ），
==（λ﹣1，λ，﹣λ），显然∠APC不
( http: / / www.21cnjy.com )是平角，所以∠APC为锐角等价于cos∠APC=cos＜，＞=＞0，则等价于＞0即λ（λ﹣1）+（λ﹣1）λ+（﹣λ）（﹣λ）=λ（3λ﹣2）＞0，
故＜λ＜1，④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题：
17．求双曲线=1的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的方程求出几何量a，b，c，即可求解所求的结果．
【解答】解：双曲线=1，实轴长2a=8；虚轴长2b=6；
，
焦点坐标是（﹣5，0），（5，0）；
离心率；
渐近线方程为．
18．求以双曲线y2﹣3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程．
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，将所给双曲线的方程变形可得﹣=1，从中分析可得其焦点、顶点的坐标，进而由椭圆的几何性质，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣3x2=12，变形可得﹣=1，
分析可得其焦点在y轴上，且a2=12，b2=4，
则有c==4，
即该双曲线的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±2），
又由题意，要求的椭圆以（0，±4）为顶点，（0，±2）为焦点，
则其a′2=16，c′2=（2）2=12，
故b′2=16﹣12=4，
则要求椭圆的标准方程为：
=1；
故求以双曲线y2﹣3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为=1．
19．已知抛物线的焦点在x轴上，且经过点P，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过焦点F且倾斜角是的直线L与抛物线相交于两点A和B，求弦长|AB|．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：设抛物线方程y2=2px，将P，代入抛物线方程，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）方法一：设直线l的方
( http: / / www.21cnjy.com )程y=x﹣1，代入抛物线方程，由韦达定理求得x1+x2=6．|AB|=x1+x2+p=6+2=8；方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|==8．
【解答】解：（1）抛物线的焦点在x轴上，经过点P，设抛物线方程y2=2px，
将P，代入抛物线方程：1=2p×，2p=4，
∴抛物线的标准方程y2=4x；
（2）方法一：由（1）可知抛物线的焦点坐标F（1，0），直线l的斜率k=1，
设直线l的方程y=x﹣1，
则，整理得：得x2﹣6x+1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6．
∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8；
方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|===8，
弦长|AB|长为8．
20．已知p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．
【分析】先求出p：x＜﹣2或＞10，q：x＜1﹣a或x＞1+a，再由p是q的充分而不必要条件，列出方程组，从而求出正实数a的取值范围．
【解答】解：p：x＜﹣2或＞10，
q：x＜1﹣a或x＞1+a
∵由p是q的充分而不必要条件，
∴
即0＜a≤3．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，AD=AB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】证明PD⊥面ABE，关键是证明AB⊥PD，AE⊥PD．
【解答】证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD；
又设AD=AB=a，AB⊥AD，∠ABC=60°，
∴CD==a
∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE．
∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC=C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵AB∩AE=A，
∴PD⊥面ABE．
22．若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆方程；
（2）是否存在过定点N（
( http: / / www.21cnjy.com )0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，可得A、B的横纵坐标的积，结合列式求得直线l的斜率．
【解答】解：（1）由已知可得：2a=4，2c=2，
∴a=2，c=，则b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆方程为；
（2）存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使，此时k=±2．
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
则直线l的方程为y=kx+2．
联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0．
则△=（16k）2﹣48（1+4k2）=64k2﹣48＞0，得或．
再设A（x1，y1），B（x2，y2），
则．
由，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
==0．
解得：k=±2，符合△＞0．
∴存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使．
2017年3月24日
一、选择题：（每题5分，共60分）
1．抛物线x2=y的准线方程是（ ）
A．y=1
B．y=﹣1
C．y=
D．y=﹣
2．“”是“A=30°”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件
3．若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，﹣1），则（ ）
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．A、C都有可能
4．已知命题p： {0}，q：3∈{1，2}由它们构成“p∨q”，“p∧q”，“￢p”三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．双曲线的焦距是（ ）
A．8
B．4
C．
D．与m有关
6．已知椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），且过点（0，3），则椭圆的标准方程是（ ）
A．
+=1
B．
+=1
C．
+=1
D．
+=1
7．平面内有两定点A、B及动点P，如果|PA|+|PB|=2a（a为常数），那么P点的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F
( http: / / www.21cnjy.com )1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
12．已知双曲线，直线l过其左焦点F1，
( http: / / www.21cnjy.com )交双曲线左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为（ ）
A．8
B．9
C．16
D．20
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为 ．
14．准线方程是的抛物线的标准方程是 ．
15．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为 ．
16．P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1））．下面结论：
①A1D⊥C1P；
②若BD1⊥平面PAC，则λ=；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；
④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：
