4．1 空间图形基本关系的认识
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列说法错误的是( )
A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内
B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行
C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行
D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交
答案：C
2．如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( )
A．l α
B．l α
C．l∩α＝A
D．l∩α＝B
答案：A
解析：∵l∩a＝A又a α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l α.
3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
答案：D
解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.
4．下面空间图形画法错误的是( )
A B
C D
答案：D
解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．
5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案：C
解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．
6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行、也可能异面
答案：D
解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．
答案：A∈l AB β α∩β＝l
8．设平面α与平面β相交于直线l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．
答案：M∈l
解析：因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.
9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
答案：②
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．
解：答案如图所示，
11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC 平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
12.如图，已知P 平面ABC，PA≠PB，CM是AB上的中线，PN⊥AB与N，求证：CM和PN是异面直线．
解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：
(1)若M、N重合，可得AN＝BN，
∴PN是线段AB的中垂线，
∴PA＝PB，与题设PA≠PB矛盾．
(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P 平面ABC矛盾．
所以CM和PN是异面直线．
证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM 平面ABC.
又∵PN⊥AB于N，
∴N∈平面ABC.
∵PA≠PB，∴AN≠BN.
∴N与M不重合，即N CM.
又∵P 平面ABC，∴CM和PN是异面直线．4．2 空间图形的公理
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列说法正确的个数为( )
①有三个公共点的两平面必重合；
②平面α和平面β只有一个公共点；
③三点确定一个平面．
A．1
B．2
C．3
D．0
答案：D
解析：①当这三个公共点共线时，两平面可以相交，但不重合，故①错误；②由公理3，知两个平面若有一个公共点，则必有无数个公共点，故②错误；③不在同一直线上的三点才能确定一个平面，③错误．故选D.
2．已知α，β表示两个不同的平面，l表示直线，A，B表示两个不同的点．给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；
②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l α，A∈l，则A α.
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：由公理2可知①正确；由公理3可知②正确；当点A为直线l与平面α的交点时，③错误．
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA，O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1，且射线OB，O1B1的方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
答案：D
解析：如图，在图1中OB∥O1B1，在图2中，OB与O1B1不平行．
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )
A．0°<α<90°
B．0°<α≤90°
C．0°≤α≤90°
D．0°<α<180°
答案：B
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.
5．如图，在四面体S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．以上都有可能
答案：B
解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知＝，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.
6．给出下列四个命题：
①不共面的四点中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确．②当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以②不正确；利用正方体模型，易知③不正确；由空间四边形，知④不正确．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．不共面的四点可以确定__________个平面．
答案：4
解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面．
8．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为__________；
(2)AD与BC′所成的角为__________．
答案：(1)60° (2)45°
解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
9．用一个平面去截一个正方体，截面可能是______．
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．
答案：①②③④
解析：
(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD共面．
设AB?β，CD?β，∴AC?β，
又E∈AC，∴E∈β.
又AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3，知B，E，D三点共线．
11.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必相交于一点．设AB∩CD＝M，
又AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
∴M在α与β的交线上．
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
即AB，CD，l共点．
12．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是△PAB和△PBC的重心，AC＝9.
(1)求MN的长；
(2)若点P，B的位置变化，会影响M，N的位置和MN的长度吗？
解：(1)如图，连接PM并延长交BA于E，连接PN并延长交CB于F，连接EF.
∵M，N分别是△ABP和△BPC的重心，故E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF＝AC，且EF∥AC.
又＝＝，
∴MN＝EF，且MN∥EF.
∴MN＝×AC＝AC＝3.
(2)由(1)知MN的长与B，P的位置无关，恒是定值．但若P，B位置发生变化，M，N的位置也会改变．
