3．1
空间直角坐标系的建立
3．2
空间直角坐标系中点的坐标
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )
A．(4,0,6)
B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6)
D．(－4,7,0)
答案：C
解析：点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．
2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，，0)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
答案：B
解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标
，z坐标
分别相等，∴Q(0，，)．
3．在空间直角坐标系中，y＝a表示( )
A．y轴上的点
B．过y轴的平面
C．垂直于y轴的平面
D．平行于y轴的直线
答案：C
解析：y＝a表示所有在y轴上的投影是点(0，a,0)的点的集合，所以y＝a表示经过点(0，a,0)且垂直于y轴的平面．
4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b
D．b>c>a
答案：C
解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．
∴a＝
，b＝
，c＝5.
5．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy,
xOz，yOz的距离分别为2,2,3的点有( )
A．1个
B．2个
C．4个
D．8个
答案：D
解析：分别为(3,2,2)、(3,2，－2)、(3，－2,2)、(3，－2，－2)、(－3,2,2)、(－3,2，－2)、(－3，－2,2)、(－3，－2，－2)
6．三棱锥O－ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)此三棱锥的体积为( )
A．1
B．2
C．3
D．6
答案：A
解析：OA，OB，OC两两垂直，VO－ABC＝··1·2·3＝1
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A(－2,4,0)，B(3,2,0)，则线段AB的中点坐标是________．
答案：
解析：由两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的中点坐标为，知线段AB的中点坐标是.
8．已知平行四边形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．
答案：(5,13，－3)
解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P，则P为AC，BD的中点．由A(4,1,3)，C(3,7，－5)，得点P的坐标为.又点B(2，－5,1)，所以点D的坐标为(5,13，－3)．
9．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．
答案：(2,0,3)
解析：由题意，知点M1的坐标为(－2,0，－3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，且正方体的棱长为1.请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及点E，F，G的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G.
11．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3，1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
12．如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.
又BC是圆O的直径，
所以|OB|＝|OC|.
又|AB|＝|AC|＝6，
所以OA⊥BC，|BC|＝6.
所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3.
如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．3．3 空间两点间的距离公式
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为( )
A.
B．25
C．5
D.
答案：C
解析：|AB|＝＝5.
2．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
答案：A
解析：由两点间的距离公式，得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．
3．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19
B．－
C.
D.
答案：C
解析：|AB|＝＝＝，∴当x＝时，|AB|最小．
4．在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离相等的点有( )
A．1个
B．2个
C．不存在
D．无数个
答案：D
解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y,0)，依题意得
＝，整理得y＝－，
x∈R，所以符合条件的点有无数个．
5．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆
B．直线
C．球面
D．线段
答案：C
解析：(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．
6．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为( )
A.
B．5
C.
D.
答案：D
解析：∵|AB|＝
＝
，∴当t＝时，|AB|min＝.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点P到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
答案：0或－4
解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为.又点P到线段AB中点的距离为3，所以
＝3，解得z＝0或z＝－4.
8．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
答案：
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是____________．
答案：(0，－1,0)
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．
解：
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M.
由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝，
∴MN的长为.
11．已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解：AB＝
＝
，
AC＝
＝
，
BC＝
＝
，
因为BC＞AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，
若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程无解；
若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．
所以不存在实数a，使A、B、C共线．
12.
如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；
解：由已知A(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0，a，a)，B(0,0，a)，
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(，，)，
设Q(0，a，z)，则PQ＝
，
当z＝时，PQ取到最小值为a，此时Q为CD的中点．
(2)当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0，a，)，设AP∶AB＝k，则xp＝a(1－k)，yp＝a(1－k)，zP＝ak，所以p点的坐标为(a(1－k)，a(1－k)，ak)，
所以PQ＝
，当k＝，即P为AB的中点时，PQ取到最小值a.
