第一节 什么是抛体运动
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道抛体运动的概念和曲线运动的速度方向．2．知道曲线运动是一种变速运动．(重点)3．掌握物体做直线还是曲线运动的条件，并能根据给出的条件判断物体的运动特点．(重点、难点)
抛
体
运
动
及
其
速
度
方
向
1．抛体运动的定义
将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．抛体运动的特点
(1)有一定初速度；(2)只受重力．
3．曲线运动的定义
物体的运动轨迹是曲线的运动．
4．曲线运动的速度方向
在曲线运动中，质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向就是曲线上这点的切线方向．
5．抛体运动的速度方向
做抛体运动的质点的速度方向，在其运动轨迹各点的切线方向上，并指向质点前进的方向．
6．曲线运动的性质
曲线运动的速度方向时刻都在改变，速度是矢量．不论速度的大小是否改变，只要速度方向发生变化，速度矢量就发生变化，即具有加速度，所以曲线运动是一种变速运动．
1．抛体运动的速度方向是时刻变化的．(×)
2．做曲线运动的物体，其速度是时刻变化的．(√)
3．做抛体运动的物体只受重力的作用．(√)
小明从窗口以一定的初速度将用纸折叠的“飞机”抛出，飞出的纸飞机是否做抛体运动？
【提示】 纸飞机的运动不是抛体运动，这是由于飞机运动过程中除受到重力外，还受到不可忽略的空气阻力作用．
如图1 1 1所示，游乐场中的摩天轮在竖直方向上转动．
图1 1 1
探讨1：当乘客到达最高点时，乘客这一时刻的速度沿什么方向？
【提示】 沿水平方向．
探讨2：当摩天轮匀速转动时，乘客的速度是否发生变化？
【提示】 乘客做曲线运动，速度方向不断变化．
1．曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是质点从该时刻(或该点)脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向．
2．速度是一个矢量，既有大小，又有方向，假如在运动过程中只有速度大小的变化，而物体的速度方向不变，则物体只能做直线运动．因此，若物体做曲线运动，方向时刻变化，即速度发生变化，因此曲线运动一定是变速运动．
1．(多选)(2016·苏州高一检测)下列说法正确的是( )
A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．做曲线运动的物体一定有加速度
【解析】 任何曲线运动的速度方向都时刻变化，一定有加速度，故A、D正确．速度方向变化、速度变化的运动不一定是曲线运动，如竖直上抛运动，速度发生变化，在最高点速度方向发生变化，而轨迹为直线，故B、C错．
【答案】 AD
2.如图1 1 2所示的曲线为某同学抛出的铅球的运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是( )
图1 1 2
A．为AB的方向
B．为BD的方向
C．为BC的方向
D．为BE的方向
【解析】 物体做曲线运动的速度方向为运动轨迹上经过该点的切线方向，如题图中铅球实际沿ABC方向运动，故它在B点的速度方向应为切线BD的方向，B正确．
【答案】 B
3．假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是( )
图1 1 3
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
【解析】 赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车上任何一点的速度方向都是赛车运动的曲线轨迹上对应点的切线方向．被甩出的后轮的速度方向就是甩出点所在轨迹的切线方向．所以C选项正确．
【答案】 C
物体做曲线运动时，在某点的速度方向沿该点所在轨迹的切线方向，速度方向时刻发生变化，一定有加速度.
