单元测试一 简单几何体、直观图与三视图
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．集合A＝{斜棱柱}，B＝{直棱柱}，C＝{正棱柱}，D＝{正方体}．下面命题中正确的是( )
A．C?B?D
B．A∪C＝{棱柱}
C．C∪D＝{正棱柱}
D．B?D
答案：C
解析：简单的概念题，由概念入手就可以得到答案．
2．一空间几何体的三视图如图所示，主视图和左视图都是一样的图形，则该几何体为( )
A．圆锥和四棱柱的组合体
B．正方体和四棱锥的组合体
C．圆柱和四棱锥的组合体
D．圆柱和正方体的组合体
答案：C
解析：根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和四棱锥的组合体．
3．下列说法中不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台中平行于底面的截面是圆面
答案：C
解析：本题考查了对基本概念的理解，根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质知，应选C.
4．若正方体所有棱长和为24，则正方体的对角线长为( )
A．4
B．4
C.
D．2
答案：D
解析：∵正方体有12条棱，所有棱长都相等，所以正方体的棱长为2，对角线长为2
，故选D.
5．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是平行四边形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形且底面两条对角线相等的四棱柱
答案：D
解析：由正四棱柱的定义知，D正确；A、B可能是斜棱柱；C的底面不是正方形．
6．若一个正三棱锥的主视图的轮廓是一个等腰三角形，其虚线恰好是等腰三角形底边上的中线，则其左视图大致是( )
答案：D
解析：由主视图的虚线可确定底面正三角形的摆放位置如图所示，因为正三棱锥顶点到底面的投影是底面的中心，而从左视看正三角形的中心在底边靠近右边的一个三等分点，故答案选D.
7．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为( )
A．长方形和三角形
B．圆和正方形
C．椭圆和三角形
D．椭圆和长方形
答案：B
解析：根据三视图画法规则“长对正，高平齐，宽相等”，俯视图应与主视图同长为2，与左视图同宽为1，故不可能是圆和正方形．
8．A、B为球面上相异两点，则通过A、B可作的大圆个数为( )
A．1个
B．无数个
C．一个也没有
D．1个或无数个
答案：D
解析：当A、B是球的直径的两个端点时，过A、B的大圆有无数个，否则只有一个，故选D.
9．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8
cm
B．6
cm
C．2(1＋)
cm
D．2(1＋)
cm
答案：A
解析：根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8
cm.
10．如图，在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
答案：B
解析：截面所截得的圆不与侧棱相切，与底面和侧面的高相切．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为________．
答案：a2
解析：如图所示，△A′B′C′即为所求的截面图形．由三角形中位线性质定理，得△A′B′C′∽△ABC，且对应边长之比为1?2.故＝()2＝.又因为S△ABC＝×a×a＝a2，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝a2.
12．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是__________．
答案：2
解析：设圆锥的高是x，底面半径是r，则·2r·x＝8，即rx＝8.因为r＝，代入上式，得·x＝8，所以x＝2
.
13．某水平放置的四边形OABC的直观图是四边形O′A′B′C′，其中在斜二测画法的坐标系中，A′(2,0)，B′(1,1)，C′(0,1)，O′(0,0)，则四边形OABC的面积是________．
答案：3
解析：该四边形是直角梯形，它的面积S＝×(1＋2)×2＝×2＝3.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．若两个长方体的长、宽、高分别为5
cm、4
cm、3
cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，求大长方体的对角线最长为多少？
解：两个长方体拼在一起有三种情况
＝5
①
＝7
②
＝③
显然第一种最长，所以最长的对角线为5
cm.
15．如图是棱长为3的正方体截下来的一个四棱锥．
(1)请作出它的三视图；
(2)用几个这样的几何体可拼成边长为3的一个正方体？
解：(1)三视图如下：
(2)用三个，下图中三个四棱锥分别是A－BCGF，A－DCGH，A－EFGH.
