《用配方法推导一元二次方程的求根公式》课例点评
一元二次方程是重要的数学模型，其解法灵活多样，蕴含丰富的数学思想方法。在一元二次方程的四种解法中，配方法和公式法都具有普遍适用性，而且两者关系密切：配方法和公式法都蕴含转化思想，但转化的方向不同；用配方法解一般形式的一元二次方程可得到求根公式。求根公式揭示了方程的根与系数之间的本质关系：即方程的根由系数确定，只要将方程的系数代入公式就可求得方程的根。公式法隐含算法思想和转化思想，将解方程转化成一个求代数式的值的程序化运算过程，改变了解方程的本质。根的判别式定理又可借助运用公式和推导公式的过程获得。
本节课学生不仅要会用公式法解一元一次方程方程、用根的判别式判断根的情况，而且应握公式的推导、理解根的判别式定理，同时感悟数学思想。用配方法推导求根公式是本节难点所在，字母的抽象性决定了公式推导的难度，其中有几个关键点必须处理：其一是将方程配方后需要两边开方时，对开方条件的讨论；其二是开方后二次根式的化简。不处理，学生会疑惑，处理不当，更增加了推导的难度，因而需要精准的教学策略设计。另外，学生对公式法蕴含的“算法思想”比较陌生，教师点拨引导恰当，可为高中学习“必修三”做好铺垫，这里的渗透要恰到好处，点到为止。获得根的判别式定理是又一个重点，应让学生基于感性认识又深入到理性理解的层面。面对这样一节难度层出、蕴含丰富的内容，要想获得良好的教学效果则需要教师对内容的深度理解和创造性的劳动。
徐老师的这节课目标明确、思路清晰、策略精准、达标高效，其数学本质突出、学生兴味盎然.
可谓既激发学生学习兴趣、又引发学生数学思考、同时教给学生良好的学习方法、习惯，是一节三维目标都良好达成、且充满亮点的优质课。
亮点一：引课。
引课新颖、深刻。在复习配方法的过程中点拨转化思想、渗透算法思想，学生体会了配方法的不足，点出引入公式法的必要性。其中竞赛的形式激发了学生的兴趣、“神器”的出现引发了学生强烈的好奇心又暗藏算法思想，为整节课的探究埋下伏笔，设计可谓合理、精巧。这样的设计反映教师对公式法、配方法本身的深度理解，和教师对渗透数学思想的重视。
亮点二：公式推导。
公式推导的策略恰当、高效。我们看到，公式推导过程采用了“阅读”、“小组讨论”、“教师点拨”等不同的策略，有效突破公式推导这一难点。对“配方”的过程运用的是“阅读”方式，学生在“填空”、思考每一步骤的依据中理解了这些推导的步骤，发展了主动阅读能力和独立思考能力，获得了“阅读数学资料”的方法；“开方条件”是“小组讨论”获得的，教师设计的问题恰当地引发学生对“开方”条件的思考，并将条件指向b2-4ac的符号的讨论；化简时，给出分类的提示，在学生独立思考的基础上，在符号处理的关键处教师进行了讲解。层次分明的恰当设计，使学生的思维深度发展，难点一一化解，达成“掌握公式推导”这一重点目标。在这个过程中学生活动和教师点拨相得益彰、恰到好处，这个过程反映教师对内容的准确理解、对学情的精准判断、和教学策略中突出学生主体的理念。
亮点三：例题设计
例题的设计细微之处显深刻。两道例题简单而意图明确，使学生注意运用公式的前提是将方程化成一般形式；使学生体会方程解的不同情况，为归纳根的判别式提供感性认识，引发学生从具体到抽象理性思考根的情况与代数式b2-4ac之间的关系，从而获得结论。这样的设计反映教师对例习题有设计的意识，使其能效最大化，也反映教师对《课标》核心概念中推理能力的认识。
亮点四：达标检测与作业布置
达标意识凸显、分册意图明确。达标检测使整节课的达标意识凸显、达标效果明晰。检测题针对本节核心目标、难度适中，使学生体验学习数学成功，师生都明晰本节学习情况，同时及时反馈达标情况也能促进二次达标。作业的分层设计，针对核心技能巩固的同时，提出更高的要求，学生在对三种解法对比分析中，使得各种数学思想方法又一次渗透落实，学生势必会思考不同方法的适用范围、不同解法之间的关系，促进学生整体把握各种解法并灵活运用不同方法解方程。
总之，这节课，学生在一种强烈的好奇心的引导下落实了技能、经历了数学思维的过程，体验了成功的乐趣、感悟了数学的思想方法。这些思维方式、思想方法将逐步成为一种观念，伴随学生的成长。(共15张PPT)
用配方法解下列一元二次方程：
（1）2x -7x+3
=0
（2）2x +5x+4=0
用配方法解一元二次方程的步骤:
化—化二次项系数为1;
移—移项，使原方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;
配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）
=
n的形式;
开—如果n≥0，就可左右两边开平方得
x+m=±
;
解—原方程的解为x=
–
m±
.