抛体做直线或曲线运动的条件
1．抛体做直线运动的条件
抛出时的速度方向在竖直方向上．
2．抛体做曲线运动的条件
抛出时的速度方向与重力方向不在同一直线上．
3．物体做曲线运动的条件
物体所受合力的方向(即它的加速度的方向)跟物体速度方向不在同一条直线上．
1．物体做曲线运动，合力可以为定值也可以变化．(√)
2．当物体的加速度方向与速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动．(√)
3．做曲线运动的物体，其加速度时刻变化．(×)
如图1 1 4为环湖自行车比赛中的精彩镜头．在行进过程中，运动员总是不断调整车把，以把握运动的方向，这说明运动员做曲线运动时，其速度方向是不断变化的．如果从某时刻开始运动员不再调整车把方向，将会发生什么现象？为什么？
图1 1 4
【提示】
因为环湖公路是弯曲的，如果运动员不再调整车把方向，将做直线运动，有可能掉进湖里．
如图1 1 5所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起．
图1 1 5
探讨1：吊钩将物体B向上匀速吊起时，物体B的运动轨迹是直线还是曲线？
【提示】 直线．
探讨2：吊钩将物体B匀加速向上吊起时，物体B的运动轨迹是直线还是曲线？
【提示】 曲线．
1．物体做曲线运动时速度方向一定变化，一定有加速度，由牛顿第二定律可知，物体所受合力一定不为零，且由于加速度与合力同方向，所以物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上．因此物体做曲线运动的条件还可表述为：物体的加速度方向与它的运动方向不在一条直线上．
2．只要物体所受合力(或加速度)方向与速度方向不在一条直线上，物体一定做曲线运动．物体所受合力(或加速度)可能变化，也可能恒定，因此做曲线运动的物体可能做匀变速运动，也可能为非匀变速运动．
3．把加速度沿速度和垂直于速度的两个方向分解，也就是把合力沿这两个方向分解，如图1 1 6甲、乙所示．
甲 乙
图1 1 6
在甲图中加速度a1与速度v的方向相同，使速度v增大；加速度a2与速度v方向垂直，使v的方向改变．
在乙图中加速度a1与速度v的方向相反，使速度v减小；加速度a2与速度v方向垂直，使v的方向改变．
当a1＝0，a2垂直于速度v时，速度大小不变，方向改变，则物体做速度大小不变的曲线运动．
物体所受合力不为零时，若合力方向与速度方向夹角为θ，由以上分析，可以得出如下结论：
θ角的大小
运动性质
力的作用效果
θ＝0°
加速直线运动
只改变速度的大小，不改变速度的方向
θ＝180°
减速直线运动
0°<θ<90°
速度变大的曲线运动
既改变速度的大小，又改变速度的方向
90°<θ<180°
速度变小的曲线运动
θ＝90°
速度大小不变的曲线运动
只改变速度的方向，不改变速度的大小
4.物体受到的合外力方向总指向曲线的凹侧
图1 1 7
设质点按图1 1 7所示方式做曲线运动，在t1时刻位置是A点，t2时刻运动到B点，经历的时间为Δt＝t2－t1，分别用v1、v2表示A、B两点的速度，将v2平移到A点，按照平行四边形定则作矢量图，速度变化的方向如图中Δv所示，则质点从A到B的平均加速度＝，因为加速度的方向与速度改变量Δv方向相同，所以加速度方向总是指向曲线弯曲的一侧(凹侧)．
当Δt足够小，趋近于零时，平均加速度就无限接近质点在A点的瞬时加速度，它的方向与足够小的Δv方向相同，指向曲线的凹侧．由牛顿第二定律可知，质点受到的合力的方向与加速度方向相同，总指向曲线的凹侧．
4．(2016·清远期中检测)某质点在一段时间内做曲线运动，则在此段时间内( )
【导学号：35390000】
A．速度可以不变，加速度一定在不断变化
B．速度可以不变，加速度也可以不变
C．速度一定在不断变化，加速度也一定在不断变化
D．速度一定在不断变化，加速度可以不变
【解析】 曲线运动的物体速度一定在不断变化，而加速度可以不变，也可以不断变化，故选D.
【答案】 D
5．质点在一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下列图象可能正确的是( )
【解析】 做曲线运动的物体，其速度方向就是曲线上那一点的切线方向，曲线运动的轨迹向合外力的方向弯曲，而合外力的方向就是加速度的方向，故只有D项正确．
【答案】 D
6．一物体由静止开始下落一小段时间后，突然受一恒定水平风力影响，但着地前一小段时间风突然停止，则其运动轨迹的情况可能是图中的( )
【解析】
开始下落一小段时间，小球有竖直向下的速度v，此时水平风力与重力合力为F，F与v成一夹角，物体开始做匀变速曲线运动，假设风力水平向右，将出现如图甲所示的曲线AB段；若风力向左，将出现如图乙所示的曲线AC.假设上面两种情况下的B点或C点开始风力突然停止，物体在重力作用下，分别沿曲线BD或CE运动，并且D、E两点速度不可能沿竖直向下，因为BD与CE段的水平分速度始终没有变化，落到地面时合速度必与地面成一夹角，根据以上分析可知只有C正确．
甲 乙
【答案】 C
1．物体的运动轨迹与初速度和合外力两个因素有关，轨迹在合外力与速度所夹区域之间且与速度相切．
2．若具有一定初速度的物体在恒力作用下做曲线运动时，物体的末速度越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同．第四节 平抛运动
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道平抛运动的特点，并能用动力学观点分析运动轨迹．2．掌握平抛运动的一般处理方法：沿水平方向和竖直方向进行分解．(难点)3．学会利用平抛运动规律解答有关问题．(重点、难点)4．会通过实验探究平抛运动.
