第一节 万有引力定律
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.了解地心说和日心说的内容．2．知道开普勒行星运动规律．3．知道万有引力定律的发现过程．理解万有引力定律的内容、公式并能解答有关问题．(重点、难点)4．知道万有引力常数，了解引力常数的测定方法.
天
体
的
运
动
1．地心说与日心说
(1)地心说
地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动．以古希腊科学家托勒密为代表人物．
(2)日心说
太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都围绕太阳运动．由波兰天文学家哥白尼提出．
2．开普勒行星运动规律
(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上．
(2)行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过相同的面积．
(3)行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比．公式表示则为＝k，a为轨道的半长轴．
1．为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动．(√)
2．太阳系中所有行星的运动速率是不变的．(×)
3．太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长．(√)
图3 1 1
如图3 1 1所示，所有行星都绕太阳在椭圆轨道上运行，某一行星绕太阳运动的速率在不同位置都一样大吗？
【提示】 不一样，在行星距离太阳较近时速率大，在行星距离太阳较远时速率小．
如图3 1 2所示为地球绕太阳运动的示意图，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置．
图3 1 2
探讨1：太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
【提示】 太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同．
探讨2：一年之内秋冬两季比春夏两季为什么要少几天？
根据地球的公转周期计算火星的公转周期还需要知道什么数据？
【提示】 根据开普勒第二定律，地球在秋冬两季比在春夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天．根据＝k，要计算火星的公转周期还要知道火星轨道半径与地球轨道半径的比值．
图3 1 3
1．开普勒第一定律
(1)认识：第一定律告诉我们，尽管各行星的轨道大小不同，但它们的共同规律是所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上，开普勒第一定律又叫椭圆轨道定律，如图3 1 3所示．
(2)意义：否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置．
2．开普勒第二定律
图3 1 4
(1)认识：行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小．近日点速度最大，远日点速度最小，又叫面积定律，如图3 1 4所示．
(2)意义：描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化，并阐明了速度大小变化的数量关系．
3．开普勒第三定律
图3 1 5
(1)认识：它揭示了周期与轨道半长轴之间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，其公转周期越小．因此又叫周期定律，如图3 1 5所示．
(2)意义：比例常数k与行星无关，只与太阳有关，因此定律具有普遍性，即不同星系具有不同的常数，且常数是由中心天体决定的．
1．日心说的代表人物是( )
A．托勒密
B．哥白尼
C．布鲁诺
D．第谷
【解析】 日心说的代表人物是哥白尼，布鲁诺是宣传日心说的代表人物．
【答案】 B
2．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误．
【答案】 C
3．已知两颗行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
【导学号：35390039】
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【解析】 由＝k知()3＝()2，则＝，与m1、m2无关
【答案】 C
1．应用开普勒定律注意的问题
(1)适用对象：开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时＝k，比值k是由中心天体所决定的另一恒量，与环绕天体无关．
(2)定律的性质：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结出来的规律。它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的．
(3)对速度的认识：当行星在近日点时，速度最大．由近日点向远日点运动的过程中，速度逐渐减小，在远日点时速度最小．
2．中学阶段开普勒定律的内容
(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心上．
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度不变，即行星做匀速圆周运动．
(3)所有行星的公转周期的平方与轨道半径的立方成正比．
万
有
引
力
定
律
1．科学家的猜想
(1)伽利略认为行星的运动规律与地面物体的运动遵从不同的规律，行星的运动是“惯性”自行维持的．
(2)笛卡儿认为宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡，太阳的漩涡带动行星和卫星一起运动．
(3)开普勒认为行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比．
(4)胡克等认为行星的运动是太阳引力的缘故，力的大小与到太阳距离的平方成反比．
2．万有引力定律
(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比．
(2)公式：F＝G，m1、m2分别是两个物体的质量，r为两个物体之间的距离．G为引力常数，英国科学家卡文迪许最先利用扭秤测出．现在精确的实验测得G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
1．牛顿发现了万有引力定律，也测出了引力常量．(×)
2．月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的．(√)
3．地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力．(×)
万有引力定律指出，任何物体间都存在着引力，为什么对一般物体进行受力分析时不考虑物体间的万有引力？
【提示】 引力常数的数量级为10－11，对于一般物体质量不是非常大，距离不是非常小，物体间的万有引力很小，可以忽略．但是对于质量很大的天体之间万有引力是相当大的，万有引力决定了天体的有序运动．
如图3 1 6所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的．请思考：
图3 1 6
探讨1：任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？
【提示】 任意两物体之间都存在万有引力，r指两物体重心之间的距离．
探讨2：地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
【提示】 相等．符合牛顿第三定律．
1．万有引力定律公式的适用条件：严格地说，万有引力定律公式F＝G只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述两类情况，也可用该公式计算：
(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用该公式计算，其中r是两个球体球心间的距离．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离．
2．万有引力的“四性”
四 性
内 容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
3.几点说明
(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力．
(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对天体上物体的万有引力．
(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分为无数个质点，理论上讲，求出该物体上每个质点与另一物体所有质点的万有引力，然后求合力．
4．如图3 1 7所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
图3 1 7
A．G
B．G
C．G
D．G
【解析】 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故选D.