用配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
下面是小亮同学在用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）时的一部分过程，请将横线上的部分补充完整，并指出每一步的依据.
小刚同学在化简
时意识到条件a≠0，所以讨论了两种情况，a＞0或a＜0，请大家沿着小刚同学的思路写出化简的结果.
当a＞0时
=
当a＜0时
=
=
例题：用公式法解方程
2x -7x+3
=0
做一做：用公式法解方程
（1）4x +1=
4x
（2）
2x +5x+4=0
归纳：对于一元二次方程ax
+bx
+c=0（a
≠0），
当b -4ac＞0时，一元二次方程
实数根；
当b -4ac=
0时，一元二次方程
实数根；
当b -4ac＜0时，一元二次方程
实数根；
有两个不相等的
有两个相等的
没有
1.判断下列方程根的情况
（1）4x2+4x+5=0
（2）3x +7x=0
（3）9x2=6x－1
（4）2x（x
－
1）=－3
2.上述方程如果有解，求出该方程的解.
通过本节课的学习你有哪些收获呢？
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
开始
输入a，b，c
△=b -4ac
△≥0？
△=0？
输出“方程没有实数根”
否
否
结束
输出
输出
是
是
1.一元二次方程y +3y
–
4=0的根的情况为（
）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.不能确定
2.已知关于x的一元二次方程x +2
x
+a=0有两个相等的实数根，则a的值是（
）
A.1
B.
–
1
C.
D.
3.用公式法解方程4x +9=12
x
必做题：习题2.5
知识技能1、2、3题
选做题：尝试用不同种方法解一元二次方程
2x －3x+1=0，通过解答过程谈一谈每种解法的优势与不足.《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计
一、教学内容解析
1.具体内容：
《用配方法推导一元二次方程的求根公式》这个内容在北师大版教材中对应的是九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元二次方程》.本节主要研究一元二次方程的公式解法，一元二次方程的求根公式是用配方法得到的，可以说，公式法是配方法的一般化和程式化，利用求根公式可以更为便捷地解一元二次方程.
本节课的教学内容包括以下三个方面：
①承接上节内容，提出用配方法求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的问题，进而推导求根公式；
②用公式法求解一元二次方程，同时体会用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程；
③通过对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系.
《课标》中对本节课的要求是能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程个根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.
2.教育价值：
在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想.数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社会后，数学知识似乎渐渐淡忘了，但留存的应是那种铭刻在心头的数学思想、数学思维方式.
从运算的角度看，公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一.各级运算的顺序自动决定了一元二次方程的解题顺序.开平方运算不是总能进行的，要根据判别式的符号来判断方程是否有实数根，如果有实数根，则由三个系数来确定.通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式.它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.
3.与相关内容的联系：
方程是初中数学的核心概念，在初中数学中占有重要的地位.在学习一元二次方程之前学生已经学会了解一元一次方程、二元一次方程和分式方程等，积累了一定的解方程的经验，体会到解分式方程时需要通过去分母将分式方程转化为整式方程，渗透了转化的数学思想，为研究一元二次方程的解法奠定了基础.，同时一元二次方程的“公式法”是在学习了直接开方法和配方法之后必须掌握的另一种解一元二次方程的方法，是配方法的一般化和程式化，利用它可以更便捷地解一元二次方程.另外，一元二次方程的解法为高中阶段学习二元二次方程组和一元高次方程的解法提供了方法的引领，发挥着重要的作用.
从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，不仅是对已经学过的实数、整式、二次根式等知识的巩固，也为今后学习二次函数以及高中阶段的算法等知识奠定基础，起到了承上启下的作用.
