第三节 离心现象及其应用
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道什么是离心现象.2.理解物体做离心运动的条件．(重点)3.会用所学知识解决生产、生活中的离心运动问题．(重点、难点)4.知道离心运动在实际中的应用、危害与防止.
离
心
现
象
及
应
用
1．离心现象的概念
做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种现象称为离心现象．
2．离心现象的条件
做圆周运动的物体所受外力提供的向心力小于它做圆周运动所需要的向心力或向心力突然消失，物体做离心运动．
3．离心现象的应用
利用离心现象工作的机械叫做离心机械．离心干燥器、洗衣机脱水筒都是这样的机械．
4．离心干燥器的原理
将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴的附着力不足以提供所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，因而使物体甩去多余的水分．
5．离心分离器
使试管内的浑浊液体随试管快速转动，其内所含的不溶于液体的固体微粒快速沉淀下来，如图2 3 1所示．
图2 3 1
1．做离心运动的物体一定受到离心力的作用．(×)
2．离心运动的轨迹可能是直线也可能是曲线．(√)
3．离心运动是物体惯性的体现．(√)
图2 3 2
有一种叫做“魔盘”的娱乐设施，如图2 3 2所示．“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开，当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越明显，试分析发生这种现象的原因．
【提示】 人随盘一起转动，人所受的静摩擦力提供其向心力即f＝mrω2，半径越大，所需的向心力越大，人所受的静摩擦力亦越大，当所需的向心力超过人受的最大静摩擦力时，人会做离心运动，距离转动中心越远的人，越易滑动．
如图2 3 3所示，链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出．汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面．请思考：
图2 3 3
探讨1：链球飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？
【提示】 不是．是因为向心力不足或消失．
探讨2：物体做离心运动的条件是什么？
【提示】 物体受的合外力消失或小于圆周运动需要的向心力．
1．离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力．
2．离心运动的受力特点
物体做离心运动并非受到“离心力”的作用，而是外力不足以提供向心力的结果，“离心力”不存在．
3．合外力与向心力的关系(如图2 3 4)
图2 3 4
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
(3)若F合(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动．
1．如图2 3 5所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
图2 3 5
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
【解析】 F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误．
【答案】 A
2．如图2 3 6，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5
m，离水平地面的高度H＝0.8
m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4
m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10
m/s2.求：
图2 3 6
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0.
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
【解析】 (1)物块做平抛运动，竖直方向有H＝gt2
①
水平方向有s＝v0t
②
联立①②两式得v0＝s＝1
m/s.
③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
μmg＝m
④
联立③④得μ＝＝0.2.
【答案】 (1)1
m/s (2)0.2
离心运动的分析技巧
1．物体所受的合外力是否满足物体做圆周运动所需要的向心力，即“提供”是否满足“需求”．物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象．
2．离心现象是做圆周运动的物体所受合力减小．或合力突然消失所致的现象，而不是离心力大于向心力的缘故．
3．当提供向心力的合力大于需要的向心力(F合>mω2r)时，物体将做“向心运动”．
离
心
运
动
的
危
害
及
防
止
1．离心运动的危害
(1)由于离心现象，车辆转弯时易出现交通事故，因此在弯道处，都要对车辆进行限速．
(2)高速旋转的砂轮或飞轮破裂，会因碎片飞出造成事故，所以对转动的物体要限定转速．
(3)飞机攀高或翻飞旋转时，离心运动造成飞行员过荷．
(4)汽车在转弯(尤其在下雨天)时冲出车道而发生事故．
2．离心运动的防止
(1)减小物体运动的速度，使物体做圆周运动时所需的向心力减少．
(2)增大合外力，使其达到物体做圆周运动时所需的向心力．
1．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动．(×)
2．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动．(×)
3．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然消失或变小时将做离心运动．(√)
我们小时候大都喜欢吃棉花糖，而且当时一定非常奇怪：为什么一颗一颗的白砂糖，经过机器一转，就变成又松又软的“棉花”不断向外“飞出”呢？(如图2 3 7所示)
图2 3 7
【提示】 棉花糖机器应用了离心运动的原理．
如图2 3 8所示，一群小朋友正在旋转盘上玩耍．
探讨1：在旋转盘上，开始时有的人离转轴近一些，有的人离转轴远一些．当旋转盘加速时，哪些人更容易滑出去，为什么？
图2 3 8
【提示】 在旋转盘上，人与旋转盘一起转动，人与转盘间的静摩擦力提供向心力，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，人便开始滑动(近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)．当人开始滑动时，有μmg＜mrω2，即μg＜rω2，故可知r越大越容易滑动，所以离转轴越远的人越容易滑动．
探讨2：要防止离心现象发生，该采取哪些措施呢？
【提示】 (1)减小物体运动的速度，增加圆周运动的半径，使物体做圆周运动时所需的向心力减小．
(2)增大合外力，使其达到物体做圆周运动时所需的向心力．
1．离心现象的防止
(1)防止方法：
①减小物体运动的速度，使物体做圆周运动时所需的向心力减小．
②增大合外力，使其达到物体做圆周运动时所需的向心力．
(2)常见实例：
汽车、火车在弯道要限速，转动砂轮、飞轮要限速．
2．常见的两种离心运动