平
抛
运
动
1．平抛运动的定义
将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．平抛运动的条件
(1)只受重力作用；(2)有水平方向的初速度．
3．平抛运动的性质
由于平抛运动的加速度恒为重力加速度g，且速度方向与加速度方向不共线，所以平抛运动是一种匀变速曲线运动．
4．运动轨迹
轨迹是抛物线．
1．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．(√)
2．平抛运动是曲线运动，故物体受到的力的方向一定不断变化．(×)
3．平抛运动物体的速度、加速度都随时间增大．(×)
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图1 4 1所示)，都可以看做是抛体运动吗？都可以看成是平抛运动吗？
链球 铅球 铁饼 标枪
图1 4 1
【提示】 链球、铅球、铁饼、标枪等，若被抛出后所受空气阻力可忽略不计，可以看成是抛体运动．它们的初速度不一定沿水平方向，所以它们不一定是平抛运动．
如图1 4 2所示，一人正练习投掷飞镖，请思考：
图1 4 2
探讨1：飞镖投出后，其加速度的大小和方向是怎样的？
【提示】 忽略空气阻力，飞镖投出后只受重力作用，故加速度大小为g，方向竖直向下．
探讨2：飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
【提示】 是匀变速运动．
1．平抛运动的三个特点
特
点
说 明
理想化特点
平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看作质点，抛出后物体只受重力作用
匀变速特点
平抛运动的加速度是恒定的重力加速度，加速度大小和方向不变，因此，速度均匀变化，是匀变速曲线运动
速度变化特点
速度变化量为Δv＝g·Δt，加速度g恒定不变，则任意相等的时间间隔内的速度变化相同，方向竖直向下
2.探究平抛运动规律的两种常用的方法
(1)对比实验法
实验装置如图1 4 3所示．
图1 4 3
①研究水平方向上的分运动的性质
ⅰ)把两个小铁珠分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，使两个小铁珠以相同的初速度分别从轨道A、B同时射出．
ⅱ)同步改变电磁铁C、D与轨道出口水平线之间的高度，多次重复以上步骤．
我们看到两个小铁珠每次都发生相碰，因此可以得出两个小铁珠在水平方向上的运动相同的结论，即平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动.
②研究竖直方向上的分运动的性质
ⅰ)把两个小铁珠分别吸在电磁铁C、E上，切断电磁铁C的电源，使一只小铁珠从轨道A射出，并在射出时通过碰撞开关S使电磁铁E断电，释放吸着的小铁珠．
ⅱ)让电磁铁E从N向M移动，调整它的位置，多次重复以上步骤．
我们看到两个小铁珠每次都发生相碰，因此可以得出两个小铁珠在竖直方向上的运动相同的结论，即平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动.