16．有一个半径为72的扇形，剪去一个小扇形OCD后剩下的扇环ABDC，如图，设扇环ABDC的面积为648π，如果把这个扇环卷成一个圆台的侧面，则圆台的下底半径与上底半径之差是6，求圆台侧面展开图的中心角和圆台的高．
解：设圆台上底半径为r，下底半径为R，高和母线分别为h、l，展开图的中心角为θ.则
∴r＝6，l＝36.
∴h＝6，θ＝＝＝＝30°.
∴中心角为30°，高为6.
17．如图所示，一个正三棱锥A－BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，过B点作与侧棱AC、AD相交的截面BEF.在这个截面三角形中，求：
(1)周长的最小值；
(2)周长最小时截面的面积．
解：(1)将三棱锥的侧面展开，如图(1)所示要使周长最小，则三边BE，EF，FB′共线，又△ABB′为等腰三角形，△ABE≌△AB′F.
∴△AEF为等腰三角形，∴EF∥CD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△ABC∽△BCE∽△AEF，
∴＝，＝，又AB＝2a，BC＝a，
CE＝AB－AE＝2a－AE，代入上述比例式中得
AE＝a，EF＝a，又∠3＝∠4，
∴BC＝BE＝a，B′F＝B′D＝BC＝a.
∴BB′＝BE＋EF＋FB′＝a.
即最小周长为a.
(2)由(1)知：BE＝B′F＝a.
∴截面△BEF为等腰三角形，如图(2)所示．
过B作BG⊥EF于G.
则BG＝＝＝a，∴S△BEF＝BG·EF＝a2.
即截面三角形周长最小时截面的面积为a2.
18．桌面上有三个半径均为r的小球，它们两两相切，现有第四个半径为r的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离．
解：如图所示，设桌面上三个小球的球心分别为O1，O2，O3，第四个小球的球心为O4.因每两个小球都相切，所以O1，O2，O3，O4构成一个棱长都为2r且各面都全等的正三角形的三棱锥．
设O4在平面O1O2O3的正投影为O，则O4到桌面的距离为O4O＋r.
连接O3O，由于O为正三角形△O1O2O3的中心，
∴OO3＝××2r＝r.
∴O4O＝
＝r.
因此，第四个小球的球心离桌面的距离为
r.单元测试三 简单几何体的面积和体积
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个大球的半径为( )
A．2
B.
C.
D.
答案：C
解析：根据体积不变：π×13×2＝πr3，解得r＝.
2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4，x，表面积为108，则x等于( )
A．2
B．3
C．5
D．6
答案：D
解析：该长方体的表面积为2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.
3．设等腰梯形ABCD是圆台的一个轴截面，且AD∥BC，AB＝3，AD＝2，BC＝4，则圆台的侧面积为( )
A．9π
B．10π
C．14π
D．18π
答案：A
解析：由圆台的轴截面及相关数据知圆台的底面半径分别为1,2，母线长为3，则圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝π(1＋2)×3＝9π.
4．过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：正方体的对角线长等于球的直径，该球的半径为R，则a＝2R，所以球的表面积为S＝4πR2＝π·(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1.
5．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )
A．3
＋
B.＋3
C．2
＋3
D．3
＋2
答案：B
解析：该几何体是上面是正四棱锥，下面为正方体的组合体，体积为V＝()3＋×()2×＝3
＋.
6．一个棱长为a的正方体的顶点都在一个球面上，该球的表面积为3π，则a等于( )
A．1
B.
C.
D．2
答案：A
解析：正方体的对角线长等于球的直径，该球的半径为R，则a＝2R，所以球的表面积为S＝4πR2＝π·(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1.
7．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积比是( )
A．1：2：3
B．1：7：19
C．3：4：5
D．1：9：27
答案：B
解析：考查几何体的体积．可以直接求，也可以用间接法．本题还可以选取特例或特殊值．
根据锥体的平行截面性质，如图所示，三个圆锥高的比是1：2：3，从而它们的体积比是1：8：27.圆锥被分成的三部分的体积的比是1：7：19.
