2.2圆与圆的方程

2．3　直线与圆、圆与圆的位置关系(一)
时间：45分钟　满分：80分
班级________　　姓名________　　分数________
　
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程是(　　)
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
答案：D
解析：点P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，所以点P为切点，
从而圆心与P的连线应与切线垂直．
又因为圆心为(2,0)，所以·k＝－1，解得k＝，所以切线方程为x－y＋2＝0.
2．若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d，则d的取值范围为(　　)
A．[0,4]
B．[0,3]
C．[0,2]
D．[0,1]
答案：A
解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A(0，－1)在圆外，则当直线l经过圆心时，d最小，当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，即d的最小值为0，最大值为＝4，所以d∈[0,4]．
3．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则实数a的值为(　　)
A．±4
B．±2
C．±2
D．±
答案：C
解析：由题意，知直线方程为y－a＝x，即x－y＋a＝0.又直线与圆相切，所以＝，所以a＝±2.
4．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：C
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A.
B．1
C.
D.
答案：D
解析：圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.
6．关于x的方程x＋k＝有两相异实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．－＜k＜
B．－≤k≤
C．1≤k≤
D．1≤k＜
答案：D
解析：方程x＋k＝的相异两实根即为两曲线y＝x＋k与y＝(y≥0)交点的横坐标，画出两曲线观察，当直线y＝x＋k过点(－1,0)时，两曲线有两交点，此时k＝1，当直线与半圆相切时，＝1，k＝或k＝－(舍)．
所以当1≤k＜时，直线与半圆有两个不同的交点，即方程x＋k＝有两个相异实根．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
答案：x－y＋2＝0
解析：由题意，知圆心为(2,0)，圆心与点P连线的斜率为－，所以所求切线的斜率为，则在点(1，)处的切线方程为x－y＋2＝0.
8．直线l过点(－5，－10)，且在圆x2＋y2＝25上截得的弦长为5
，则直线l的方程为________．
答案：x－y－5＝0或7x－y＋25＝0
解析：设直线l的方程为y＝k(x＋5)－10，由题意知圆心到直线的距离d＝，即
＝，解得k＝1或k＝7.
9．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
答案：
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线和圆心(2,0)与点(1，)的连线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，)的直线的斜率为＝－，故所求直线的斜率为.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，求圆的方程
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，
∴a＋2b＝0.　①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.　②
∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，
∴()2＋2＝r2.　③
由①②③可得或，
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b.
∵直线过点A，∴1＋a＝b，即a＝b－1.　①
又圆心到直线的距离d＝，∴2＋2＝4，　②
由①②，得或.
12．一束光线由点M(25,18)出发，被x轴反射到⊙C：x2＋(y－7)2＝25上．
(1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程；
(2)求在x轴上反射点A的活动范围．
解：(1)M(25,18)关于x轴的对称点M′(25，－18)．
由题意知反射光线所在直线过M
′(25，－18)和圆心，则由两点式得＝，
∴x＋y－7＝0.
(2)设反射光线所在直线为y＝k(x－25)－18.
则≤5，
∴－≤k≤－.
当y＝0时，x＝＋25，又－≤k≤－，
∴1≤x≤.
即在x轴上反射点A的活动范围是从(1,0)到(，0)的线段．2．4　直线与圆、圆与圆的位置关系(二)
时间：45分钟　满分：80分
班级________　　姓名________　　分数________
　
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是(　　)
A．相切
B．内含
C．相交
D．相离
答案：B
解析：因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，所以两圆内含．
2．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是(　　)
A．相离
B．外切
C．相交
D．内切
答案：C
解析：圆x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1，圆x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为(0，－2)，半径为2.∴圆心距d＝＝<1＋2＝3，且>2－1＝1，∴两圆相交．
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0
B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0
D．4x－3y＋7＝0
答案：C
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
4．圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的公切线有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：D
解析：由题意，得两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4和(x＋2)2＋(y－2)2＝4，∴圆心距d＝＝5.∵5>2＋2，∴两圆相离，∴公切线有4条．
5．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋x－y＝0
B．x2＋y2－x＋y＝0
C．x2＋y2＋x－y＋＝0
D．x2＋y2＋x＋y＋＝0
答案：C
解析：利用圆系方程来求．
6．若M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　　)
A．(0，－1]
B．(0,1]
C．(0,2－
]
D．[0,2]
答案：C
解析：∵M∩N＝N，∴(x－1)2＋(y－1)2＝r2在x2＋y2＝4的内部．
∴d≤2－r，即≤2－r，∴0＜r≤2－
.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．
答案：
解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝＝.设公共弦的长为l，则l＝2＝.