项目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水筒
当水滴受到物体的附着力F不足以提供向心力时，即F汽车在水平路面上转弯
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax3．(2016·温州高一检测)下列哪个现象利用了物体的离心运动( )
A．车转弯时要限制速度
B．转速很高的砂轮半径不能做得太大
C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨
D．离心水泵工作时
【解析】 车辆转弯时限速、修筑铁路时弯道处内轨低于外轨都是为了防止因为离心运动而发生侧翻事故，转速很高的砂轮半径不能做得太大也是为了防止因离心运动而将砂轮转坏．离心水泵工作是运用了水的离心运动规律，选项D正确．
【答案】 D
4．(2016·石家庄高一检测)汽车在水平地面上转弯，地面对车的摩擦力已达到最大值．当汽车的速率增大到原来的二倍时，若使车在地面转弯时仍不打滑，汽车的转弯半径应( )
【导学号：35390030】
A．增大到原来的二倍
B．减小到原来的一半
C．增大到原来的四倍
D．减小到原来的四分之一
【解析】 汽车在水平路面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与路面的动摩擦因数为μ，汽车的转弯半径为r，则μmg＝m，由此得r∝v2，速率增大到原来的二倍，故转弯半径应增大到原来的四倍，C项正确．
【答案】 C
5．洗衣机的脱水筒在工作时，有一衣物附着在竖直的筒壁上，则此时( )
A．衣物受重力和摩擦力作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力由摩擦力提供
C．筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大
D．筒壁对衣物的摩擦力随筒的转速的增大而增大
【解析】 对衣物研究：竖直方向受重力和摩擦力的作用且f＝mg，摩擦力f不变，水平方向受弹力的作用，A、D错；衣物随筒壁做圆周运动的向心力由弹力提供，由N＝mω2r可知当角速度增大时，弹力N增大，B错，C对．
【答案】 C
离心现象的三点注意
1．在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式．
2．做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心．
3．物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象．第二节 向心力
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.认识向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源．2．通过实验理解向心力的大小与哪些因素有关，能运用向心力的公式进行计算．(重点)3．知道向心加速度及其公式，能运用其关系分析解决有关的问题．(重点、难点)
感
受
向
心
力
1．定义
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力叫做向心力．
2．作用
不改变质点速度的大小，只改变速度的方向，使物体始终维持在圆周轨道上．
3．特点
方向总沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，且方向时刻改变．
4．实验与探究
实验目的
探究影响向心力大小的因素
实验方法
控制变量法
探究过程
m、ω不变
改变半径r，则r越大，向心力F就越大
m、r不变
改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大
ω、r不变
改变质量m，则m越大，向心力F就越大
结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量、半径、角速度都有关
5.大小
做匀速圆周运动的物体，所受向心力的大小为F＝mω2r，而ω＝，则F＝m.
1．向心力可以是合力，也可以是某个力的分力．(√)
2．向心力既改变物体做圆周运动的速度大小，也改变速度的方向．(×)
3．角速度越大，半径越大，向心力就越大．(×)
如图2 2 1所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内侧倾斜身体？
图2 2 1
【提示】 倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦力，从而获得做圆周运动所需要的向心力．
如图2 2 2所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
图2 2 2
探讨1：它们的向心力分别是由什么力提供的？
【提示】 汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供．
探讨2：物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
【提示】 大小不变，方向时刻改变．
1．向心力大小的计算
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
2．向心力来源的分析
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力.
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
【解析】 匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对、B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．
【答案】 AD
2．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图2 2 3所示，下列说法正确的是( )
图2 2 3
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan
θ
D．以上说法都正确
【解析】 小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan
θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.
【答案】 BC
3．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
【解析】 在光滑的水平面上，细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F＝mrω2知，在角速度ω不变时，F与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；在质量m不变时，F与l、ω2成正比，C正确，D错误．
【答案】 AC
向心力与合外力判断方法
1．向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
2．对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
3．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．
向
心
加
速
度
1．定义
做匀速圆周运动的物体，其加速度a的方向一定指向圆心，所以也叫向心加速度．
2．大小
a＝ω2r，a＝.