8．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，高为1，M为线段AB的中点，则三棱锥C－MC1D1的体积为( )
A.
B.
C．1
D.
答案：D
解析：S△C1D1C＝×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝S△C1DC·h＝×1×2＝.
9．已知轴截面是正方形的圆柱，高与球的直径相等，则圆柱的表面积和球的表面积的比是( )
A．6?5
B．5?4
C．4?3
D．3?2
答案：D
解析：设球半径为R，则圆柱的高为2R，底面圆的半径为R，＝＝.
10．球面上有A，B，C三点，AB＝AC＝2，BC＝2
，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为( )
A．4π
B．6π
C．12π
D．4
π
答案：C
解析：由题意知AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，故△ABC所在圆的圆心在斜边BC的中点处，则有R2＝12＋()2＝3，所以S球＝4πR2＝4π×3＝12π，故选C.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．一个球的表面积是144πcm2，它的体积是________．
答案：288πcm3
解析：由公式得S＝4πR2＝144π，故R＝6.则V＝R3＝×63＝288π.
12．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝________.
答案：1＋
解析：该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，体积V＝1＋×1×＝1＋.
13．现要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，那么仓库的容积的最大值是________m3.
答案：300
解析：设仓库的长为x，则仓库容积为3x(20－x)＝－3x2＋60x＝－3(x－10)2＋300，所以当仓库底面为一边长为10m的正方形时，容积最大为300m3.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知圆台的上、下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．
解：设圆台的上、下底面半径为r、R，母线为l，则有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝＝＝.即该圆台的母线长为.
15．长、宽、高分别为80
cm,60
cm,50
cm的水槽中有水216
000
cm3.
(1)求水槽中水面高度；
(2)现在水槽中放入一个直径为30
cm的铁球，求此时水面的高度(结果保留一位小数)．
解：设水面高度为x
cm，
(1)由80×60x＝216
000得x＝45，所以水面高度为45
cm.
(2)球体积为πr3＝4
500π，水槽体积为80×60×50＝240
000，
由于240
000－216
000＝24
000>4
500π，所以80×60x＝216
000＋4
500π，x＝45＋π≈47.9
此时水面高度约为47.9
cm.
16．已知三棱柱三个侧面都是矩形，若底面的一边长为2
cm，另两边长都为3
cm，侧棱长为4
cm，求它的体积和表面积．
解：由题意设AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，则底面BC边上的高为＝2，
所以体积为V＝×2×2×4＝8
cm3，
表面积为S＝2××2×2＋(3＋3＋2)×4＝4＋32(cm2)．
17．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积．
解：(1)
如图所示，作轴截面，⊙O1内切于△ABC.设⊙O的半径为R，由题意，得πR3＝972π，R3＝729，R＝9，∴CE＝18.由已知CD＝16，故ED＝2.连结AE，∵CE是⊙O的直径，∴CA⊥AE，又AB⊥CE，∴CA2＝CD·CE＝16×18＝288，CA＝12
.AD2＝CD·DE＝16×2＝32，AD＝4
.
于是S圆锥侧＝π×4
×12
＝96π.
(2)设内切球半径为r.
∵△ABC的周长为2×(12
＋4
)＝32
，
∴r×32
＝×8
×16.
∴r＝4，于是V内切球＝πr3＝π.
18．斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC的射影O是△ABC的中心，AA1与AB的夹角为45°.
(1)求证：AA1⊥面A1BC；
(2)求此棱柱的侧面积；
(3)求此棱柱的体积．
解：(1)如图所示，
∵底面△ABC为正三角形，点A1在面ABC上的射影点O为△ABC的中心，
∴点O在AD上，(D为BC中点)．
∵AD⊥BC，∴BC⊥AA1.
又∵A1点在面ABC上射影点O为△ABC的中心，而△ABC为正三角形，OA＝OB，
∴A1A＝A1B.又∵∠A1AB＝45°，
∴△A1AB为等腰直角三角形，即AA1⊥A1B.
