精心设计
重在思维
勤于训练
——从一道题目的拓展训练说起
三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一笔者通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识网，达到了事半功倍的教学效果.现呈现如下，旨在与大家交流提高.
一、例题及跟进训练
例题如图1，在中，是的中点，，是的中点，的延长线交的延长线于点，求证:.
略解
如图2，连，取中点，连、，则有
，;
，.
，.
，.
,
,
.
反思
在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键.为帮助学生熟识此“模式”，笔者安排了以下跟进训练.
训练1
如图3，在四边形中，，、分别为和的中点，的延长线分别交的延长线和的延长线于点、.求证:.
略解
连(或)并取其中点，再连、，如图4.利用例题方法很容易得结论.
反思
从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核.于是进一步探讨下面的问题:
训练2
如图5，在中，，在它的两边，上分别截取，、分别是，的中点，又是的平分线.求证:.
略解
方法1:如图6，连，并取其中点，再连、，延长、交于点，交于点.则易用类似例题方法证得.
方法2:如图7，连结，并延长到点，使，连、，则有
,
得，,
，..
由三角形内角和定理，知
,
于是由
,
得.
方法3:如图8，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，连、.
由是的平分线，很容易得:、分别为、的中点，
,
.
、分别是、的中点，
，,
，,
，且.
∴四边形为平行四边形，故得结论.
反思
方法1构造中点在预设之中，延长与交于点在生成之外.显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线.这是学生一个很大的进步和创新.训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获.
方法2比方法1更有创意.事实上，利用这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法，也是学生能熟练运用的方法.解法3是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路.
二、课内练习
1.已知:如图9，在中，，为中点，连.求证:
.
设置这个问题，因为它是一个简单的与中点有关的重要问题，实际上就是后面将要学习的“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的问题.学生的表现可谓精彩纷呈:
学生1:如图10，延长到，使，连.
学生2:如图11，延长到，使，连.
学生3:如图12，延长到，使，连，…
2.已知:和都是等腰直角三角形，，、分别是、的中点.
①如图13，若点在线段上，判断与之间的关系，并说明理由.
学生1:如图14，连并延长到，使，连，则有，得.由，得，因是的中位线而得，且.
学生2:如图15，连并延长到，使，连，类似同学1方法得结论.
学生3:如图16，连并延长到，使，连.(实际上在问题解决的过程中，我们发现:点在线段上，因此可以优化辅助线作法:连并延长交于点，连.)
学生4:如图17，延长、交于点，连，则可证，得;再证得为中点，利用中位线得结论.
②如图18，将图13中的绕点逆时针旋转一个锐角，①的结论是否仍然成立 请说明理由.
利用前面经验和方法，可以类似解决，不再赘述.
三、课后反思
1.提倡自主学习，是我们的共识
自主学习是提高学习成绩的最佳策略.教师有效的教会学生怎样解题，培养学生基本数学素养和能力是我们的目的.我们教会学生做一千道题，但当一千零一道题出现时，学生可能还是不会，所以教学中要强调教会学生掌握必要的数学思想方法.这是新课标将“三基”扩展到“四基”的初衷，也是我们的共同追求.
2.恰当设置问题，是激活学生思维的最好平台
实践证明，一题多解，变式训练，都是培养学生数学思维的有效的途径或手段.上述在解决中位线这个比较难的问题时，教师组合了一个问题串，传递的信息有很强的指向性:连线段，取中点，作中位线，改变问题呈现形式，循序渐进，逐层推进，高频率，强刺激，收到了很好的效果.
3.解题常用方法须强化和深化
解决线段间的数量关系，是我们常见的问题，学生在解决方法中的表现可谓精彩纷呈:用中心对称的性质旋转变换;轴对称变换;旋转变换等等.多种方法的求解，对提高学生解决问题的能力大有裨益，我们要将常用的解题方法进行强化和深化，以形成一种技能，提高学生的素质.拓展课本例题
演绎中考精彩
课本例题、习题是经过专家精心遴选的，具有典型性、示范性的题目，而且具有可拓展的功能.从学生认知思维的最近发展区域，以课本习题为原型，从题设、结论及图形结构全方位、多角度的探究与联想，挖掘其蕴藏的深层内涵，可以引导学生深刻领悟解决问题的策略，优化思维品质，提升数学的思维水平.本文以苏科版《数学》九年级《对称图形——圆》中的一道习题为例，诠释如下.