3．方向
与向心力F的方向一致，沿半径指向圆心，与速度方向垂直，其方向时刻改变．
1．做圆周运动的物体，线速度越大，向心加速度就越大．(×)
2．向心加速度的方向指向圆心，与线速度垂直．(√)
3．匀速圆周运动的向心加速度大小不变，方向时刻变化．(√)
图2 2 4
如图2 2 4所示，地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题：
(1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同？
(2)地球上各地的向心加速度大小是否相同？
【提示】 (1)地球上各地自转的周期都是24
h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v＝ωr可知各地的线速度大小不同．
(2)地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据an＝ω2r可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同．
如图2 2 5所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
图2 2 5
探讨1：哪两个点的向心加速度与半径成正比？
【提示】 B、C两点的向心加速度与半径成正比．
探讨2：哪两个点的向心加速度与半径成反比？
【提示】 A、B两点的向心加速度与半径成反比．
1．向心加速度的物理意义
向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．
2．向心加速度的几种表达式
3．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据an＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图2 2 6甲所示．
(2)若v为常数，根据an＝可知，向心加速度与r成反比，如图2 2 6乙所示．
甲 乙
图2 2 6
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比．
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
4．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
【解析】 向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误．
【答案】 A
5.如图2 2 7所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
图2 2 7
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
【解析】 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
【答案】 D
6．(2016·郑州高一检测)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
【导学号：35390026】
【解析】 做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．
【答案】 B
向心加速度的特点
1．向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．
2．向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．
生
活
中
的
向
心
力
1．汽车在水平公路上转弯
车轮与路面间的静摩擦力f提供向心力，即f＝m.
2．汽车在外高内低的路面上转弯
汽车向内侧倾斜，若汽车恰好以某一速度v行驶时，重力mg和地面支持力N的合力充当向心力，即mgtan
θ＝m(R为弯道半径，θ为倾斜的角度)，则v＝.
1．汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力．(√)
2．汽车过拱形桥时，速度越大，在桥顶对桥面的压力就越大．(×)
3．汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力大于重力．(√)
图2 2 8
如图2 2 8所示，小球绕O′在水平面内做匀速圆周运动，可以说小球受重力、绳的拉力和指向O′的向心力吗？
【提示】 向心力是按效果命名的力，物体实际受到的沿半径方
向的合力即为向心力，不是另外受到的某一个力．
图2 2 9
如图2 2 9所示，过山车的质量为m，轨道半径为r，过山车经过轨道最高点时的速度为v.
探讨1：过山车能通过轨道最高点的临界速度是多少？
【提示】 临界条件为mg＝，故临界速度v＝.
探讨2：当过山车通过轨道最高点的速度大于临界速度时，过山车对轨道的压力怎样计算？
【提示】 根据FN＋mg＝，可得FN＝－mg.
1．汽车过桥问题的分析
(1)汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图2 2 10甲所示．
图2 2 10
由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FN′＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
①当0≤v<时，0②当v≥时，FN＝0.汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
(2)汽车过凹形桥：
如图2 2 10乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力FN′＝G＋m，大于汽车的重力．
2．过山车问题分析：如图2 2 11所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m，轨道半径为r，过山车经过顶部时的速度为v，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的。由牛顿第二定律得mg＋N＝m.人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是：N≥0.
图2 2 11
当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg＝m，临界速度为v临界＝，过山车能通过最高点的条件是v≥.
3．轻绳模型：如图2 2 12所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.
图2 2 12
在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v＞时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
(3)v＜时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
4．轻杆模型：如图2 2 13所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
图2 2 13
(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0＜v＜时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．
(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.
7．(2016·东营高一检测)俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图2 2 14所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )
图2 2 14
A．A点，B点
B．B点，C点
C．B点，A点
D．D点，C点
【解析】 战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FNRA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.
【答案】 C
8.
(2016·泉州高一检测)如图2 2 15所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
【导学号：35390027】
图2 2 15
A.
B．2
C.
D.
【解析】 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．
【答案】 C
9．长度为0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球．求在下述的
两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10
m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0
r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5
r/s.
【解析】 小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0
r/s时，ω＝2π·n＝4π
rad/s
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138
N
即杆对小球提供了138
N的拉力．
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138
N，方向竖直向上．
(2)杆的转速为0.5
r/s时，ω′＝2π·n＝π
rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10
N.
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10
N，方向竖直向下．
【答案】 (1)小球对杆的拉力为138
N，方向竖直向上．
(2)小球对杆的压力为10
N，方向竖直向下．
竖直平面内圆周运动的分析方法
物体在竖直平面内做圆周运动时：
1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．
2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．
3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．第一节 匀速圆周运动
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.理解匀速圆周运动是一种变速运动．2．会描述圆周运动的快慢，掌握线速度、角速度、周期的定义及它们之间的关系．(重点)3．学会用比值定义法来描述物理量．4．会应用公式进行线速度、角速度、周期、频率、转速的计算.
匀速圆周运动及描述的物理量
1．匀速圆周运动
质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动．
2．线速度
(1)定义：质点通过的弧长l跟通过这段弧长所用时间t的比值．
(2)公式：v＝.