17．求双曲线=1的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
18．求以双曲线y2﹣3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程．
19．已知抛物线的焦点在x轴上，且经过点P，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过焦点F且倾斜角是的直线L与抛物线相交于两点A和B，求弦长|AB|．
20．已知p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，AD=AB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
22．若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与
( http: / / www.21cnjy.com )椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题5分，共60分）
1．抛物线x2=y的准线方程是（ ）
A．y=1
B．y=﹣1
C．y=
D．y=﹣
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；
所以：2p=，即p=，
所以：
=，
所以准线方程y=﹣．
故选：D．
2．“”是“A=30°”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由正弦函数的周期性，满足的A有无数多个．
【解答】解：“A=30°” “”，反之不成立．
故选B
3．若直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，﹣1），则（ ）
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．A、C都有可能
【考点】直线与平面垂直的判定；直线的方向向量；平面的法向量．
【分析】利用向量的数量积判断直线与平面的位置关系即可．
【解答】解：直线l的一个方向向量为=（2，5，7），平面α的一个法向量为=（1，1，﹣1），
可得 =（=（2，5，7）（1，1，﹣1）=2+5﹣7=0，
所以l∥α．或l α．
故选：D．
4．已知命题p： {0}，q：3∈{1，2}由它们构成“p∨q”，“p∧q”，“￢p”三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p： {0}，是真命题；q：3∈{1，2}，是假命题．利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p： {0}，是真命题；q：3∈{1，2}，是假命题．
则“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，“￢p”是假命题．
∴真命题的个数是1．
故选：B．
5．双曲线的焦距是（ ）
A．8
B．4
C．
D．与m有关
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由曲线方程可得a2，b2的值，结合隐含条件得答案．
【解答】解：∵是双曲线，且m2+12＞0，
∴4﹣m2＞0，得﹣2＜m＜2．
∴a2=m2+12，b2=4﹣m2，
则c2=a2+b2=16，c=4．
∴2c=8．
故选：A．
6．已知椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），且过点（0，3），则椭圆的标准方程是（ ）
A．
+=1
B．
+=1
C．
+=1
D．
+=1
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】根据题意可得：椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），且过点（0，3），所以c=4，b=3进而得到椭圆的方程．
【解答】解：因为椭圆的两个焦点是（﹣4，0），（4，0），
所以c=4，
又因为椭圆过点（0，3），
所以b=3，
所以由a，b，c之间的关系可得a=5．
故选A．
7．平面内有两定点A、B及动点P，如果|PA|+|PB|=2a（a为常数），那么P点的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
【考点】曲线与方程．
【分析】结合椭圆的定义，分类讨论进行判断．
【解答】解：若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a
（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．
故选：D．
8．已知F1，F2是椭圆的
( http: / / www.21cnjy.com )两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由△ABF2是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|，即=2c，由此推导出这个椭圆的离心率．
【解答】解：由△ABF2是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|，∴=2c
又∵c2=a2﹣b2
∴a2﹣c2﹣2ac=0
∴e2+2e﹣1=0
解之得：e=﹣1或e=﹣﹣1
（负值舍去）．
故选C
9．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0
( http: / / www.21cnjy.com )，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，
因为，，
所以=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，
故选C．
10．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，解得答案．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为，
∴，准线方程为，
令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即
故选：B．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．
【分析】令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，建立空间坐标系，利用向量法，可得直线A1E与直线BC1所成角的余弦值．
【解答】解：令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
建立如图所示的坐标系，
则=（1，0，1），=（1，﹣，﹣1），
则直线A1E与直线BC1所成角θ的余弦值为：
cosθ==0，
故选：D．
12．已知双曲线，直线l过其左焦
( http: / / www.21cnjy.com )点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为（ ）
A．8
B．9
C．16
D．20
【考点】双曲线的简单性质；双曲线的定义．
【分析】应用双曲线的定义和△ABF2的周长为20，解出半长轴，可求m的值．
【解答】解析：由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又|AB|=4，则|AF2|+|BF2|=16．
据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，
所以4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=16﹣4=12，
即a=3，所以m=a2=9，
故选B．
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为 20 ．
【考点】椭圆的应用．
【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．
【解答】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．
∴△PQF2的周长=20．，
故答案为20．
14．准线方程是的抛物线的标准方程是 x2=2y ．
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】根据准线方程是，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．
【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，
设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），
∵抛物线的准线方程是，
∴=，
∴p=1，
