《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计
一.教学内容的分析
1.教材的地位和作用
一元二次方程的求根公式是一元二次方程中的重要内容，是在学习了一次方程、方程组，分式方程以及一元二次方程有关概念的基础之上学习的.求根公式的推导是引出根的判别式、进一步讨论一元二次方程的实数根的存在性的前提，同时也为推导根与系数的关系以及今后学习二次函数等有关内容奠定基础.
2.对教学内容的认识
用配方法推导一元二次方程的求根公式是本节课的教学内容.由于公式的推导均为字母间的运算，为了让学生能够亲自参与推演求根公式的过程，设计了三个活动，逐步由数字系数的一元二次方程过渡到含三个字母系数的一元二次方程，学生经历从特殊到一般的研究过程.
一元二次方程的解法---公式法，安排3课时.本节课是第一课时:用配方法推导一元二次方程的求根公式.根据以上分析，确定本节课的教学重点是：用配方法推导一元二次方程的求根公式.
3.学生学情分析
我校是通州区一所普通中学，所授班级是学校音乐特长班，大部分学生个性活泼、开朗,
学习数学的积极性较高，兴趣较为浓厚，但数学基础一般.
在上本节课之前，我对本校九年级两个班共计72位同学做了一次调查，用配方法解方程：
结果仅有3位同学推导过程完全正确，正确率仅约为4.17%。我对其中的错误进行了简单分析：
错误类型
错误人数
错误率
配方法运用错误
9
12.5%
69
95.8%
17
23.6%
16
22.2%
同时，设置了这样两个问题：在推导一元二次方程的求根公式时，你觉得有哪些困难？有很多学生提到“字母太多”、“运算量大”等困难；在运用公式法解一元二次方程时，你有哪些困惑？有些学生认为公式的结构复杂，不便于记忆，主要靠死记硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式从何而来.
基于以上分析和调查，我认为虽然课标中并未对用配方法推导一元二次方程的求根公式提出具体要求，但推导过程本身的价值在于通过让学生亲历公式的推演，帮助学生理解一元二次方程的根是由系数a、b、c决定的.由于公式的推导过程均为字母间的运算，对学生来说困难较大，因此本节课的难点是：一元二次方程求根公式的推导过程.
二.教学目标的确定
结合教材内容和学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面确定本节课的教学目标：
1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.
2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.
3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法.
三、教学过程设计与实施
为了达到教学目标,我把教学过程设计为以下五个阶段:
具体教学过程如下：
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾探索新知合作探究巩固应用
一、复习回顾
提出问题【活动一】请每组同学编一道一元二次方程，并用配方法求方程的解,填写以下表格：文字表述步骤所编方程每步依据
再呈现其他几个小组编的方程和求解过程。同组的同学互相检查、纠错。二、自主探究
排难解惑数字系数的一元二次方程在求解过程中，由于计算的原因使得我们不易发现各项系数及常数项对根的影响，因此，我们可以尝试着将方程中的系数一般化，用字母代替。一起看下面的表格：下面我们主要研究方程中仅含有一个字母系数的情况。在解之前，我们能否预想一下这三个方程哪一个最容易解，其次呢，哪一个又是最不容易解的？【活动二】每组同学在以下方程中任选一个用配方法求解.◆例如：（1）用配方法解方程解：师：到此，可以继续用直接开平方法求解吗？只有当
时，原方程有实数根.原方程的解为交流：如果配方后的结果是含有字母的代数式，首先要保证该代数式的值是非负的，才可以用直接开平方法求解，否则原方程无实数根；因此要注意分类讨论.师：请选择第二个方程的小组推选一位同学说说你们的求解结果：生：
师：前两个方程的二次项系数均为1，第三个方程的二次项系数为字母a,如何用配方法求解？会用到哪些知识？需要注意哪些问题？请选择第三个方程的小组派一位代表，展示一下求解过程：◆（3）用配方法解方程解：师：分式值为非负数的条件是什么？
或结合已知条件由此可知所以师：回顾二次根式
的化简：思考：二次根式交流：1.分式加减法的运算法则：
2.分式值的符号判断；
3.