二、教学目标
1.经历一元二次方程的求根公式的推导过程，领悟其基本思想（降次化归）与基本方法（配方法）；
2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况，能够运用公式法求解一元二次方程（数字系数）；
3.通过推导求根公式，加强推理技能训练，发展逻辑思维能力和善于发现问题的思维素质.
三、学生学情分析
学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；学生原有的认知结构中已有的知识是直接开平方法解一元一次方程以及用配方法解数字系数的一元二次方程，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉.这节课可以借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式.
但是九年级学生的思维水平处于具体形象思维向抽象思维过渡阶段，对于一般形式的一元二次方程求解过程以及公式法求解一元二次方程本质的理解仍然存在一定的困难.具体体现在以下几个方面：
1.学生独自运用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的过程会遇到困难.
2.在用配方法进行公式推导时，忽视对b2-4ac取值的讨论是学生的易错点，也是难点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现.
3.对
的化简也会存在问题，有些学生会对由到的变化不理解.
4.用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程，只要确定系数a、b、c的值，代入公式就能求出方程的根，学生对这个本质的理解会存在困难.
四、教学策略分析
策略1——课前通过用配方法解数字系数的一元二次方程，回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课中的用配方法推导一元二次方程的求根公式奠定理论基础，同时为了降低学生解字母系数的一元二次方程的难度，将推导的过程分为两个环节，第一环节以填空题的形式，让学生明确二次项系数化为1、移项、配方等过程，掌握每一步的具体做法以及变形的依据.第二环节则采用小组讨论和全班共同探索的方式进行，这样就解决了学生独立推导求根公式所面临着种种困难的问题.
策略2——当推导到这一步时，通过设计问题串引发学生的思考，逐步意识到只有当配方的结果是一个非负数时才能进行开方运算，于是针对展开进一步的探讨，渗透分类讨论的数学思想，此环节采用小组交流的方式进行，避免了学生独立思考时思维的局限性.
策略3——对
进行化简时可能会出现两种情况，一部分学生会误认为的化简结果就是，没有考虑到4a2开方的结果是，缺少分类讨论的思想；还有一部分是对不会化简，为了突破这个难点，在教学设计时采用采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，
∵a≠0，当a＞0时
，当a＜0时∴无论a＞0还是a＜0
，都有
，这样也就解决了学生在推导公式过程中的又一个难题.
策略4——为了强化学生对用公式法求解一元二次方程本质的理解，在教学活动中不是直接告诉学生这个过程就是代数式求值的过程，而是通过具体的例题展示和练习让学生自己经历先确定系数a、b、c，再判断b2-4ac，最后代入公式求解一元二次方程的过程，亲身感受到用公式法求解一元二次方程本质就是一个代数式求值的过程.另外，为了便于学生理解，教学环节中又设计了一个程序图来表示用公式法解一元二次方程的步骤，更能直观形象地反映这一本质，同时揭示了“神器”的奥秘，引申出高中阶段要学习的算法知识，体现了知识的前后联系.
五、教学过程
第一环节
情境引入
活动内容：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准.
用配方法解下列方程：(1)2x2-7x+3=0
(2)2x2+5x+4=0
找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在题单上运算.
设计意图：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，即激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可以用配方法来求解，同时体验到配方法的局限性.由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够了.
思考：（1）回忆用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？体现了哪种数学思想？
设计意图：通过提问，一方面加深对学生数学思想方法的渗透，另一方面，与本节课公式法解一元二次方程的本质形成对比，增强学生对知识的理解和掌握.
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？
设计意图：复习用配方法解一元二次方程的步骤为后面用配方法推导一元二次方程的求根公式做铺垫.
（3）所有的一元二次方程都能用配方法求解吗？你喜欢配方法吗？为什么？
（4）能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根呢？
出示
“计算神器”，指出只要知道a、b、c就能很快判断出方程根的情况，并且很快计算出方程的根.用“计算神器”计算上面两个一元二次方程，并让学生随机说出一个一元二次方程，进行求解.
设计意图：借助“计算神器”，一方面激发学生学习数学的兴趣，调动积极性；另一方面，使学生初步感受到一元二次方程的根的情况就是由系数a、b、c决定的.特别是计算神器的原理又是高中阶段的算法的程序图，这样处理体现知识的前后联系.
第二环节
新知探究
活动1：推导求根公式.
用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
学生阅读题单上小亮同学的用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）时的一部分过程，请将横线上的部分补充完整，并指出每一步的依据.