【答案】 D
5．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是( )
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
【解析】 根据F＝G可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的，当距离和质量都减为原来的时，万有引力不变，选项D错误．
【答案】 D
6．地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地球高度为h的空中重力加速度与地面上重力加速度的的比值为(已知地球半径为R)( )
【导学号：35390040】
A.
B.
C.
D.
【解析】 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力．设地球质量为M，物体质量为m，则
地面：mg＝G
h高处：mg′＝G
解得：＝.故D对．
【答案】 D
关于万有引力和重力关系的处理方法
1．物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G.
2．对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg＝.第三节 飞向太空
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道火箭的原理及组成．2．了解人类遨游太空的历史．3．了解空间探测器及探测活动．4．能理解火箭运行时超重、失重现象，能分析变轨运行问题．(重点、难点)
太
空
探
测
1．人造卫星的发射
要成为地球的人造卫星，发射速度必须达到7.9
km/s，要成为太阳的人造卫星，发射速度必须达到11.2
km/s.
2．发射卫星的火箭
(1)原理：利用燃料燃烧向后急速喷出气体产生的反作用力，使火箭向前射出．
(2)组成：主要有壳体和燃料两部分．
(3)多级火箭：用几个火箭连接而成的火箭组合，一般为三级；火箭起飞时，第一级火箭的发动机“点火”，推动各级火箭一起前进，待燃料燃尽后，第二级火箭开始工作，并自动脱掉第一级火箭的外壳；火箭进一步加速，以此类推，最终达到所需要的速度．
3．人类航天之旅如下表所示：
时间
国家
活动内容
1957年10月
苏联
发射第一颗人造地球卫星
1961年4月
苏联
第一艘载人宇宙飞船“东方1号”发射成功，苏联宇航员加加林第一次实现了人类踏入太空的梦想
1969年7月
美国
“阿波罗11号”登上月球，将两名宇航员送上了月球，实现了人类在月球上漫步的梦想
1971年4月
苏联
发射“礼炮1号”空间站
1981年4月
美国
“哥伦比亚号”载人航天飞机试验成功
2003年10月
中国
发射“神舟五号”载人飞船，首次载人航天飞行取得圆满成功
2007年10月
中国
“嫦娥一号”探月卫星发射成功，中国首次对月球进行探测
2011年6月
中国
“嫦娥二号”探月卫星飞离月球，飞向150万千米的第2拉格朗日点，进行深空探测
2011年9月
中国
“天宫一号”目标飞行器成功发射，并于2011年11月3日与“神舟八号”飞船对接成功
4.空间探测器
1962年美国的“水手2号”探测器第一次对金星进行了近距离的考察．
1989年美国的“伽俐略号”木星探测器发射成功．
2003年美国的“勇气号”与“机遇号”火星探测器分别发射成功．
1．美国发射的飞船最早将宇航员送上了月球．(√)
2．发射卫星时，火箭离开地球表面时的速度为7.9
km/s.(×)
3．中国发射的卫星已经能够对月球进行探测．(√)
多级火箭当第一级的燃料燃尽后第一级与箭体脱离，第二级开始工作．每一级燃料燃尽后为什么要让它与箭体分离．
【提示】 由牛顿第二定律可知，作用力一定的情况下，质量越小获得的加速度越大，燃料烧尽的部分壳体与箭体分离，使箭体质量减小，因而产生更大的加速度，最终卫星会达到较大的速度．
北京时间2010年4月23日7点52分(美国东部时间2010年4月22日19点52分)，美国研制的人类首架太空战机X－37B成功发射升空，“阿特拉斯5号”火箭执行了此次发射任务．结束太空之旅后，X－37B将进入自动驾驶模式返回地球，最后在加州范登堡空军基地或者附近备用基地——爱德华兹空军基地着陆．
探讨1：多大的速度才能使物体不再落回地面，而使其成为绕地球运动的一颗“星”呢？
【提示】 速度达到7.9
km/s.
