《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计说明
数学本质：在实验探究的基础上得出“大边对大角”的结论，从而继续将实验过程转化为几何证明过程。
地位和作用分析：本节课是新人教版八年级上册第11章的实验与探究内容。在教材的编排上是紧接着学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形而设置的。整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究。所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展。同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法。因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用。
教学目标分析：（1）知识与技能目标：①通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；②能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题（2）过程与方法目标：通过实验探究和推理论证，发展学生分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验。（3）情感与价值观目标：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。21世纪教育网版权所有
教学问题诊断：（1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏将实际的动手验证过程转化为几何证明的能力。在教学过程中直接体现出来的难点便是学生很难用几何语言去叙述辅助线的做法。而本设计是在利用几何画板动态演示的过程中让学生体会折痕即为辅助线，再辅以几个追加提问，让学生去思考辅助线实际上就是什么线，由此寻找到辅助线的作法，从而突破学生的认知难点。
教法特点：本次教学是以探究为主线，探究结论的应用为副线而展开的。所以本节课的教学不同于常规的新授课，除了获得本身的探究结论以外，更多的是要让学生从实验探究过程中获得解决数学问题的思想方法和经验。因此本次探究以学生自主探究为主，老师引导为辅。学生通过观察、猜想、实验、证明的过程得到结论。充分体现“在做中学”“在尝试中求真理”。在探究过程中给予学生充分的自主权，真正让学生亲身体验新知识发生、发展和最终的形成过程，从而体现学生的主体地位。同时在探究过程中老师又要适时点播实验的方法，引发学生进行有效的折纸实验，在问题的引导上面要力求引发学生进一步有效的类比思考。在折纸的方法上提倡利用多种不同的方法进行实验，从而提高学生思维的广度和深度。在折纸验证与几何证明的过渡中，学生的认知又会遇到一定的障碍，在这里充分利用几何画板的动态演示功能，让学生体会到折痕即为辅助线的经验，再辅以几个追加提问，让学生去思考辅助线实际上就是什么线，由此寻找到辅助线的作法，从而突破学生的认知难点。有了“大边对大角”的探究经验，学生不难在课后类比探究得出“大角对大边”。这样就对本次实验探究的方法进行了巩固。21教育网
预期效果分析：整个实验探究过程为-----观察、猜想、实验、证明。有了等腰三角形性质的类比，学生应该不难猜想到“大边对大角”的结论；同时在老师的引导下学生应该也能顺利完成几种不同的折纸实验；而在折纸验证与几何证明的过渡中由于学生几何经验的缺乏可能导致预期效果打折，所以此处在教学过程中应引起充分重视，在几何语言尤其是辅助线的叙述上老师一定要进行及时的规范。21cnjy.com
实验与探究教学的价值：数学活动课应该是老师常规教学经常忽略的部分，而数学活动课往往又渗透着重要的数学思想和方法。数学活动课的开展有利于真正实现从直观、想象到发现、猜想最后得到验证，亲历数学知识的建构过程，同时逐步掌握认识事物，发现真理的方式、方法。充分体现学生“做”数学的过程。数学活动课可以引导学生创造性地发现解决问题的有效途径，也可以完善学生的认知结构，培养学生动手实践、自主探究与合作交流的能力。本次实验探究也可以让教师的教学智慧得以开发，而且很大程度上补充了课堂的资源，活跃学生的身心，提高课堂的有效性，促进学生数学学习品质的提升，培养学生的创新意识和实践能力。21·cn·jy·com
三角形中边与角之间的不等关系
（人教版八年级上册第十一章 实验与探究）
第一部分 教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容
人教版八年级上册第十三章 实验与探究
(二)内容解析
本节课是新人教版八年级上册第11章的实验与探究内容。在教材的编排上是紧接着学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形而设置的。整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究。所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展。同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法。因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用。www.21-cn-jy.com