∴抛物线的标准方程为x2=2y，
故答案为x2=2y．
15．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】联立，得到线段AB的中点
( http: / / www.21cnjy.com )为（），设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出椭圆的离心率．
【解答】解：联立，得x=，y=，
∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为，∴线段AB的中点为（），
设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
=，
分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：
，两式相减，
得，
a2=2b2，∴a=，∴．
故答案为：．
16．P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1））．下面结论：
①A1D⊥C1P；
②若BD1⊥平面PAC，则λ=；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；
④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】画出图形，直接判断①A1D⊥C1P的正误；
利用正方体的特征，判断②若BD1⊥平面PAC，则λ=的正误；
通过λ=，判断△PAC是否为钝角三角形，判断λ∈（0，）的正误；
通过建立空间直角坐标系，判断④λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形，判断④的正误．
【解答】解：如图①中，A1D⊥面ABC1D1，C1P 面ABC1D1
∴A1D⊥C1P
故①正确；
对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；
对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，设正方体棱长为a，PA=PC=a，AC=a，此时∠APC=120°，
∴则λ∈（0，），③不正确；
对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长
|AB|=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），
∴=（﹣1，﹣1，1），=（﹣λ，﹣λ，λ），==（λ，λ﹣1，﹣λ），
==（λ﹣1，λ，﹣λ），显然∠APC不
( http: / / www.21cnjy.com )是平角，所以∠APC为锐角等价于cos∠APC=cos＜，＞=＞0，则等价于＞0即λ（λ﹣1）+（λ﹣1）λ+（﹣λ）（﹣λ）=λ（3λ﹣2）＞0，
故＜λ＜1，④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题：
17．求双曲线=1的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的方程求出几何量a，b，c，即可求解所求的结果．
【解答】解：双曲线=1，实轴长2a=8；虚轴长2b=6；
，
焦点坐标是（﹣5，0），（5，0）；
离心率；
渐近线方程为．
18．求以双曲线y2﹣3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程．
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，将所给双曲线的方程变形可得﹣=1，从中分析可得其焦点、顶点的坐标，进而由椭圆的几何性质，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣3x2=12，变形可得﹣=1，
分析可得其焦点在y轴上，且a2=12，b2=4，
则有c==4，
即该双曲线的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±2），
又由题意，要求的椭圆以（0，±4）为顶点，（0，±2）为焦点，
则其a′2=16，c′2=（2）2=12，
故b′2=16﹣12=4，
则要求椭圆的标准方程为：
=1；
故求以双曲线y2﹣3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为=1．
19．已知抛物线的焦点在x轴上，且经过点P，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过焦点F且倾斜角是的直线L与抛物线相交于两点A和B，求弦长|AB|．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：设抛物线方程y2=2px，将P，代入抛物线方程，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）方法一：设直线l的方
( http: / / www.21cnjy.com )程y=x﹣1，代入抛物线方程，由韦达定理求得x1+x2=6．|AB|=x1+x2+p=6+2=8；方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|==8．
【解答】解：（1）抛物线的焦点在x轴上，经过点P，设抛物线方程y2=2px，
将P，代入抛物线方程：1=2p×，2p=4，
∴抛物线的标准方程y2=4x；
（2）方法一：由（1）可知抛物线的焦点坐标F（1，0），直线l的斜率k=1，
设直线l的方程y=x﹣1，
则，整理得：得x2﹣6x+1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6．
∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8；
方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|===8，
弦长|AB|长为8．
20．已知p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．
【分析】先求出p：x＜﹣2或＞10，q：x＜1﹣a或x＞1+a，再由p是q的充分而不必要条件，列出方程组，从而求出正实数a的取值范围．
【解答】解：p：x＜﹣2或＞10，
q：x＜1﹣a或x＞1+a
∵由p是q的充分而不必要条件，
∴
即0＜a≤3．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，AD=AB，E是PC的中点．
证明：PD⊥平面ABE．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】证明PD⊥面ABE，关键是证明AB⊥PD，AE⊥PD．
【解答】证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD；
又设AD=AB=a，AB⊥AD，∠ABC=60°，
∴CD==a
∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE．
∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC=C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵AB∩AE=A，
∴PD⊥面ABE．
22．若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆方程；
（2）是否存在过定点N（
( http: / / www.21cnjy.com )0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，可得A、B的横纵坐标的积，结合列式求得直线l的斜率．
【解答】解：（1）由已知可得：2a=4，2c=2，
∴a=2，c=，则b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆方程为；
（2）存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使，此时k=±2．
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
则直线l的方程为y=kx+2．
联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0．
则△=（16k）2﹣48（1+4k2）=64k2﹣48＞0，得或．
再设A（x1，y1），B（x2，y2），
则．
由，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
==0．
解得：k=±2，符合△＞0．
∴存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使．
2017年3月24日