8．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴<5－1或>5＋1，解得－24.
9．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．
答案：3
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知圆P：x2＋y2－2mx＋m2＝4与圆Q：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2，当m为何值时，两圆：(1)相离；(2)相交；(3)相切．
解：∵圆P的方程可化为(x－m)2＋y2＝4，
∴圆P的圆心为P(m,0)，半径为r1＝2　又圆Q的方程可化为(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，
∴圆Q的圆心为Q(－1,2m)，半径为r2＝3.
(1)∵两圆相离，
∴＞2＋3，解得m＞2或m＜－.
(2)∵两圆相交，
∴3－2＜＜2＋3，解得0＜m＜2或－＜m＜－.
(3)∵两圆相切，
∴＝2＋3或
＝3－2，解得m＝2、－或0、－.
11．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
圆心为.
由题意，得－＋－4＝0，
∴λ＝－7.
∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
12．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆相切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.2．2　圆的一般方程
时间：45分钟　满分：80分
班级________　　姓名________　　分数________
　
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　)
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆
答案：D
解析：将x2＋y2＋2x－4y－6＝0整理为标准方程(x＋1)2＋(y－2)2＝11.
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＜
B．m＜10
C．m＞
D．m≤
答案：A
解析：方程x2＋y2－x＋y＋m＝0，变形为(x－)2＋(y＋)2＝－m，方程表示圆，
∴－m＞0，即m＜.
3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A．2
B.
C．1
D.
答案：D
解析：因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离d＝＝.
4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a、b、c不全为零)与x轴相切于原点，那么(　　)
A．a＝c＝0，b≠0
B．a＝0，b≠0，c≠0
C．b＝c＝0，a≠0
D．a＝b＝0，c≠0
答案：A
5．方程|x|－1＝
所表示的曲线是(　　)
A．一个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
答案：D
解析：方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1.若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.方程表示两个半圆．
6．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)
A.
B．5
C．2
D．10
答案：B
解析：由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以C(2，－4)为圆心，半径等于4的圆，则D＝__________，E＝__________，F＝__________.
答案：－4　8　4
解析：因为圆心C(2，－4)，r＝4，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
整理得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0.
∴D＝－4，E＝8，F＝4.
8．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．
答案：7　3
解析：由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2.圆心O(0,0)到点A(3,4)的距离d＝＝5，直线OA与圆相交于两点，显然这两点中的其中一个与点A的距离最近，另一个与点A的距离最远，所以距离的最大值为d＋r＝5＋2＝7，最小值为d－r＝5－2＝3.
9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
解析：由题意，知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4.将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，所以a－b<1.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
又圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2×－－7＝0，
即D－＋7＝0.　①
又点A(0，－4)，B(0，－2)在圆C上，
∴，　②
由①②，解得D＝－4，E＝6，F＝8.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
11．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋5＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，
由①②③可得D＝－2,
E＝0,
F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
12．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立，解得，即圆心C为(－3,6)，
则半径r＝＝2.
又|AB|＝＝4，
∴圆心C到AB的距离d＝＝4，
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，
∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.2．1　圆的标准方程
时间：45分钟　满分：80分
班级________　　姓名________　　分数________
　
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.
2．圆C：(x－)2＋(y＋)2＝4的面积等于(　　)
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
答案：C
解析：由圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝4，知半径r＝＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.
3．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝(　　)
A．3
B．2
C．5
D．1
答案：A
解析：由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
4．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－4,3)
B．(－5,4)
C．(－5,5)
D．(－6,4)
答案：A
解析：由a2＋(a＋1)2<25，可得2a2＋2a－24<0，解得－45．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案：A
解析：利用平面几何知识得
r＝＝.
6．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是(　　)
A．(5,1)
B．(4,1)
C．(＋2，－3)
D．(3，－2)
答案：D
解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在的直线方程为y＝x－5，解方程组
得或，经检验点(3，－2)符合题意．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于第______象限．
答案：四
解析：(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
9．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
答案：5＋
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a,0)，
则＝，所以a＝－2.
半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
11．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由，解得，
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则 .
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
12．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解：设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.