7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )
A．1：3
B．1：6
C．1：8
D．1：4
答案：B
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则V三棱锥＝(ab)c＝.
又V长方体＝abc.故选B.
2．正四棱锥的侧棱长为2
，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )
A．3
B．6
C．9
D．18
答案：B
解析：如图所示O为正四棱锥底面中心，∠PCO＝60°，PC＝2
，则在Rt△POC中，PO＝3，OC＝，AC＝2
，AB＝＝，∴V锥＝×××3＝6，故选B.
3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26
B．28
C．30
D．32
答案：B
解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.
4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
答案：C
解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V＝V圆锥＋V圆柱＝×π×32×＋π×32×5＝57π.故选C.
5．已知圆柱的侧面展开图的面积为S，底面周长为c，它的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由题意知2πr＝c，所以r＝.又因为ch＝S，所以h＝.所以V＝πr2h＝π()2·＝，故选D.
6.
在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：从A点向BC作垂线，垂足为Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：V旋＝V大－V小＝π()2×2.5－π()2×1＝π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
答案：4
解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为×4×3＝6，由左视图，可知该三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为×6×2＝4.
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．
答案：54
解析：由题意知r?R＝1?3，r、R分别为上、下底面的半径，故(V－52)?V＝1?27，解出V＝54.
9．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________．
答案：V正方体＜V圆柱
解析：设正方体棱长为a，则圆柱高为a，又设圆柱底面圆的半径为r，则4a2＝2πra，即r＝.
∴V正方体＝a3，V圆柱＝πr2a＝a3.
∵4＞π＞0，
∴V正方体＜V圆柱．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥P－ABC的体积．
解：因为PA⊥底面ABC，且底面ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝××2××3＝.
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，
则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.
12.
如图，A1A是圆柱的一条母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．
解：因为VA1－ABC＝S△ABC·AA1，而A1A＝2，要使得三棱锥A1－ABC的体积最大，只需三角形ABC的面积最大．
记AB边上的高为CD，则S△ABC＝·AB·CD＝CD.
显然CD有最大值1，所以VA1－ABC＝×CD×AA1≤×1×2＝.
故三棱锥A1－ABC的体积的最大值为.7．1 简单几何体的侧面积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若圆柱的底面面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS
D.πS
答案：A
解析：设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，r＝.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S侧＝2＝4πS.
2．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
答案：C
解析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
3．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )
A．48(3＋)
B．48(3＋2)
C．24(＋)
D．144
答案：A
解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4
，则该正方体的棱长为( )
A.
B．2
C．4
D．2
答案：A
解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4
，可得a2＝2，即a＝.
5．如图是一个几何体的三视图，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案：B
解析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半，其中高为＝，故所求的体积为V＝××π×12×＝π.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．12＋2π
B．12＋π
C．38＋2π
D．38＋π
答案：C
解析：根据三视图可知此几何体的上部分是一个圆柱体，下部分是一个长方体，其表面积为S＝2π×1×1＋2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38＋2π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面积与侧面积的比是________．
答案：1∶2
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为2r，侧面展开图的弧长为2πr，所以圆锥的底面积与侧面积的比为πr2∶＝1∶2.
8．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，则该三棱锥的表面积为________．
答案：9＋6
解析：易知底面正三角形的中心到一边的距离为××2＝，则正三棱锥侧面的斜高为＝，所以S侧＝3××2×＝9，所以S表＝S侧＋S底＝9＋×(2)2＝9＋6.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
答案：64＋32
解析：
由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，SA＝AB＝BC＝4，则SB＝4，AC＝4，则该几何体的表面积S＝4×8＋×4×(8＋4)＋×4×(8＋4)＋×4×4＋×4×4＝64＋32.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，过圆锥高的两个三等分点分别作平行于底面的截面，两个截面将圆锥的侧面分成三部分，求这三部分的面积之比．
解：设圆锥的底面半径为r，由下而上两个截面圆的半径分别为r1，r2，相应两个圆锥VO1与VO2的母线长分别为l1与l2，
则圆锥VO2、圆锥VO1、圆锥VO的侧面积之比为πr2l2∶πr1l1∶πrl＝r2l2∶r1l1∶rl＝VO∶VO∶VO2＝1∶4∶9.
所以两个截面将圆锥的侧面分成的三部分由上而下的面积之比为1∶3∶5.
11．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．
解：
因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.
12．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大．
解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)，设所求的圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧＝2πrx.
∵＝，(由相似三角形可知)
∴r＝R－·x，
∴S圆柱侧＝2πRx－·x2.
(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高是x＝－＝，
当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．7．3 球的表面积和体积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )
A．8π B．6π C．4π D．π
答案：C
解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.
2．已知两个球的半径之比为1?3，那么这两个球的表面积之比为( )
A．1?9
B．1?27
C．1?3
D．1?1
答案：A
解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1∶r2＝1∶3，∴S1∶S2＝4πr∶4πr＝r∶r＝1∶9.故选A.
3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )
A．V正方体＝V圆柱＝V球
B．V正方体C．V正方体>V圆柱>V球
D．V圆柱>V正方体>V球
答案：B
解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a，R，r，则S正方体＝6a2，S球＝4πR2，S圆柱＝6πr2，由题意，知S正方体＝S球＝S圆柱，所以a＝r，R＝r，所以V正方体＝a3＝πr3，V球＝πR3＝πr3，V圆柱＝2πr3，显然可知V正方体4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案：C
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r，则r＝＝，所以该球的表面积为4πr2＝π.
5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( )
A．1：1
B．2：1
C．3：2
D．4：3
答案：C
解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r，则圆柱的底面圆半径为r，圆柱的高为2r，于是圆柱的全面积为S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，球的表面积为S2＝4πr2.
∵＝＝.
6．球O的截面把垂直于截面的直径分成1?3两部分，若截面圆半径为，则球O的体积为( )
A．16π
B.
C.
D．4
π
答案：C
解析：设直径被分成的两部分分别为r、3r，易知()2＝r·3r，得r＝1，则球O的半径R＝2，故V＝π·R3＝π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．
答案：100π
解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.
8．把直径分别为6
cm,8
cm,10
cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.
答案：6
解析：设大铁球的半径为R
cm，由πR3＝π×3＋π×3＋π×3，得R3＝216，得R＝6.
9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为__________．
答案：9π
解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得解得所以球的半径R＝＝.所以S球＝4πR2＝9π.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB将扇形分成两部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比．
解：△ABO旋转成圆锥，扇形ABO旋转成半球，设OB＝R.V半球＝πR3，V锥＝·R·R2＝R3，
∴(V半球－V锥)?V锥＝1?1.
11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10
cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．
解：设圆锥的底面半径为r，高为h.
∵2πr＝π·10，∴r＝2.
h＝＝4
.
∴该蛋筒冰淇淋的表面积S＝＋2π·22＝28π(cm2)．
体积V＝π·22×4
＋π·23＝(＋1)π(cm3)．
12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，
因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.
(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，
则外接球的半径r＝＝3，
因此外接球的体积V＝πr3＝×27π＝36π，
所以该几何体的外接球的体积是36π.