∵AA1⊥BC，A1B∩BC＝B，
∴AA1⊥面A1BC.
(2)∵底面△ABC为正三角形，且点A1在面ABC上的射影点O为△ABC的中心，
∴侧面AA1B1B与侧面AA1C1C全等，由(1)知侧面BB1C1C为矩形．
∵AB＝2，
∴S AA1C1C＝2S△AA1B
＝2×()2×
＝2，
S BB1C1C＝2×＝2
.
∴S侧＝2×2＋2
＝4＋2
.
(3)∵A1O＝＝
＝，
∴V棱柱＝Sh＝·AB2·＝×4×＝.单元测试二 点、线、面之间的位置关系
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α
B．M∈a，a α
C．M a，a α
D．M a，a∈α
答案：B
2．下列说法正确的是( )
A．经过空间三点有且只有一个平面
B．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面
C．若三条直线两两相交，则这三条直线共面
D．经过两条平行直线有且只有一个平面
答案：D
3．a、b是异面直线，则( )
A．存在α⊥a，α⊥b
B．一定存在a α且b⊥α
C．一定存在a α且α∥b
D．一定存在α∥a且α⊥b
答案：C
解析：A与线面垂直性质定理矛盾；B当a与b不垂直时不成立；D不一定成立．
4．若平面α外有一条直线l与α内的两条平行线都垂直，则( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α斜交
D．以上都有可能
答案：D
解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定l与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．
5．下列说法不正确的是( )
A．同一平面内没有公共点的两条直线平行
B．已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
C．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是CC1的中点，则直线AE，D1F异面
D．梯形一定是平面图形
答案：C
6．直线l不垂直于α，则α内与l垂直的直线有( )
A．0条
B．1条
C．无数条
D．α内所有直线
答案：C
解析：不管l与平面α关系如何，过l一定可找到一平面β，在β内可做一直线l′⊥l，然后将l′平行平移到α内，再在α内作l′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与l垂直．故选C.
7．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
答案：C
解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
8．如右图所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一个动点，则AP＋PD的最小值为( )
A.
B．2
C．3
D.
答案：D
解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE∥BC，延长DC交AE于E，则AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝＝.
9．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，若AB＝10，＝，则AC等于( )
A．5
B．10
C．15
D．20
答案：D
解析：连接AF交β于G，连接AD，BG，GE，CF，在△ACF中，由β∥γ得BG∥CF，∴＝，在△AFD中，由α∥β得AD∥GE，∴＝，∴＝＝，又AB＝10，∴AC＝20.
10．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出AB⊥CD的是( )
答案：A
解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．在棱长都相等的三棱锥P－ABC中，相互垂直的棱的对数为__________．
答案：3
12．已知∠ABC＝120°，∠ABC与∠A1B1C1的两边分别平行，则∠A1B1C1＝________.
答案：60°或120°
13．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的________．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)
答案：垂心
解析：如图所示，
∵PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，BC 平面PBC，
∴BC⊥PA.又∵BC⊥PH
∴BC⊥平面PAH，AH 平面PAH
∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB.
∴H是△ABC的垂心．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．如图所示，已知三角形ABC中∠ACB＝90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC.
证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.
又SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.
∴BC⊥面SAC，
∴BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，
∴AD⊥面SBC.
15．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN.求证：MN∥平面BB1C1C.
证明：如图所示
作NE∥AB交BC于E，作MF∥AB交B1B于F，连结EF，则NE∥MF.
∵NE∥AB，∴＝
又MF∥AB∥A1B1，
∴＝
∵CA＝BA1，AN＝A1M，
∴CN＝BM.
∴＝.
又AB＝A1B1，∴NE＝MF.
∴四边形MNEF是平行四边形，∴MN綊EF.
又MN 平面B1BCC1，EF 平面B1BCC1，
∴MN∥平面B1BCC1.
16.
如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝，CE＝2，G、F分别为BE、BC的中点．求证：
(1)AB⊥平面ACED；
(2)平面BDE⊥平面BCE.