(三)教学重点
三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。
二、目标和目标解析
（一）目标
知识与技能：（1）通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；
（2）能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题
过程与方法： 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验。
情感与态度：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验
（二）目标解析
1.通过实验探究使学生得到“大边对大角”的定理。
2.让学生经历观察——猜想——验证——证明——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。
3.让学生通过翻折实验，寻找到证明“大边对大角”的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。
4.探究过程中培养学生分析问题，解决问题的能力，培养学生通过动手操作的能力，同时从动手过程中体会解决几何问题的策略和经验。【来源：21·世纪·教育·网】
5.在动手操作过程中让学生体会实验探究的乐趣，激发学生的探究精神和几何学习的兴趣。
三、教学问题诊断分析
（1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏将实际的动手验证过程转化为几何证明的能力。在教学过程中直接体现出来的难点便是学生很难用几何语言去叙述辅助线的做法。而本设计是在利用几何画板动态演示的过程中让学生体会折痕即为辅助线，再辅以几个追加提问，让学生去思考辅助线实际上就是什么线，由此寻找到辅助线的作法，从而突破学生的认知难点。
四、教学支持条件分析
根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．21·世纪*教育网
五、教学过程设计
知识回顾
等腰三角形具有什么性质？在探究过程中我们又采用了什么样的方法？
2. 三角形的一个外角与任意一个不相邻的内角之间有什么大小关系？
设计意图：通过知识回顾为本次探究做好知识和经验铺垫
二、课题引入
我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。如果两条边不相等，那么这两条边所对的角又会有什么关系呢？21教育网
如右图：在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C， （AB＞AC） ,∠C与∠B的有什么样的大小关系呢？ 【来源：21cnj*y.co*m】
设计意图：通过类比猜想，引出课题，点明本次探究的主题
三、实验探究
首先同学们动手制作一个如图所示的不等边三角形，并标上字母。（AB＞AC）
设计意图：为折纸探究做好准备
1.回顾探究，总结经验
同学们先来回顾我们是如何用折纸来探究“等边对等角”的。
几何画板演示等腰三角形折纸过程
发现：通过对折使点B与点C重合，发现∠B 与 ∠C 重合，最终得到∠B 与 ∠C相等。
设计意图：通过观察等腰三角形的折纸过程，类比寻找不等边三角形比较角大小的折纸方法。
2.总结经验，类比探究
类比等腰三角形性质探究过程中折纸的经验，我们是否可以同样通过折叠使点B与点C重合呢？从而比较出∠B与∠C的大小。请同学们分小组讨论交流，并说明自己是如何通过折纸比较∠B与∠C的大小的。21世纪教育网版权所有
学生活动：分小组交流讨论探究比较∠B与∠C大小的折纸方法，请学生上台展示讲解。
几何画板展示学生的折纸方法，让学生体会辅助线的做法。
思考：同学们体会一下折痕DE实际上就是BC边上的什么线？
设计意图：让学生从折纸实验中寻找比较∠B与∠C大小的方法，从中受到启发，找到证明的方法，几何画板展示和问题设置引导学生思考辅助线的作法。21*cnjy*com
试着将折纸过程转化为几何证明过程？
学生上台展示讲解证明思路，其他学生点评。
设计意图：通过学生点评让学生进行自我纠正。
思考： 我们沿着BC的垂直平分线折叠实现了∠B的转化，那么我们是否还可以沿着三角形的其它线折叠将∠C进行转化呢？小组讨论交流其它的折纸方法，并说明自己是如何比较∠B与∠C的大小的。www-2-1-cnjy-com
学生活动：分小组交流讨论其它的折纸方法，并让学生上台展示讲解。
设计意图：通过问题引发学生换位思考，寻找更多的折纸方法从而得到其它的证明方法，拓展学生思维的广度和深度。2-1-c-n-j-y
方法二：沿过点A的直线翻折使点C落到BC边上
几何画板演示方法二
思考：同学们体会一下折痕AD实际上就是BC边上的什么线？
如何确定点E的位置？
设计意图：通过几何画板的演示和几个追加问题，引导学生思考辅助线的作法和证明的思路。
学生活动：学生上台讲解证明过程，其他学生点评，老师总结
设计意图：让学生通过讲解和点评对证明过程进行自我规范
方法三：沿过点A的直线翻折使点C落到AB边上
几何画板演示方法三
思考：同学们体会一下折痕AD实际上就是∠BAC的什么线？
如何确定点E的位置？
设计意图：通过几何画板的演示和几个追加问题，引导学生思考辅助线的作法和证明的思路。
试着将折纸过程转化为几何证明过程？
