1．2 简单多面体
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在下列立体图形中，有5个面的是( )
A．四棱锥
B．五棱锥
C．四棱柱
D．五棱柱
答案：A
解析：柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．
2．下列说法错误的是( )
A．多面体是由若干个平面多边形围成的几何体
B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
答案：D
解析：根据多面体的概念知A说法正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱的条数、侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B说法正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C说法正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D说法错误．
3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱台的组合体
D．不确定
答案：A
解析：水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．
4．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该棱锥的高等于( )
A.
B.
C．1
D.
答案：B
解析：如图所示，正三棱锥P－ABC中，OP⊥面ABC，
∴点O为正三角形ABC的中心，连接OA，利用平面几何知识知正△ABC的高(中线长)等于，而OA是中线长的，所以OA＝.
在Rt△PAO中AP＝，OA＝，OA⊥OP，得OP＝.
5．正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，那么它的中截面面积为( )
A．2cm2
B．16cm2
C．25cm2
D．4cm2
答案：B
解析：如图所示，取A′A、B′B的中点分别为E、F，∴EF＝(3＋5)＝4(cm)．
∴S截＝42＝16(cm2)．
6．在侧棱长为2
的正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝20°，E、F分别是PB、PC上的点，过点A、E、F作截面AEF，则△AEF周长的最小值是( )
A．6
B．2
C．36
D．6
答案：B
解析：将正三棱锥侧面沿PA展开，转化为平面内问题解决．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如图所示，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是________．
答案：四棱锥
解析：剩余部分是四棱锥A′—BB′C′C.
8．已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2
，则它的斜高为________．
答案：2
解析：由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为2
，故斜高h′＝
＝2
.
9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是______________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
答案：②④
解析：还原成正方体考虑．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10.
已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)正方体ABCD－A1B1C1D1是直棱柱吗？是正棱柱吗？
(2)如图，平面BCEF将正方体ABCD－A1B1C1D1分成两部分后，各部分形成的几何体还是直棱柱吗？
解：(1)由于侧棱垂直于底面，所以正方体是直棱柱．又底面是正方形，所以正方体是正棱柱．
(2)被平面BCEF截成的两部分都是直棱柱，分别是直四棱柱ABFA1－DCED1、直三棱柱BB1F－CC1E.
11．如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，棱柱的高为12
cm，对角线AC1＝20
cm，BD1＝15
cm，求底面菱形的面积．
解：连接AC，BD.因为棱柱的底面为菱形，则AC⊥BD.
由直棱柱的定义，知CC1⊥AC，DD1⊥BD，
所以AC2＝AC－CC＝202－122＝256，即AC＝16
cm，
BD2＝BD－DD＝152－122＝81，即BD＝9
cm，
所以底面菱形的面积为
·AC·BD＝×16×9＝72(cm2)．
12．如图所示，在侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面三角形AEF周长的最小值．
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，其中∠AVA1＝120°，VA＝VA1＝2，
则线段AA1的长为所求截面三角形AEF周长的最小值．
取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，
可求得AD＝3，则AA1＝6.
所以截面三角形AEF周长的最小值为6.1．1 简单旋转体
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示，其中为圆柱体的是( )
答案：C
解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C.
2．下列几何体中，轴截面是圆面的是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
答案：C
解析：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，故选C.
3．给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，若以斜边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是由两个圆锥组成的组合体，故①错误；以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台，以其他的边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体不是圆台，②错误；③④是正确的．
4．给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱任意两条母线互相平行．其中不正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：根据圆柱的形成过程知①说法正确；圆柱的任意两条母线均是平行的，②④说法也正确；只有当连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段平行于旋转轴时，才是母线，所以③说法错误．
5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
A
B
C
D
答案：B
解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
6．有下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
答案：D
解析：对于①③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面上，当然有可能不是母线了，②④由母线的定义知正确．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是__________．
答案：圆台
解析：等腰梯形的对称轴为两底中点的连线，此线把等腰梯形分成两个全等的直角梯形，旋转后形成圆台．
8．矩形ABCD(不是正方体)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是__________．
答案：2
解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．
9．过长方体一个顶点的三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的半径为________．
答案：
解析：设长方体的对角线长为l，球的半径为R，则l＝2R.
∴4R2＝l2＝32＋42＋52＝50 R＝.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示的直角梯形ABCD，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转一周形成一个几何体，试说明该几何体的结构特征．
解：如图所示，过A，B分别作AO1⊥l，BO2⊥l，垂足分别为O1，O2，
则Rt△CO2B绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的几何体是圆台，Rt△DO1A绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥．
综上，可知所求几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．
11．已知一个圆锥的母线长为10
cm，母线与轴的夹角为60°，求该圆锥的高．
解：如图为圆锥的一个轴截面，其中母线PA＝10
cm，圆锥的高为PO，∠APO＝60°，
在Rt△AOP中，PO＝AP×cos60°＝10×＝5(cm)．
所以圆锥的高为5
cm.
12．圆台的两底面半径分别为5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台的两母线截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线距离分别是3cm和6cm，求截面面积．
解：
如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB1A1，OO1为圆台的高，取AB、A1B1的中点C、C1，则OC＝6cm，O1C1＝3cm.
∴AB＝2
＝16(cm)，
A1B1＝2
＝8(cm)，
CC1＝
＝＝(cm)．
∴S截＝(AB＋A1B1)CC1＝×(16＋8)×＝12
(cm2)．