解：(1)∵AD⊥平面ABC，AD 平面ACED，∴平面ABC⊥平面ACED，
∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC，
∵平面ABC∩平面ACED＝AC，AB 平面ABC，∴AB⊥平面ACED.
(2)∵AB＝AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC.
∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥AF，又∵BC∩CE＝C，∴AF⊥平面BCE，
又GF是△BCE的中位线，∴GF綊CE.
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD＝1，CE＝2，∴AD綊CE，
∴AD綊GF，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，
∴GD⊥平面BCE，又GD 平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE.
17.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．
(1)求证：CD∥平面A1EB；
(2)求证：AB1⊥平面A1EB.
解：(1)设AB1和A1B的交点为O，连结EO、OD，
∵O为AB1的中点，D为AB的中点，∴OD∥BB1，且OD＝BB1.
又E是CC1中点，
∴EC∥BB1，且EC＝BB1，∴EC∥OD且EC＝OD.
∴四边形ECDO为平行四边形，∴EO∥CD.
又CD 平面A1BE，EO 平面A1BE，则CD∥平面A1BE.
(2)∵三棱柱各侧面都是正方形，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.
∴BB1⊥平面ABC.
∵CD 平面ABC，∴BB1⊥CD.
由已知得AB＝BC＝AC，∴CD⊥AB，∴CD⊥平面A1ABB1.
由(1)可知EO∥CD，∴EO⊥平面A1ABB1，∴EO⊥AB1.
∵侧面是正方形，所以AB1⊥A1B.
又EO∩A1B＝O，EO 平面A1EB，A1B 平面A1EB，
∴AB1⊥平面A1BE.
18．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；
(2)证明：直线BD⊥平面PEG.
解：(1)该安全标识墩左视图，如图所示．
(2)证明：由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又ABCD－EFGH为长方体，
∴BD∥FH，
设点O是EFGH的对称中心，
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH 平面EFGH，
∴PO⊥FH.
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO 平面PEG，EG 平面PEG，
∴FH⊥平面PEG.
而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.单元测试五 圆与圆的方程
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．过点A(1,2)，且与两坐标轴相切的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x－1)2＋(y－3)2＝2
C．(x－5)2＋(y－5)2＝25
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
答案：A
解析：由图形易知满足此条件的圆有两个．
2．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
答案：B
解析：4－3<5<4＋3.
3．过圆x2＋y2＝25上一点P(－4，－3)的圆的切线方程为( )
A．4x－3y－25＝0
B．4x＋3y＋25＝0
C．3x＋4y－25＝0
D．3x－4y－25＝0
答案：B
解析：k＝＝，则切线的斜率为－，且经过(－4，－3)这一点，直线方程为4x＋3y＋25＝0.
4．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋1＝0对称，则a＋b等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
答案：C
解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝.
5．以A(－1,2)，B(5，－6)为直径两端点的圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝25
B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝25
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25
D．(x＋2)2＋(y－2)2＝25
答案：A
解析：A(－1,2)，B(5，－6)两点连线的中点为圆心，其圆心坐标为(2，－2)，可知选A.
6．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相切，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．以上皆有可能
答案：A
解析：∵直线与圆相切，
∴＝1，
P(a，b)到圆心的距离d＝＝1，
∴点P在圆上．
7．圆心为A(1，－2)且与直线x－3y＋3＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10
答案：B
解析：圆半径r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10.
8．直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长等于2
，则a的值等于( )
A．1或3
B.或－
C.
D．－1或3
答案：A
解析：由题意|a－2|2＋()2＝22，解得a＝1或3.
9．若直线－2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的周长，则＋的最小值是( )
A．4
B．2
C.
D.
答案：A
解析：由题意可知，直线过圆心得a＋b＝1.
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2
＝4.