引例
如图1，是⊙的直径，是⊙上的一点，垂直于过点的切线，垂足为，则平分.
变式拓展1
将习题的条件——⊙切线与结论——角的平分线交换，构造其逆命题，附加某些线段的长度计算圆中弦长或阴影部分的面积.
例1
(2016年黄石中考题)如图2,
⊙的直径为，点在圆周上(异于，)
，.
(1)若，，求的值;
(2)若是的平分线，求证:直线是⊙的切线.
分析
(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理
便可求得的长.
(2)连结，证即可;利用角平分线的性质和等边对等角，可证得，即可得到.由于，那么，由此得证.
解
(1)
∵是⊙的直径，点在⊙上
在中，，,
∴由勾股定理，得.
(2)如图3，连结.
，,
又是的角平分线，
,
，,
又，,
是⊙的切线.
评注
此题要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.
例2
(2016年咸宁中考题)如图4，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，F.
(1)试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由;
(2)若，，求阴影部分的面积(结果保留).
解析
(1)
与⊙相切，理由略.
(2)设⊙的半径为,
则，.
由(1)知,
，
即，
解得,
，.
于是有
.
评注
本题将阴影部分(不规则图形)的面积转化为规则图形(可求面积)面积的和或差()，这是解决此类问题的关键.
变式拓展2
将⊙换成半圆，并延长切线与直径使之相交，形(图形结构变化)变而神(条件、结论)不变.
例3
(2016年黄冈中考题)如图5，是半圆的直径，点在的延长线上，切⊙于点，，垂足为，连结.
(1)求证:;
(2)求证:.
分析
(1)连结，由为圆的切线，利用切线的性质，得到垂直于.由垂直于，得到与平行，利用两直线平行得到一对内错角相等;再由,利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证.
(2)连结，由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角三角形.根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出与
相似，由相似得比例，变形即可得证(证明略).
变式拓展3
添加中的锐角三角形函数值，探究⊙的弦分所成的线段的比值.
例4
(2016年武汉中考题)如图6，点在以为直径的⊙上，与过点的切线垂直，垂足为点，交⊙于点.
(1)求证:平分;
(2)连结交于点，若，求的值.
解析
(1)因为是⊙的切线，根据“有切点连半径”，我们可以连接半径，根
据“切线垂直于过切点的半径”，所以
又，,
,
又，,
,
所以平分.
(2)连结，在中,
由，
可设,
则，,
由，可得
，,
.
由，可得,
，,
,
.
评注
本题的第(2)问也可以通过，求出直径(用表示)，进而得到半径，利用四边形(是与的交点)是矩形，得到.进而根据勾股定理求出，在根据三角形中位线求出，最后得到，将的值转化为来求.
变式拓展4
丰富课本习题的图形的结构，并添加相关条件，继续深化探究问题的结论
例5
(2016年孝感中考题)如图7，在中，，点在上，经过点的⊙与相切于点，与，分别相交于点，，连结与，相交于点.
(I)求证:平分.
(2)若于点，平分，.
①试判断与的数量关系，并说明理由;
②求⊙的半径.
分析
(1)略.
(2)①∵平分,
,
又,
,
即，；
设,
则.
，,
，,
,
，,
，，.
为直径，.
.
∴⊙的半径为.
评注
本题将课本中相关习题与例题融合在一起，使图形的结构变得更加复杂，这就需要我们学会能够从复杂图形中分离出基本图形的技能，从而利用简单图形的性质解决问题.
从上述对课本习题与中考试题的对比分析中可以发现，许多中考试题源于课本，高于课本.这就启发我们在平时的学习中，要立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，多角度挖掘开发例习题中蕴含的丰富内涵，学会对自己已解决的问题进行反思、联想、总结.一方面反思问题的解题思路能否能迁移;另一方面反思题目的条件与结论之间的因果关系能否交换，命题的条件能否更换，结论能否拓展，图形的结构能否改变等，从而深化对问题的理解，提高观察问题、分析问题、自主探究问题的创新思维能力.
