6．1 垂直关系的判定
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．给出下列命题：
①过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；
②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，而过这条直线可作无数个平面与已知直线平行，所以命题①错误；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，又过此点且在该平面内的直线有无数条，所以有无数条直线与已知直线垂直，命题②错误；易知命题③正确．
2．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
答案：D
解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC 平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．
3．如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥平面EFG
B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF
D．GD⊥平面SEF
答案：A
解析：折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.
4．如图，点A∈α，点B∈α，点P α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
答案：B
解析：连接BC，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
5．在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥PDF
B．DF⊥面PAE
C．BC⊥面PAE
D．AE⊥面APC
答案：D
解析：∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，又DF∥BC，
∴DF⊥面PAE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在( )
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
答案：A
解析：易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．在三棱锥P－ABC中，最多有__________个直角三角形．
答案：4
解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
8．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________．
答案：平面PBD⊥平面PAC
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
9．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②若a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；
③若a⊥α，b?β，a∥b，则α⊥β.
其中正确的命题是________(填序号)．
答案：③
解析：
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝＝.
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝＝，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE.
证明：(1)连接OE.因为O是AC的中点，E是PC的中点，所以OE∥PA.
又OE?平面BDE，PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)因为PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PO⊥BD.
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
又PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.
因为BD?平面BDE，
所以平面PAC⊥平面BDE.
12.
如图所示，已知三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.
(1)求证：AP⊥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.
证明：(1)∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，∴PC⊥BD.由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，又PA 平面PAC，∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA，DE∩BD＝D，∴AP⊥平面BDE.
(2)由BD⊥平面PAC，DE 平面PAC，得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.又由已知得，DE⊥AP，∴DE⊥DF BD∩DF＝D，
∴DE⊥平面BDF.又DE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF.6．2 垂直关系的性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．垂直
答案：A
解析：因为直线l⊥AB，l⊥AC，所以直线l⊥平面ABC，同理直线m⊥平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
2．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )
A．5
B．5
C．5
D．20
答案：C
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．
又△ABC为直角三角形，
∴O为斜边BA的中点．
在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴PO＝
＝5
.
3．已知平面α⊥β，直线l?α，直线m?β，若l⊥m，则l与β的位置关系是( )
A．l⊥β
B．l∥β
C．l?β
D．以上都有可能
答案：D
解析：若l垂直于两平面的交线，则l⊥β；若l平行两平面的交线，m垂直两平面的交线，则l∥β；若l就是两平面的交线，m垂直两平面的交线，则l?β.故这三种情况都有可能．
4．如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是( )
A．3
B．5
C．6
D．8
答案：D
解析：由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.
5．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案：D
解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a?γ，b?γ，∴l⊥γ.故命
题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l?α，l?β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.
6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案：A
解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__________．
答案：菱形
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC 平面PAC，所以AC⊥BD.
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
答案：5
解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
答案：①②④
解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
证明：∵PA＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴PA＝CA.
又F为PC的中点，∴AF⊥PC.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.
∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.
又AF⊥PC，AF∩EF＝F，
∴PC⊥平面AEF.
11．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.
(1)求证：AE∥平面BCD；
(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.
证明：
(1)取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，
所以DM＝1，DM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又DM?平面BCD，AE 平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，
所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.
因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，
所以CD⊥平面BDE.
因为CD?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.
12.如图所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ，(0<λ<1)．
求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
证明：∵AB
⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.又EF 平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
