5．1 平行关系的判定
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故3个．
2．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
答案：D
解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
答案：A
解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．
4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个
B．1个
C．无数个
D．以上都有可能
答案：D
解析：若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，所以选D.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在 B．有1条
C．有2条 D．有无数条
答案：D
解析：在AA1上取一点G，使得AG＝AA1，连接EG，DG，可证得EG∥D1F，所以E，G，D1，F四点共面，所以在平面ADD1A1内，平行于D1G的直线均平行于平面D1EF，这样的直线有无数条．
6．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE?EB＝AF?FD＝1?4，H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
答案：B
解析：由题意，知EF∥BD，且EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH与平面ADC不平行，故选B.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如果直线a，b相交，直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
答案：相交或平行
解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b与平面α的位置关系是相交或平行．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是________．
答案：平面A1C1B和平面A1C1D
解析：如图所示截面一定过A1，C1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A1C1B和平面A1C1D.
9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．
答案：12
解析：
如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，求证：MN∥平面OCD.
证明：如图，取OD的中点E，连接ME，CE.
∵M为OA的中点，N为BC的中点，
∴ME綊AD綊NC，∴四边形MNCE为平行四边形，
∴MN∥EC.
又MN 平面OCD，EC?平面OCD，∴MN∥平面OCD.
11．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．
求证：平面AFH∥平面PCE.
证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.
又FH 平面PCE，PC?平面PCE，所以FH∥平面PCE.
又E为AB的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE.
又AF 平面PCE，CE?平面PCE，所以AF∥平面PCE.
又FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
12.
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D1是线段A1C1上的一点，当为何值时，BC1∥平面AB1D1
解：当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
证明如下：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.5．2 平行关系的性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
答案：A
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH.
2．设平面α∥β，直线a?α，直线b?β，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a与b为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
答案：C
解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE?EA＝BF?FC，且DH?HA＝DG?GC
D．AE?EB＝AH?HD，且BF?FC＝DG?GC
答案：D
解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
答案：A
解析：当直线a?平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
答案：D
解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′，∴CE∥α.
C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.
∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
6．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为( )
A．16和12
B．15和13
C．17和11
D．18和10
答案：B
解析：
如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，
∴x2－81＝(28－x)2－25，
∴x＝15,28－x＝13.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．
答案：20
解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.
8．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边上的点，且它们共面，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH为菱形时，AE?EB＝________.
答案：m∶n
解析：因为AC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EF，AC?平面ABC，所以EF∥AC，所以＝ ①.同理可证＝ ②.又四边形EFGH是菱形，所以EF＝EH，由①②，得＝.又AC＝m，BD＝n，所以＝.
9．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
解析：如图，连接FH，HN，FN，由平面HNF∥平面B1BDD1，知当点M在线段FH上时，有MN∥平面B1BDD1.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10.
如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EF.求证：BB1∥EF.
证明：∵CC1∥BB1，CC1 平面BEFB1，BB1?平面BEFB1，
∴CC1∥平面BEFB1.
又CC1?平面CC1D1D，平面CC1D1D∩BEFB1＝EF，
∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.
11．如图，多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.
(1)证明：四边形ABED是正方形；
(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．
解：(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，
平面ABED∩平面DEFG＝DE，由面面平行的性质定理，得AB∥DE.
同理AD∥BE.
所以四边形ABED为平行四边形．
又AB⊥AD，AB＝AD，
所以四边形ABED是正方形．
(2)如图，取DG的中点P，连接PA，PF.
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE.
又AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP.
所以四边形ABFP为平行四边形，
所以AP∥BF.
在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.
故B，C，F，G四点共面．
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解：能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝
，MN＝2
，
∴A1H＝
.
∴S△A1MN＝×2
×
＝
.
故S A1MCN＝2S△A1MN＝2
.