二次根式的化简.师：对于以上的三个方程，如果我们任意给出相应字母的值，就可以省去配方的过程，首先判断方程是否有实数根，如果有，直接带到根的表达式即可求出；但是其他的系数被限定是1，对于任意的一元二次方程，要想知道方程的根与系数的关系需要我们研究更为一般的形式，即形如的方程。请大家一起挑战：祝大家能够挑战成功！三、交流归纳
揭示新知【活动三】用配方法解方程：通过前面的探索，我们得到了一元二次方程的解，我们发现，一元二次方程
的根是由方程未知数的系数a、b、c决定的，由此我们得到了一元二次方程的求根公式：既然我们已经推导出了一元二次方程的求根公式，在运用公式求方程的根时，大致步骤是什么呢？总结：用求根公式解一元二次方程的流程图师：大家认为这个公式对于我们有什么意义呢？预案：1.省去了配方的过程，直接把方程中的a、b、c代入即可；（补充：应该先确定
）2.不解方程，就可以判断方程根的情况.师：的确，同学们都说的非常好！所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以这是一个通法，有规律可循.
如果我们不抽象、概括出一个数学模型，那么每次都要做重复性的工作.
抽象、概括正是数学学习留给我们的思维品质；同时，一元二次方程的求根公式向我们揭示了方程的根与各项系数间的内在联系.我们再来分析一下公式的结构：从运算的角度看，公式包容了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了和谐统一.
通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式.
它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.
大家仔细观察，如果一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个根之间只有细微的差别，我们在以后的学习中会继续探索一元二次方程根与系数的关系.四、总结反思
感悟收获问题1：这节课我们学习了什么知识？有何作用？问题2：运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？问题3：这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？五、课后作业
巩固提高任务1：每位同学在以下方程中任选一个用配方法求解.任务2：阅读《一元二次方程求根公式的历史》.阅读赏析一元二次方程求根公式的历史完全的一元二次方程
求根公式最早出现在公元前一千多年的古巴比伦文献中，在求不完全的一元二次方程
的求根公式时，发现了它的求根公式为
，可悲的是当时世界上是清一色的不承认负根，自然不知道有两个根，只取一个正根并且二次项系数为1.欧几里得将几何法稍加改变为代数解法，相当于解二次方程使得公式它与现代求根的标准公式时完全一致的。希腊数学家海伦，曾“独具慧眼”的得到方程一个求根公式是，众所周知此公式是错误的，其错误原因是当时希腊人既不承认负数，又没有发现复数，其错误可以理解，“智者千虑，必有一失”。我国公元3世纪数学家赵爽（即赵君卿）著周髀算经里既发现又应用了形如的求根公式.
交
流独立完
成回顾总
结思
考计
算展
示汇
报讨
论交流心
得思
考展示汇
报思考回
答回顾思考回
答归纳概
括小组展示交
流推导计
算思考回答交
流畅所欲
言反思回
顾
每组学生自主编题，创设开放的情境.回顾配方法解一元二次方程一般步骤及每步算理为用配方法解含字母系数的一元二次方程做准备.活动二给出的三个方程分别将常数项、一次项系数、二次项系数一般化，让学生经历含一个字母系数的一元二次方程用配方法的求解过程.本题在求解的过程中引导学生对开平方的步骤是否能任意进行做认真的讨论，一方面是数学推导严密性本身的需要，另一方面也为引入一元二次方程根的判别式做好铺垫.当二次项系数是字母时，运用配方法求解过程中学生会经历异分母分式的通分、分式值为非负数的判断以及二次根式的化简问题，对每一个出现的问题均做细化的处理，帮助学生回忆相关知识，为后续求根公式的推导做好铺垫.引导学生把配方法引向求根公式，主动探究一元二次方程根与系数的关系.推导的过程由学生独立完成，体验中提升运算能力.运用流程图的形式呈现公式法解一元二次方程的步骤和过程，简洁、清晰、直观，锻炼学生的逻辑思维，为高中学习做铺垫.认识用配方法推导求根公式的意义，体会由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程.加深对公式结构的认识，理解的记忆公式.培养学生概括能力，养成良好的学习习惯．巩固本节课所学内容.渗透有关一元二次方程求根公式的相关历史，拓宽视野.