10．直线y＝－x＋b与曲线y＝有且只有两个公共点，则b的取值范围是( )
A．2＜b＜2
B．2≤b＜2
C．2≤b≤2
D．2＜b≤2
答案：B
解析：由图可知，2≤b<2.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．以点C(－3,4)为圆心，2
为半径的圆的方程是________．
答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝12.
12．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＝4上，则|PQ|的最小值是________．
答案：3
－6
解析：P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心O1(4,2)，半径为3.
Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＝4上，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，圆心O2(－2，－1)，半径为3，
∴|O1O2|＝
＝＝3
.
∴|PQ|min＝|O1O2|－R1－R2＝3
－6.
13．直线mx＋ny＝1与圆x2＋y2＝4的交点为整点(横纵坐标均为整数的点)，这样的直线的条数是________条．
答案：8
解析：圆上的点为整点的有四个(±2,0)，(0，±2)，显然直线mx＋ny＝1不能过原点．若直线与圆有两个交点，则这样的直线有4条；若直线与圆相切，则这样的直线也有4条，故8条直线．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．求过点A(1,6)和B(5,6)且与直线2x－3y＋16＝0相切的圆的方程．
解：显然圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上
设圆心为(3，b)，半径为r，则(x－3)2＋(y－b)2＝r2，得(1－3)2＋(6－b)2＝r2，而r＝，
∴b＝3，r＝，
∴(x－3)4＋(y－3)4＝13.
15．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.
(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程；
(2)求它们的公共弦长．
解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；
②－①得：2x＋y－5＝0为公共弦所在直线的方程；
(2)弦长的一半为＝，公共弦长为2.
16．求以两圆C1：x2＋y2＋2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x－5＝0的交点为直径的圆的方程．
解：设过C1、C2交点的圆的方程为：
x2＋y2＋2x－3＋λ(x2＋y2－4x－5)＝0，
整理即得圆心为(－，0)．
又∵两圆公共弦为3x＋1＝0，圆心在公共弦上，
∴－3×＋1＝0，∴λ＝.
∴所求圆的方程为9x2＋9y2＋6x－31＝0.
即x2＋y2＋x－＝0.
17．已知曲线C：x＝
与直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，求实数k的取值范围．
解：曲线C的方程可化为x2＋y2＝4，x≥0，∴曲线C表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆的右半部分，直线过定点M(1,3)．如图所示．
由图可得kAM＝1，kBM＝5，∴1≤k＜5.
又＝2，化简得3k2＋6k－5＝0，
解得k＝－1±(舍去正根)．
综上，实数k的取值范围是1≤k＜5或k＝－1－.
18．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，
圆心为(－1,2)，半径为.
当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，
则＝.
所以k＝2±，即切线方程为y＝(2±)x.
当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，
则＝.所以a＝－1或a＝3，
即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
所以切线方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)设P(x1，y1)．∵|PO|2＋r2＝|PC|2，
∴x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，
即2x1－4y1＋3＝0.
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，
即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(－，)．单元测试四 直线与直线的方程
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )
A．45°
B．135°
C．90°
D．180°
答案：A
2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为( )
A．x－y＋3＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－3＝0
D．x＋y－1＝0
答案：D
3．直线x＋ay－6＝0和直线(a－4)x－3y＋2a＝0平行，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或3
D．－1或3
答案：A
解析：当a＝0时，两直线方程分别为x＋6＝0和－4x－3y＝0，不平行；当a≠0时，＝≠，解得a＝1.
4．已知点A(－1,1)和B(1,7)，则原点O到直线AB的距离为( )
A.
B.
C．3
D．5
答案：B
解析：直线AB的方程为3x－y＋4＝0，d＝＝.
5．直线a2x－2y＋2＝0和直线x＋ay＋1＝0互相垂直，则a的值为( )
A．0或2
B．0
C．2
D．－2或0
答案：A
解析：当a＝0时，y＝1与x＝－1垂直；当a≠0时，×＝－1，a＝2.
6．两平行线l1：x－y＋2＝0与l2：2x＋ay＋c＝0(c>0)之间的距离是，则的值是( )
A.