学生上台展示证明过程，其他学生点评。
设计意图：通过学生点评让学生进行自我纠正，通过证明引发学生更深度思考，从而产生方法四和方法五。
学生展示讲解方法四和方法五
方法四：
方法五：
设计意图：开拓学生思维的广度和深度
结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）。21cnjy.com
设计意图：明确今天探究获得的新知
思考：既然有“大边对大角”，那么反过来有没有“大角对大边”呢？如图∠C＞∠B，AB和AC有怎样的大小关系？21·cn·jy·com
设计意图：通过类比思考，让学生课后继续探究证明“大角对大边”，培养学生独立探究的能力。
五．小结
（1）通过本次探究你获得了哪些新的知识？
（2）通过本次探究你有什么体会？
设计意图：通过小结让学生明确本次探究获得的新知，同时让学生体会本次探究中获得的经验和方法，从而体会探究中所蕴含的数学思想。2·1·c·n·j·y
课例《三角形中边与角之间的不等关系实验探究课》点评
本节课是一节数学实验探究课，授课老师通过类比思考引出课题，用精炼的语言启发学生观察猜想，并通过实验探究证明猜想。在这一过程中授课老师不露痕迹的在课堂中潜移默化的把数学思想方法渗透给学生，并且更难能可贵的是：授课老师把课堂的大部分时间留给学生，引导学生去探索不同的实验方法来寻求对结论的理论推导，并给予学生足够的时间去思考并展示自己的理论推导过程，使他们充分体会到由自主探索而获得知识这一过程的喜悦。而这一部分教学设计不管是学生活动的落实还是学生认知难点的突破，难度都要远大于普通的新授课，但听完本节课却让人感觉整节课层次分明，条理清晰，环环相扣。21世纪教育网版权所有
整个教学设计内在的逻辑线索很好的体现了本节课所要渗透的数学思想：“引导学生通过探索不同的实验方法来寻求对结论的理论推导，使学生在展示中体会成功的喜悦”。本节课各个环节问题的设置都能看出授课老师的良苦用心，可以说老师不断用问题的火花点燃了学生思维的火焰。如“我们在探究等腰三角形的性质时采用了什么方法？这条折痕实际是三角形的什么线？如何确定点E的位置？”等等。也正是老师这些针对性很强的问题的提出，对学生认知难点的突破，可以说起到了立竿见影的效果，充分体现了在问题的设置上面“让学生跳一跳就够得着”的效果。整个课堂在学生活动的落实上也充分调动了学生的积极性，以问题为引领，引发学生的有效思考和有效实验，很好地发挥了学生自主探究的能力。几次不同的折纸方法通过小组探究以后都让学生上台展示解说，在这个过程中学生不仅讲出了正确的折纸方法，而且还讲出了几次失败的折纸经历，不禁让人眼前一亮。在展示几何证明的过程中不仅让同学自己讲解，还让同学们来点评，这个过程也充分体现了以学生为主体的理念，调动了学生的积极性，引发了学生更深层次地思考，也正是这样深层次的思考引发学生自主发现了方法四与方法五的实验探究。21教育网
总而言之整节课给人的感觉是老师说出的方法和结论很少，绝大多数都是学生自己通过反复试验探究得到的，这样就真正让学生亲身体验到了新知识发生、发展和最终的形成过程，有利于培养学生的创新能力和终身学习的能力。21cnjy.com
课件13张PPT。三角形中边与角之间的不等关系一、知识回顾
1. 等腰三角形具有什么性质？在探究过程中我们又采用了什么样的方法？
2. 三角形的一个外角与任意一个不相邻的内角之间有什么大小关系？
二、课题引入
我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。如果两条边不相等，那么这两条边所对的角又会有什么关系呢？如右图：在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C， （AB＞AC） ,∠C与∠B的有什么样的大小关系呢？三、实验探究
首先同学们动手制作一个如图所示的不等
边三角形，并标上字母。（AB＞AC）
1.回顾探究，总结经验
同学们先来回顾我们是如何用折纸来探究“等边对等角”的。等腰三角形折纸.gsp发现：通过对折使点B与点C重合，发现∠B 与 ∠C 重合，最终得到∠B 与 ∠C相等。 2.总结经验，类比探究
类比等腰三角形性质探究过程中折纸的经验，我们是否可以同样通过折叠使点B与点C重合呢？从而比较出∠B与∠C的大小。请同学们分小组讨论交流，并说明自己是如何通过折纸比较∠B与∠C的大小的。
翻折1.gsp
思考：同学们体会一下折痕DE实际上就是BC边上的什么线？
试着将折纸过程转化为几何证明过程？思考：我们沿着BC的垂直平分线折叠实现了∠B的转化，那么我们是否还可以沿着三角形的其它线折叠将∠C进行转化呢？小组讨论交流其它的折纸方法，并说明自己是如何比较∠B与∠C的大小的。
方法二：沿过点A的直线翻折使点C落到BC边上
翻折2.gsp思考：同学们体会一下折痕AD实际上就是BC边 上的什么线？
如何确定点E的位置？
试着将折纸过程转化为几何证明过程？方法三：沿过点A的直线翻折使点C落到AB边上
翻折3.gsp思考：同学们体会一下折痕AD实际上就是∠BAC的什么线？
如何确定点E的位置？
试着将折纸过程转化为几何证明过程？方法四：
方法五：
结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）。
思考：既然有“大边对大角”，那么反过来有没有“大角对大边”呢？如图∠C＞∠B，AB和AC有怎样的大小关系？
五．小结
（1）通过本次探究你获得了哪些新的知识？
（2）通过本次探究你有什么体会？