(2)轨迹研究法
描出平抛运动的轨迹，建立起水平、竖直的直角坐标系，通过对平抛运动轨迹的研究，找出平抛运动的规律．
例如，假定物体在水平方向做匀速直线运动，确定运动时间相等的一些点的坐标，研究物体在竖直方向运动的位移随时间的变化关系，确定竖直方向的运动规律．
①如图1 4 4所示，在平抛运动轨迹的水平坐标轴x上，从原点O开始向右取几个距离相等的点a、b、c，再在轨迹上找到它们的对应点A、B、C，则物体从其中一个位置运动到下一个位置所用时间都是相等的．
图1 4 4
②过A、B、C作水平线与y轴分别交于a′、b′、c′，则这些点间的距离就是每经过相等时间，物体在竖直方向的位移．
③测量Oa′、a′b′、b′c′的长度，探究在竖直方向上是否做匀变速直线运动．
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀速运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下的
【解析】 做平抛运动的物体只受重力作用，产生恒定的加速度，是匀变速运动，其初速度与合外力垂直不共线，是曲线运动，故平抛运动是匀变速曲线运动，A、B错误，C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故落地时的速度是水平方向的分速度和竖直方向的分速度的合速度，其方向一定与竖直方向(或水平方向)有一定的夹角，D错误．
【答案】 C
2．(2016·衡水高一检测)一架飞机水平匀速飞行，飞机上每隔1
s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计空气阻力，则落地前四个铁球在空中的排列情况是( )
【解析】 铁球释放后做平抛运动，水平方向铁球速度和飞机都相同，竖直方向相对飞机做自由落体运动，位移越来越大，故B正确．
【答案】 B
3．蹲在树枝上的一只松鼠看到一个猎人正在用枪水平对准它，就在子弹出枪口时，松鼠开始运动，下述各种运动方式中，松鼠能逃脱被击中厄运的是(设树枝足够高)( )
图1 4 5
A．自由落下
B．竖直上跳
C．迎着枪口，沿AB方向水平跳离树枝
D．背着枪口，沿AC方向水平跳离树枝
【解析】 因为子弹做平抛运动，其竖直方向做自由落体运动，所以松鼠只有竖直上跳才不会被击中，故选B.
【答案】 B
平抛运动是匀变速曲线运动的理解
1．做平抛运动的物体只受重力作用，由牛顿第二定律可知，其加速度恒为g，所以是匀变速运动．
2．重力与速度不在一条直线上，物体做曲线运动．所以平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其轨迹为一条抛物线．
平
抛
运
动
的
规
律
1．平抛运动的分解
(1)水平方向：不受外力，以初速度v0做匀速直线运动．速度vx＝v0.位移x＝v0t.
(2)竖直方向：只受重力作用，由静止开始下落，是自由落体运动．速度：vy＝gt，位移：y＝gt2.
2．速度和位移
平抛运动的合速度v＝＝.位移s＝.
1．如果下落时间足够长，平抛运动物体的速度方向可以变为竖直方向．(×)
2．在同一地区的同一高度，所有做平抛运动的物体的加速度都相同．(√)
3．平抛运动在某时刻的位移与水平方向的夹角等于此时速度与水平方向的夹角．(×)
物体做平抛运动的轨迹如图1 4 6所示，请思考以下问题：
图1 4 6
探讨1：分析曲线运动的基本思路和方法是什么？如何对平抛运动进行研究？
【提示】 可以采用“化曲为直”的方法，即将曲线运动分解为两个方向的直线运动．
探讨2：平抛运动的时间、水平位移和落地速度由哪些因素决定？
【提示】 运动时间由高度决定，水平位移由初速度和高度两个因素决定，落地速度由初速度和高度两个因素决定．
1．平抛运动的规律
如图1 4 7所示，以抛出点O为坐标原点，水平方向为x轴(正方向与初速度v0方向相同)，以竖直方向为y轴(正方向向下)，经时间t做平抛运动的质点到达P位置，速度为v.
图1 4 7
(1)平抛运动的位置坐标与位移
位置坐标
位移大小l＝
位移方向tan
α＝＝，其中α为位移与x轴的夹角．
(2)平抛运动的速度
水平分速度vx＝v0
竖直分速度vy＝gt
合速度大小v＝
合速度方向tan
θ＝＝，其中θ为合速度与水平方向的夹角．
(3)平抛运动的轨迹
由x＝v0t与y＝gt2可得y＝x2.因此，平抛运动的轨迹是一条抛物线．
2．平抛运动的重要推论
(1)做平抛运动的物体的落地速度为v＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
(2)平抛物体的运动中，任意两个时刻的速度变化量Δv＝g·Δt，方向恒为竖直向下，其v0、Δv、vt三个速度矢量构成的三角形一定是直角三角形，如图1 4 8所示．
图1 4 8
(3)平抛运动的速度偏角与位移偏角的关系
两偏角关系：tan
θ＝2tan
α.