探讨2：多大的速度才能使物体成为绕太阳运动的一颗“星”．
【提示】 速度达到11.2
km/s.
1．人造卫星
人造卫星要进入飞行轨道必须有足够大的速度．速度达到7.9
km/s可进入绕地球飞行的轨道，成为人造地球卫星；速度达到11.2
km/s可成为太阳的“人造行星”．
2．三级火箭
(1)一级火箭最终速度达不到发射人造卫星所需要的速度，发射卫星要用多级火箭．
(2)三级火箭的工作过程(如图3 3 1所示)火箭起飞时，第一级火箭的发动机“点火”，燃料燃尽后，第二级火箭开始工作，并自动脱掉第一级火箭的外壳，以此类推…
火箭发射卫星示意图
图3 3 1
由于各级火箭的连接部位需大量附属设备，这些附属设备具有一定的质量，并且级数越多，连接部位的附属设备质量越大，并且所需的技术要求也相当精密，因此，火箭的级数并不是越多越好，一般用三级火箭．
1．(2016·广东实验中学期中)若地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其实际绕行速率( )
A．一定等于7.9
km/s
B．一定小于7.9
km/s
C．一定大于7.9
km/s
D．介于7.9－11.2
km/s之间
【解析】 设地球的质量为M，卫星的质量为m，地球的半径为R，卫星的轨道半径为r，速率为v，地球的第一宇宙速度为v1，
则有G＝m，得v＝，
当r＝R时，v＝v1＝＝7.9×103m/s.
而实际中卫星的轨道r>R，则vm/s.故选B.
【答案】 B
2．如图3 3 2所示，火箭内的实验平台上有质量为18
kg的测试仪器，火箭从地面起飞后，以加速度a＝竖直匀加速上升，g取10
m/s2，试求：
图3 3 2
(1)火箭刚启动时，测试仪器对实验平台的压力是多大；
(2)火箭升至距地面的高度为地球半径的一半，即h＝时，测试仪器对实验平台的压力又是多大．
【解析】 (1)火箭启动时，设仪器受平台的支持力为F，由牛顿第二定律得F－mg＝ma代入数据得F＝270
N，由牛顿第三定律知，测试仪器对平台的压力是270
N；
(2)设高h处的重力加速度为g′，
＝＝＝，所以g′＝g
对仪器由牛顿第二定律得F′－mg′＝ma
F′＝m(g′＋a)代入数据得F′＝170
N
由牛顿第三定律知，测试仪器对平台的压力是170
N.
【答案】 (1)270
N (2)170
N
火箭通过喷出高速气体，使火箭与气体之间发生相互作用获得升力而加速上升，由牛顿定律可求出相关物理量.
卫星(宇宙飞船)的变轨问题
探讨1：正常运动的卫星要使其轨道半径变大，应该怎么办？
【提示】 需开动发动机使卫星加速．
探讨2：正常运行的卫星要使轨道半径变小，应该怎么办？
【提示】 需开动发动机使卫星减速．
卫星(宇宙飞船)在运行过程中，中心天体对卫星(宇宙飞船)的万有引力充当向心力．
1．当万有引力恰好提供向心力时，卫星(宇宙飞船)在原轨道上运动．
2．若卫星(或宇宙飞船)通过自身发动机加速后，所需向心力增大，万有引力小于所需要向心力，卫星(宇宙飞船)做远离中心天体的运动．
3．若卫星(或宇宙飞船)减速时，所需向心力变小，即万有引力大于所需要向心力时，卫星(宇宙飞船)做靠近中心天体的运动．
3．2016年3月30日4时22分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭，将第22颗北斗导航卫星成功送入太空预定转移轨道，之后该卫星需从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅱ，定点在同步轨道Ⅱ上如图3 3 3所示，关于该过程，下列说法正确的是( )
图3 3 3
A．卫星需从轨道Ⅰ上的P点适当加速
B．卫星可以从轨道Ⅰ上除Q外的任意点适当加速
C．卫星需从轨道Ⅰ上的Q点适当加速
D．卫星需从轨道Ⅰ上的Q点适当减速
【解析】 卫星若从轨道Ⅰ上的P点(或除Q外的任意点)加速，只能改变其椭圆轨道，不可能进入轨道Ⅱ，A、B错误；若卫星从轨道Ⅰ上的Q点适当加速，当满足G＝时，可由轨道Ⅰ转移到轨道Ⅱ，C正确，D错误．
【答案】 C
4．(多选)(2016·广雅中学期中)我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站，如图3 3 4所示，关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站绕月运行的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R.下列描述或结论正确的是( )
【导学号：35390049】
图3 3 4
A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速
B．图中的航天飞机正在加速地飞向B处
C．月球的质量为M＝
D．月球的第一宇宙速度为v＝
【解析】 由椭圆轨道进入空间站轨道必须减速，A正确．航天飞机由A飞向B是加速运动的，B正确．月球质量M＝，C错误．月球第一宇宙速度v>，D错误．
【答案】 AB
5.