解：∵a≠0
∴方程两边都除以a
得
，得
配方，得
即:
=
思考：（1）按照配方法的步骤，下一步应该做什么呢？
（2）现在能直接两边开平方吗？如果能开平方，写出开平方后的结果，如果不能，说明理由.（学生小组内讨论）
（3）什么情况下
？
引导学生分析
∵
a≠0
∴
4a2>0
要使
只要
b2-4ac≥0即可.
当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±”
得：
（4）如何对进行化简呢？
（学生先独立思考再小组交流讨论）
PPT呈现：对化简结果进行分析
∵a≠0
当a＞0时
当a＜0时
∴无论a＞0还是a＜0
，都有
最后得出
设计意图：由于用配方法推导求根公式是本节课的一个难点，为了突破这个难点，于是将公式的推导过程分为两个部分，第一部分，只要学生知道配方法的步骤及每一步对应的依据就能很快完成推导过程，但是后一部分对开方的条件的判断以及对的化简结果的讨论都是本节课上学生的困难所在，于是采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，大大降低了推导公式的难度，达到让学生跳一跳就能摘到桃子的效果.
（5）如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？
归纳：我们把称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
设计意图：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，理解公式的结构特征，突出数学问题的本质.
活动2：典例示范.
例：用公式法解方程：2x2-7x
+3=0
板书示范
解：这里
a=2,
b=-7,
c=3
∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0
∴
即，
思考：例题与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？
设计意图：回到情境中的练习，运用求根公式解方程2x2-7x
+3=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟从特殊到一般、发现提出问题的方法.
请模仿例题完成下面的做一做
做一做：用公式法解下列方程
（1）4x2+1=
4x
（2）2x +5x+4=0
思考：（1）第（2）题与第一环节中的第（2）题对比，哪种解法更简捷？
（2）通过例题与练习题的学习，请思考用公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？
（3）观察这三道题，你还有什么发现？
归纳：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当b2-4ac＞0时，一元二次方程
实数根；
当b2-4ac=0时，一元二次方程
实数根；
当b2-4ac＜0时，一元二次方程
实数根.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ来表示.
设计意图：通过解方程使学生进一步体会求根公式的实质是代数式求值的过程，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路.使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不用代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可以先确定判别式的值代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构.
第三环节
巩固应用
1.判断下列方程根的情况：
（1）4x2+4x+5=0
（2）3x +7x=0
（3）9x2=6x－1
（4）2x（x-1）=-3
2.上述方程如果有解，求出方程的解.
设计意图：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度.
第四环节
感悟收获
谈谈本节课的收获和体会？你还有哪些问题？
学生发言，互相补充，教师点评完善.
既要关注知识的整理与归纳，更要关注本节课研究问题的过程以及运用的数学思想方法.
设计意图：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.另外，用程序图表示用公式法解一元二次方程的步骤，揭开神器的秘密，学生的好奇心得到满足.
第五环节
当堂检测
1.一元二次方程y2＋3y－4=0的根的情况为（
）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.不能确定
2.已知关于x的一元二次方程x +2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是（
）
A.
1
B.
-1
C.
D.
3.用公式法解方程
4x2+9=12x
设计意图：紧扣目标点设计达标测评题，全面了解学生学，及时发现学生认识中存在的问题，给予有效指导，保证当堂落实.
第六环节
布置作业
必做题：习题2.5
知识技能
第1、2、3题
选做题：尝试用不同种方法解一元二次方程2x －3x+1=0，通过解答过程谈一谈每种解法的优势与不足.
六、教学反思
本节课的设计目标明确，重点突出，课前以数学竞赛（用配方法解一元二次方程）引入，调动了学生学习数学的积极性，同时激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.公式的推导过程本来是本节课的难点所在，课前设计的各种为了突破难点的策略都发挥了极大的作用，学生在问题的引导下，同伴的互助下很顺利地推导出了一元二次方程的求根公式.公式的训练、落实有效，对判别式的归纳从特殊到一般思路很清晰，归纳也条理.
在整个课堂教学活动中，不仅关注数学知识与能力的发展，同时也重视数学思想方法的渗透；不仅有学生独立思考解决问题的环节，同时也关注了学生之间的合作交流，培养了学生之间的合作精神，不仅注重了对学生基础知识和基本技能的评价，同时又注重了对学生情感态度的评价.