由于tan
θ＝2tan
α，v的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点．
(4)平抛运动竖直方向上是自由落体运动，在连续相等的时间t内位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)，且相邻的后一个t比前一个t内多下落Δy＝gt2，而水平方向在连续相等的时间内位移相等．
4．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出、垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
【解析】 由h＝gt2得t＝，垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定，D正确；水平位移s＝v0t，由初速度和落地时间共同决定，C错误；垒球落地速度的大小v＝，落地的方向tan
θ＝，均由初速度和击球点离地面的高度共同决定，故A、B均错误．
【答案】 D
5．如图1 4 9所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
图1 4 9
A．tan
φ＝sin
θ
B．tan
φ＝cos
θ
C．tan
φ＝tan
θ
D．tan
φ＝2tan
θ
【解析】 由平抛运动知识可得：对速度分解有tan
φ＝＝，对位移分解有tan
θ＝＝＝，所以有：tan
φ＝2
tan
θ.
【答案】 D
6．摩托车跨越表演是一项惊险刺激的运动，受到许多极限运动爱好者的喜爱．假设在一次跨越河流的表演中，摩托车离开平台时的速度为24
m/s，成功落到对面的平台上，测得两岸平台高度差为5
m，如图1 4 10所示．若飞越中不计空气阻力，摩托车可以近似看成质点，g取10
m/s2，求：
图1 4 10
(1)摩托车在空中的飞行时间；
(2)摩托车落地前瞬间的速度大小．
【解析】 (1)摩托车在竖直方向做自由落体运动，由h＝gt2，解得t＝1
s.
(2)竖直方向速度vy＝gt＝10
m/s
摩托车落地前瞬间的速度大小为
v＝＝
m/s＝26
m/s.
【答案】 (1)1
s (2)26
m/s
平抛运动中相关量大小的决定因素第三节 竖直方向的抛体运动
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道什么是竖直下抛运动和竖直上抛运动．2．理解竖直下抛运动和竖直上抛运动的性质及运动规律．掌握竖直上抛运动的两种处理方法——分步法和全程法．并能应用这两种方法处理问题．(重点、难点)
竖
直
下
抛
运
动
1．定义
把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．条件
(1)初速度方向竖直向下．
(2)只受重力作用．
3．运动性质
初速度不为零的匀加速直线运动．加速度a＝g.
4．规律
(1)速度公式：vt＝v0＋gt.
(2)位移公式：s＝v0t＋gt2.
(3)从公式可以看出竖直下抛运动可看做是初速度为v0的匀速运动和自由落体运动两个分运动的合运动．
1．竖直下抛运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动．(×)
2．竖直下抛运动的速度规律是v＝gt.(×)
3．竖直下抛运动可以看做竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动的合运动．(√)
某同学站在楼顶竖直向下抛石子，从运动的合成与分解来看，石子的运动可以看成是哪两个运动合成的？
【提示】 石子的运动可以看成是竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动合成的．
某同学从山崖的顶端竖直向下以1
m/s的速度抛出一块石头，2
s后听到石头落地的声音．(g取10
m/s2)
探讨1：该同学能否计算出此山崖的高度？
【提示】 能．根据s＝v0t＋gt2，算得s＝22
m.
探讨2：石头落地时的速度有多大？
【提示】 根据vt＝v0＋gt，算得落地时速度vt＝21
m/s.