学生活动的说明
本节课主要安排了以下的学生活动：发现方程的解与一元二次方程的系数有关，激发学生的探究欲望；一元二次方程的各项系数由具体数值逐步过渡到一般化，再运用配方法求解，自主探究推导一元二次方程的求根公式，向学生渗透由特殊到一般的辩证唯物主义思想、分类讨论以及探索数学问题的一些常用方法.
教学设计的说明
本节课是一元二次方程求根公式的推导，通过回顾用配方法解一元二次方程，引导学生发现方程的根与一元二次方程的系数有关.进而将一元二次方程的系数一般化，逐步完成由简到繁、由易到难，由特殊到一般的过渡；引导学生自主探究推导出公式，进一步体会公式法由配方法产生，不仅在操作层面上理解求根公式，更在思维层面上认识求根公式的意义和作用.
板书设计
16.2用配方法推导一元二次方程的求根公式
注意：
复习回顾
提出问题
自主探究排难解惑
交流归纳揭示新知
总结反思感悟收获
总结反思感悟收获《用配方法推导一元二次方程求根公式》评析
《用配方法推导一元二次方程的求根公式》这节课意在通过学生配方，感知一元二次方程中系数与根之间的联系。课标中只要求学生会解数字系数的方程，对字母系数的方程没有要求。另外，分式运算、二次根式化简也是学生感到困难的地方。因此，不少老师会把这节课讲成“老师讲，学生听，从而被动接受求根公式”的授课模式。
吴颖老师这节课让学生充分的参与课堂教学，真正把课堂还给学生，注重求根公式的推导过程。从学生已有的知识结构和认知结构入手，进行教学设计。问题设计由简到繁、由易到难、由具体到抽象，使不同层次的学生在课上都能获得成功的喜悦。
结合诊断分析，合理设计教学
在讲授这节课之前，首先对已经学习求根公式的学生进行了调研，发现绝大多数学生不会用配方法推导一元二次方程求根公式，对学习求根公式的意义不理解。只觉得背求根公式麻烦，容易记混淆，因此在解题时部分学生不愿意用求根公式解题。吴颖老师在调研的基础上，进行了详细的分析，发现了学生学习中存在的主要问题，同时对所任教班级学生的基础知识、思维特点、探究意识等方面进行了认真的分析，根据学生的具体情况和教学内容特点合理设计教学。学生动脑、动手，感受学习求根公式的意义，让学生知道“为什么学？”。教学环节的设计以及教学问题的提出符合学生的知识结构和认知规律，符合因材施教原则。
抓住数学本质，提升数学素养
数学教学的根本是公理化和程序化，本节课是将一元二次方程的求解过程程序化。教学中吴老师引导学生不断将一元二次方程系数一般化。首先让学生自己编写一个数字系数的一元二次方程，小组合作确定求解，然后小组展示交流，让学生体会编写题目的系数不同，求解的结果就不同，甚至有的题目无解。感受方程系数直接影响方程根的情况。然后带领学生把方程系数逐步一般化，使方程中出现一个字母系数、两个字母系数直至三个字母系数的情况。为了不增大难度，吴老师把其他系数规定为1。然后把题目分成一星、二星、三星……,让学生自由选择用配方法解题。使不同层次的学生都能获得成功的喜悦。同时也为方程中含有a、b、c三个字母的一般方程配方推导做好铺垫。整个教学设计由易到难，由简到繁，有具体到抽象，层层深入。
教师不断引导学生认识到程序化的优势，减少做重复性的工作，使学生逐步认识学习求根公式的必要性和价值，抓住了数学的本质，提升了学生的数学素养和思维品质。
教师甜美亲和，教学自然流畅
这节课整体感觉是教师在不断与学生沟通交流中完成教学任务的。吴老师自始至终是在组织、倾听、质疑、提问。教师的教学状态甜美，语言非常具有亲和力。在尊重学生人格的基础上更加尊重学生的思维。小组合作学习落到实处，有“民主”有“集中”，突出学生的主体地位。为了使每个同学都积极地，有效地参与到学习中去，使本来枯燥乏味的教学内容变得有趣。教师在教学中设计了学生自己编题与小组为单位自主选题，然后展示、交流相结合。激发学生学习的主动性，提高学生数学学习的兴趣，发挥学生的主体作用。
总之这节课的设计符合新课标的教学理念，关注了学生的认知规律，调动了学生数学学习的主动性。(共29张PPT)
16.2
用配方法推导一元二次方程
的求根公式
内容和内容解析
目标和目标解析
教学流程
教学特色
教学问题诊断分析
教学支持条件分析
说课流程
内容和内容解析
一元二次方程的概念、一般形式、解法以及其简单应用.