(3)矢量性：线速度是矢量，其方向在圆周该点的切线方向上．
(4)单位：国际单位制中其单位是米每秒，符号是m/s.
(5)意义：表示匀速圆周运动的快慢．
3．角速度
(1)定义：质点做匀速圆周运动时，质点所在半径转过的角度φ跟所用时间t的比值．
(2)公式：ω＝.
(3)单位：国际单位制中其单位是弧度每秒．符号是rad/s.
(4)意义：表示匀速圆周运动转动的快慢．
4．周期
(1)定义：匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号T表示．
(2)单位：国际单位制中其单位是秒，符号s.
(3)要点：做圆周运动的物体经过一个周期，又回到原来的位置，其瞬时速度的大小和方向也与原来的大小和方向一样．
5．转速
(1)定义：单位时间内转过的圈数，用符号n表示．
(2)单位：常用单位有转每秒，符号是r/s，或者转每分，符号r/min.
1．匀速圆周运动是变速曲线运动．(√)
2．匀速圆周运动的线速度恒定不变．(×)
3．匀速圆周运动的角速度恒定不变．(√)
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技．如图2 1 1所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
图2 1 1
【提示】 各点角速度相同，线速度不同．
如图2 1 2所示，电风扇关闭之后，风扇的叶片就越转越慢，逐渐停下来，请思考：
图2 1 2
探讨1：风扇叶片上某点在一段时间内运动的弧长与转过的角度有什么关系？
【提示】 弧长等于半径与转过角度(用弧度作单位)的乘积．
探讨2：风扇叶片上各点角速度是否相同？
【提示】 相同．
1．匀速圆周运动一定是变速运动．因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以匀速圆周运动一定是变速曲线运动．
2．匀速圆周运动是针对某个质点而言的，它在各个时刻的速度不同，因此质点必有加速度．
3．要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度，角速度侧重于描述质点转过角度快慢的程度．
1．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
【解析】 这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确．
【答案】 BD
2．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
【解析】 如图所示，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·Δt，所以相等时间内通过的路程相等，B对；但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δφ＝ωΔt相同，D对．
【答案】 BD
如图2 1 3所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( )
图2 1 3
A.
min
B．1
min
C.
min
D.
min
【解析】 分针与秒针的角速度分别为ω分＝
rad/s，ω秒＝
rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt，因φ分＝ω分Δt，φ秒＝ω秒Δt，由φ秒－φ分＝2π，得Δt＝＝
s＝
s＝
min，故C正确．
【答案】 C
1．圆周运动一定是变速运动．因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变速运动．
2．线速度描述圆周运动质点通过弧长的快慢程度，匀速圆周运动线速度大小不变，方向不断变化．
3．角速度描述质点转过角度的快慢，匀速圆周运动的角速度恒定不变．
线速度、角速度、周期间的关系
1．线速度与周期的关系为v＝.
2．角速度与周期的关系为ω＝.
3．线速度与角速度的关系为v＝ωr.
1．匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同．(√)
2．匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快．(×)
3．做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比．(√)
图2 1 4
月亮绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可以看成圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月亮的“对话”．地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1
s要走29.79
km，你绕我运动1
s才走1.02
km.
月亮说：不能这样说吧？你一年才绕一圈，我27.3天就绕了一圈，到底谁转得慢？(如图2 1 4所示)到底是地球说得对还是月亮说得对？
【提示】 都对．地球绕太阳圆周运动的线速度大，但角速度小，周期长．
如图2 1 5为一辆自行车传动装置的结构图，观察自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的，并思考：
图2 1 5
探讨1：同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？
【提示】 线速度不同，角速度相同．
探讨2：两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？
【提示】 线速度相同，角速度、转速不同．
1．各物理量之间关系
(1)各量之间关系图
(2)各量的意义
①线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同，线速度v描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢．
②要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度，角速度侧重于描述质点转过角度的快慢的程度．
2．常见传动装置及特点
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度相同
线速度相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝.周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝.周期与半径成正比：＝
4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30
cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120
km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )
A．1
000
r/s
B．1
000
r/min
C．1
000
r/h
D．2
000
r/s
【解析】 由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30
cm＝0.3
m，v＝120
km/h＝
m/s，代入得n＝
r/s，约为1
000
r/min.
【答案】 B
5．(2016·汕头高一检测)如图2 1 6所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
图2 1 6
A．a球的线速度比b球的线速度小
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的周期比b球的周期小
D．a球的转速比b球的转速大
【解析】 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝ωr可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确．
【答案】 A
6．如图2 1 7所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
图2 1 7
【解析】 a、b两点比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c两点比较ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
【答案】 1∶2∶2 1∶1∶2
三种传动问题的求解方法
1．绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；
2．在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
3．齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．