(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图3 3 5所示．当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，以下说法正确的是( )
图3 3 5
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大小大于它在轨道2上经过Q点时的加速度大小
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度大小
【解析】 由G＝m，得v＝，因为r3＞r1，所以v3＜v1，A错误；由G＝mrω2，得ω＝，因为r3＞r1，所以ω3＜ω1，B正确；卫星在轨道1上经过Q点时的加速度为地球引力产生的，在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故两者大小应相等，C错误；同理，卫星在轨道2上经过P点时的加速度大小等于它在轨道3上经过P点时的加速度大小，D正确．
【答案】 BD
卫星变轨问题的分析技巧
(1)根据引力与需要的向心力的关系分析：
①当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小．
②当由于某原因速度v突然改变时，若速度v减小，则F＞m，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v增大，则F＜m，卫星将做离心运动，轨迹为椭圆，此时可用开普勒三定律分析其运动．
(2)卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同．第二节 万有引力定律的应用
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识
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络
1.会用万有引力定律计算天体的质量．(重点)2．了解海王星和冥王星的发现方法．3．会推导第一宇宙速度，知道三种宇宙速度的含义．4．知道人造卫星的原理，能够确定人造卫星线速度、角速度、周期与半径的关系．(重点、难点)
计
算
天
体
的
质
量
1．利用月球计算地球质量
(1)思路：月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供．
(2)推导：月球绕地球做匀速圆周运动所需向心力F＝mω2r＝m()2r.
地球对月球的万有引力充当向心力，则＝m()2r，则M＝.
2．一般方法
已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，也可以算出行星(或中心天体)的质量．
1．利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的质量．(×)
2．利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量．(√)
3．知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量．(√)
1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图3 2 1)，迈出了人类征服宇宙的一大步．
图3 2 1
探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F.怎样利用这个条件估测月球的质量？
【提示】 设月球质量为M.半径为R，则F＝G，故M＝.
探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，怎样利用这个条件估测月球质量？
【提示】 设月球质量为M，半径为R，由万有引力提供向心力，G＝mR
M＝.
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
2．计算天体的质量
下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg＝G，解得地球质量为M地＝.
(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动
3．计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度
ρ＝
将M＝代入上式得：ρ＝
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
1．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600
N的人在这个行星表面的重量将变为960
N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5
B．2
C．3.2
D．4
【解析】 在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．
即G地＝G
同样在行星表面有
G行＝G
以上二式相比可得
＝×＝×
＝＝2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2
故选B.
【答案】 B
2．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式．
【解析】 设太阳质量为M，火星的质量为m
火星与太阳间的引力提供向心力，则有
＝，
v＝.
两式联立得M＝.
【答案】
3．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为( )
【导学号：35390043】
A.
B.
C.
D.
【解析】 设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G＝m()2R，所以行星的质量为M＝，行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确．
【答案】 B
1．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．
2．要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R＝r.
发
现
未
知
天
体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维烈根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星——海王星被发现了．
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星等几个较大的天体．
1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)
2．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√)
3．冥王星被称为“笔尖下发现的行星”．(×)
航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗？
【提示】 适用．牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题．牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的．
如图3 2 2所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．
图3 2 2
探讨1：行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
【提示】 由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的．
探讨2：行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
【提示】 无关．因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉．
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr2
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小
4．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．
【答案】 D
5．(2016·石家庄高一检测)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有( )
A．土星线速度的大小
B．土星加速度的大小
C．土星的质量
D．太阳的质量
【解析】 根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝R、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C.