方程、二次函数、不等式、其它学科的学习.
目标和目标解析
理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.
经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解
从具体到抽象，从特殊到一般的认识规律.
逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学
问题的一般方法.
用配方法推导一元二次方程的求根公式.
教学重点
教学难点
一元二次方程求根公式的推导过程.
教学重点与难点
了解一元二次方程的定义并掌握其一般形式，
会确定一元二次方程各项的系数.
掌握直接开平方法、配方法解一元二次方程.
大部分学生基础比较扎实，数学兴趣浓厚.
教学问题诊断分析
教学问题诊断分析
对本校九年级两个班共计72位同学做了一次调查，用配方法解方程：
结果仅有3位同学推导过程完全正确，正确率仅约为4.17%。我对其中的错误进行了简单分析：
教师启发与学生自主探究相结合.
教学方式
教学手段
多媒体辅助教学.
教学支持条件分析
一、
复习回顾
提出问题
二、
自主探究
排难解惑
五、
课后作业
巩固提高
三、
交流归纳
揭示新知
四、
总结反思
感悟收获
教学流程
请每位同学编一道一元二次方程，每个小组从中选择一个，用配方法求解，填写以下表格.
活动一
文字表述步骤
所编方程
每步依据
一、
复习回顾
提出问题
一、
复习回顾
提出问题
用配方法解一元二次方程
的步骤
整理为
的形式
方程两边都加上一次项系数一半的平方
化二次项系数为1
如果n≥0，开平方求出方程的解
如果n<0，那么原方程无实根
一、
复习回顾
提出问题
一元二次方程
a
b
c
a
1
1
1
b
1
1
1
c
1
b
c
a
1
c
a
b
1
二、
自主探究
排难解惑
活动二
每组同学在以下方程中任选一个
用配方法求解.
二、
自主探究
排难解惑
二、
自主探究
排难解惑
活动三
二、
探索新知
用配方法解方程：
由前面的探索我们发现，一元二次方程
（a≠0）的根是由方程未知数
的系数a、b、c决定的，由此我们得到了一元
二次方程的求根公式：
利用求根公式求一元二次方程的解的方法称为
公式法．
三、
交流归纳
揭示新知
四、
总结反思
感悟收获
知识
1.一元二次方程
的
求根公式：
2.用求根公式解一元二次方程的步骤（流程图）.
方法
(a≠0)
方程无
实数根
确定a、b、c的值
是
否
用求根公式解一元二次方程的流程图
四、
总结反思
感悟收获
1.每位同学在以下方程中任选一个用
配方法求解.
2.阅读一元二次方程求根公式的历史.
五、
课后作业
巩固提高
阅读赏析
一元二次方程求根公式的历史
完全的一元二次方程
求根公式最早出现在公元前一千多年的古巴比伦文献中，在求不完全的一元二次方程
的求根公式时，发现了它的求根公式为
，可悲的是当时世界上是清一色的不承认负根，自然不知道有两个根，只取一个正根并且二次项系数为1.
希腊数学家海伦，曾“独具慧眼”的得到方程
一个求根公式是
，众所周知此公式是错误的，其错误原因是当时希腊人既不承认负数，又没有发现复数，其错误可以理解，“智者千虑，必有一失”.我国公元3世纪数学家赵爽著《周髀算经》里既发现又应用了形如
的求根公式
.