1．竖直下抛运动的条件
做竖直下抛运动的物体具有竖直向下的初速度v0，下落过程中只受重力作用．竖直向下抛出的物体，如果空气阻力与物体重力相比较很小时，阻力作用可以忽略，此时也可以把物体的运动看做是竖直下抛运动．
2．竖直下抛运动的分解
竖直下抛运动
3．将物体向下抛出使物体获得速度的过程不是竖直下抛运动，竖直下抛运动是指抛出后的过程．以某一初速度向下抛出的运动不一定是竖直下抛运动，关键是物体是否只受重力，或其他力的影响是否可忽略不计．
1．(2016·东莞高一检测)将物体以一定的初速度竖直下抛，其速度—时间图象可能是( )
【解析】 竖直下抛运动的速度与时间的关系式为vt＝v0＋gt，可知C正确．
【答案】 C
2．(2016·济南高一检测)某同学在一古井口以1
m/s的速度竖直向下扔一石块，2
s后听到石块击水的声音，声音的传播时间忽略不计，取g＝10
m/s2.估算出古井的深度约为( )
A．20
m B．22
m C．2
m D．7
m
【解析】 石块做竖直下抛运动，h＝v0t＋gt2＝1×2＋×10×22
m＝22
m，由此可知井深约为22
m，故选项B正确．
【答案】 B
3．从离地45
m处自由下落一个小球，1
s后再从同一位置竖直向下抛出另一个小球，要使两个小球同时落地，第二个小球抛出时的初速度必须多大？(不计空气阻力，g取10
m/s2)
【导学号：35390008】
【解析】 设自由下落的小球运动时间为t，有h＝gt2
则t＝＝
s＝3
s
设下抛小球的初速度为v0，则运动时间为t1＝2
s
由位移公式h＝v0t1＋gt得
v0＝－gt1＝12.5
m/s.
【答案】 12.5
m/s
竖直下抛的运动规律
竖直下抛运动与我们前面学习的匀加速直线运动的性质是相同的，在处理竖直下抛运动的题目时，匀加速直线运动的规律、推论及方法都是适用的．
竖
直
上
抛
运
动
1．定义
把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向上抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．条件
(1)初速度方向竖直向上．
(2)只受重力作用．
3．运动性质
初速度不为零的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向)，加速度a＝－g.
4．规律
(1)速度公式：vt＝v0－gt.
(2)位移公式：s＝v0t－gt2.
5．基本关系
(1)上升到最高点的时间t＝.
(2)上升的最大高度：h＝.
(3)从最高点回落到抛出点所用时间为，落回到抛出点的速度与抛出时速度大小相等、方向相反．
1．竖直上抛运动是匀变速直线运动．(√)
2．竖直上抛运动的速度大小逐渐减小最终减小为零．(×)
3．竖直上抛运动的位移大小逐渐减小最后为零．(×)
在排球比赛中，运动员发球很关键，为了提高发球质量，经常会看到运动员用力将排球竖直向上抛出，待排球落到一定高度时运动员再顺势将排球扣发过去．
排球的运动过程中是否可以分解为竖直向上的匀减速直线运动和竖直向下的自由落体运动？
图1 3 1
【提示】 不能．
如图1 3 2所示，一物体从竖直匀速上升的直升飞机上脱落．
图1 3 2
探讨1：物体离开直升飞机后做什么运动？
【提示】 物体做竖直上抛运动．
探讨2：做竖直上抛运动的物体到达最高点时的速度为零，加速度也为零吗？
【提示】 在最高点时速度为零，加速度不为零．
1．分析方法
处理方法
有关公式
对称性
分阶段处理
(1)上升过程：匀减速直线运动(取向上为正方向)
(2)下降过程：自由落体运动
(1)速度对称上升和下降过程中经过同一位置的速度大小相等、方向相反．
(2)时间对称上升和下降过程中经过同一段高度的上升时间等于下降时间．
全程处理
取向上为正方向则v0>0，a＝－g
(3)运动过程的对称性上升阶段为匀减速到零的过程，下落阶段为自由落体运动回到抛出点，上升阶段可看做下落阶段的逆过程
2.竖直上抛运动的图象
竖直上抛运动的v t图象是一条斜向下的直线，图线斜率的绝对值为重力加速度．如图1 3 3所示，图象表示抛出至落回抛出点的过程．t轴以上图线表示上升阶段，t轴以下图线表示下落阶段．若t2＝2t1，则初、末速度大小相等，正方向位移(上升)和负方向位移(下落)的合位移为0.