【答案】 C
6．(多选)2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观．这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5
576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机．如图3 2 3所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有( )
图3 2 3
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度
B．2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度
C．2004年8月29日，火星又回到了该位置
D．2004年8月29日，火星还没有回到该位置
【解析】 火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动G＝m可得：v＝，所以轨道半径较大的火星线速度小，B正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到，D正确．
【答案】 BD
天体运动的解题技巧
(1)建立模型
不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题．
(2)列方程求解
根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解．
F向＝F万＝ma＝mg＝G＝m＝mrω2＝mr.
人
造
卫
星
与
宇
宙
速
度
1．牛顿的设想
山顶上一门大炮若以足够大的速度水平射出一颗炮弹，它将围绕地球旋转而不再落回地面．
2．人造卫星的向心力
地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力．
G＝m＝mω2r＝mr.
3．运行规律
v与轨道半径r：v＝
.
ω与轨道半径r：ω＝.
T与轨道半径r：T＝2π
.
a与轨道半径r：a＝.
离地球越远的卫星，线速度、角速度、加速度越小，周期越长，即越远越慢．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度，又叫环绕速度，是指人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，其大小为7.9
km/s.
(2)第二宇宙速度，又叫脱离速度，是指物体克服地球引力的束缚，成为绕太阳运动的行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为11.2
km/s.
(3)第三宇宙速度，又叫逃逸速度，是指在地面上发射物体，使之最后脱离太阳引力的束缚飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为16.7
km/s.
1．7.9
km/s是人造地球卫星最大的环绕速度．(√)
2．在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9
km/s.(√)
3．离地球越远的卫星，发射速度越大，而环绕速度也越大．(×)
能否有发射轨道高度不同但具有相同周期的地球卫星？(如图3 2 4所示)
图3 2 4
【提示】 不能．根据万有引力提供地球卫星做匀速圆周运动的向心力G＝mr可知，周期T＝2π，所以当卫星轨道高度不同时，其周期一定不同，故不能发射在不同轨道高度但具有相同周期的地球卫星．
若两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，请思考：
探讨1：卫星定轨高度越高，速度越大还是越小？
【提示】 卫星轨道越高，速度越小．
探讨2：如何比较两颗卫星的周期大小和角速度大小？
【提示】 卫星的轨道半径越大，周期越大，角速度越小．
1．第一宇宙速度的推导方法
方法(一)
设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
G＝m，v＝.
应用近地条件r＝R(R为地球半径)，R＝6
400
km，M＝6×1024kg，
得v＝＝7.9
km/s.
方法(二)
在地面附近，重力等于万有引力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(已知地球半径R、地面重力加速度g)．
由mg＝m得v＝＝
km/s＝7.9
km/s.
2．卫星的轨道特点(如图3 2 5)
图3 2 5
(1)若为椭圆轨道，地心是椭圆的一个焦点，其运动遵循开普勒定律．
(2)若为圆轨道，地心是圆周的圆心，由万有引力提供向心力．
(3)轨道平面：一定过地心，可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直，可以跟赤道平面成任意角度．
3．人造卫星的运动规律
根据万有引力提供向心力可得．
G＝ 越高越慢
4．地球同步卫星
(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星．
(2)六个“一定”．
①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24
h.
③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．
⑤同步卫星的高度固定不变．
由＝mr()2知r＝.由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，h为同步卫星离地面的高度，h＝－R.又因GM＝gR2，代入数据T＝24
h＝86
400
s，g取9.8
m/s，R＝6.38×106
m，得h＝3.6×104
km.
⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝＝
＝
m/s＝3.1×103
m/s.
7．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小
B．向心加速度变小
C．线速度变小
D．角速度变小
【解析】 探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则：G＝mr，整理得T＝2π，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由G＝man＝m＝mω2r，整理得：an＝G，v＝，ω＝，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误．
【答案】 A
8．如图3 2 6所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
【导学号：35390044】
图3 2 6
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据G＝ma得a＝.故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝m2r，得T＝2π，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误．
【答案】 A
9．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
【解析】 A．地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．
由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确．
B．由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．
C．由＝，得v＝，r增大，v减小，C错误．
D．由ω＝可知，角速度减小，D错误．
【答案】 A
天体运动问题解答技巧
1．比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)．
2．涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2＝GM的应用．
3．若已知量或待求量中涉及v或ω或T，则应考虑从G＝m＝mω2r＝mr中选择相应公式应用．