B．1
C．－1
D．－
答案：D
解析：根据两直线平行得：＝≠，所以a＝－2，又两直线的距离是，所以有：＝，即|c－4|＝4，所以c＝8或c＝0(舍去)，所以a＝－2，c＝8代入＝＝－.
7．点(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( )
A．(－6，－8)
B．(－8,6)
C．(6,8)
D．(－6,8)
答案：A
解析：设点(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0对称点的坐标为(x0，y0)，
则
解得.
8．若点A(2，－3)、B(－3，－2)，直线l经过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≤－4或k≥
B．－4≤k≤
C．k＝－
D．－≤k≤4
答案：A
解析：因为kAP＝＝，kBP＝＝，所以k≤－4或k≥.
9．若ac＞0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0不通过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：A
解析：直线ax＋by＋c＝0与x轴交点为(－，0)，与y轴交点为(0，－)．因为ac＞0，bc＞0，所以直线如图所示．
10．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，(2a－1)x＋5ay－1＝0化为a(2x＋5y)－x－1＝0，过定点B(－1，)．|AB|＝＝，故选C.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．经过点A(－2,1)和B(1,2)的直线的一般式方程是________．
答案：x－3y＋5＝0
解析：代入两点式方程，再化为一般式方程．
12．已知直线(2＋m－m2)x－(4－m2)y＋m2－4＝0的斜率不存在，则m的值是__________．
答案：－2
解析：该方程表示直线时，2＋m－m2和－(4－m2)不能同时为0，又因为该直线斜率不存在，因此必有－(4－m2)＝0，于是得
解得m＝－2.
13．已知l1，l2是分别经过A(2,1)，B(0,2)两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是__________．
答案：2x－y－3＝0
解析：由平面几何知识，得当l1⊥AB时，l1，l2之间的距离最大；∵A(2,1)，B(0,2)，∴kAB＝－，kl1＝2；则直线l1的方程是y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知点A(－1，－2)和B(－3,6)，直线l经过点P(1，－5)．
(1)若直线l与直线AB平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)kAB＝＝－4，所以直线l与直线AB平行时直线l的方程为y＋5＝－4(x－1)，化简后得：4x＋y＋1＝0.
(2)根据P，A，B的位置分析可知，当直线l与线段AB相交时，kPA≤k≤kPA，
因为kPA＝＝－，kPB＝＝－，
直线l的斜率k的取值范围为.
15．一直线过点A(－2,2)且与两坐标轴围成的三角形面积是1，求此直线的方程．
解：设所求直线方程为＋＝1.
∵点A(－2,2)在直线上，∴有－＋＝1.①
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①、②，可得
③
或 ④
由③解得或
方程组④无解．
∴所求直线方程为：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
16．过点P(0,3)作直线l，分别交直线x－2y－2＝0和x＋y＋3＝0于A、B两点，若P为线段AB的中点，求直线l的方程．
解：如图，设l与x－2y－2＝0的交点为A(x1，y1)，则l与x＋y＋3＝0的交点为B(－x1,6－y1)，由，得交点A(，)，故所求l的方程为＝，即x＋10y－30＝0.
17．如图所示，△ABC中，已知顶点A(4,4)，∠B的平分线所在直线方程l1：x－y－4＝0，∠C的平分线所在直线方程l2：x＋3y－8＝0，求三角形三边所在直线的方程．
解：设A关于l1：x－y－4＝0的对称点为A1(x1，y1)，则有
解得，即A1(8,0)．
又设A关于l2：x＋3y－8＝0的对称点为A2(x2，y2)，则有
解得，
即A2.
∴A1A2的方程，即BC方程为：x－7y－8＝0.
由得B(，－)，
由得C(8,0)．
故直线AB的方程为7x－y－24＝0，直线AC的方程为x＋y－8＝0，直线BC的方程为x－7y－8＝0.
18．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴a＝2，方程为3x＋y＝0，
若a≠2，则＝a－2，即a＝0，
方程为x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或
∴a≤－1.