图1 3 3
4．物体竖直上抛后又落回地面，设向上的速度为正，它在整个运动过程中速度v跟时间t的关系应为图中的( )
【解析】 整个过程加速度相同，上升和下降的速度方向相反．
【答案】 B
5．(2016·广州高一检测)一个气球以4
m/s的速度匀速竖直上升，气球下面系着一个重物，当气球上升到下面的重物离地面217
m时，系重物的绳断了，从这时起，重物经过多长时间落到地面？重物着地时速度多大？(取g＝10
m/s)
【导学号：35390009】
图1 3 4
【解析】 绳未断时，重物随气球以4
m/s的速度匀速上升，绳断后，由于惯性，重物将在离地面217
m处，以初速度v0＝4
m/s做竖直上抛运动．
解法1 分段法
上升阶段重物做匀减速运动．上升的最大高度
h1＝＝＝0.8(m)
上升到最高点所用时间
t1＝＝＝0.4
(s)
下降阶段重物做自由落体运动h1＋h＝gt
t2＝＝＝6.6
(s)
故从绳断开始到重物着地时t＝t1＋t2＝7
(s)
重物着地时的速度v＝gt2＝10×6.6＝66
(m/s)
解法2 整体法
以抛出点为坐标原点，取竖直向上为正方向
因为h＝v0t－gt2,
此处h＝－217
m
所以－217＝4t－×10t2
解得t1＝7
s，t2＝－6.2
s(不合题意，舍去)
又
vt＝v0－gt＝4－10×7＝－66
(m/s)
“－”表示着地速度方向竖直向下．
【答案】 7
s 66
m/s
竖直上抛运动问题的解题技巧
1．竖直上抛运动规律表达式中的正、负号的理解：一般选抛出点为坐标原点，向上为正方向，则初速度v0>0，加速度a＝－g，对竖直上抛的全过程有vt＝v0－gt，h＝v0t－gt2，在抛出点下方时有－h＝v0t－gt2.
2．对解的说明与讨论
(1)由vt＝v0－gt知，若vt>0，则物体在上升；若vt<0，则物体在下降．
(2)由s＝v0t－gt2知，若s>0，物体处于抛出点上方；若s<0，物体处于抛出点下方．
3．竖直上抛运动中的多解问题：由于竖直上抛具有对称性，往往造成多解，在实际应用中要正确把握．第五节 斜抛运动
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.经历斜抛运动的探究过程，尝试运用科学探究的方法研究和解决斜抛运动．2．知道斜抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上(或下)抛运动．(重点)3．通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟初速度和抛射角的关系．(难点)
斜抛运动
1．斜抛运动的定义
将物体用一定的初速度沿斜上方(或斜下方)抛出去，仅在重力作用下物体所做的运动．
2．斜抛运动的运动特点
(1)初速度：具有一定的初速度v0，初速度的方向斜向上．(或斜向下)
(2)受力情况：物体只受重力作用，加速度为重力加速度g，重力与速度方向不在一条直线上．
3．斜抛运动的分解
如图1 5 1所示，我们把斜向上的初速度v0分解为水平方向和竖直方向的两个分速度v0x和v0y，这样斜抛运动就可以分解成以下两个分运动：
图1 5 1
(1)水平方向：由于不受外力作用，分运动为匀速直线运动，速度大小为v0cos_θ.
(2)竖直方向：加速度为g的竖直上抛运动，初速度大小为v0sin_θ.
4．斜抛运动是加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
1．做斜抛运动的物体在运动过程中加速度和水平方向的分速度保持不变．(√)
2．做斜抛运动的物体，到达最高点时，速度为零加速度不为零．(×)
3．做斜抛运动的物体，在相等的时间内速度变化量相等．(√)
弧旋球又称“弧线球”“香蕉球”，是足球运动技术名词，指足球踢出后，球在空中向前并做弧线运行的踢球技术，如图1 5 2所示．这时的足球在空中的运动是斜抛运动吗？
图1 5 2
【提示】 只有在忽略足球受到的阻力的情况下，才可以看作斜抛运动．
如图1 5 3所示，是体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等．
图1 5 3
探讨1：在什么情况下，它们的运动可以看作是平抛运动？
【提示】 忽略空气阻力，沿水平方向抛出时看作平抛运动．
探讨2：在什么情况下，它们的运动可以看作是斜抛运动？
【提示】 忽略空气阻力，沿斜向上方向抛出时可以看作斜抛运动．
1．受力特点
斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g.
2．运动特点
物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线．
3．速度变化特点
由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv＝gΔt.
4．对称性特点
(1)速度对称：相对于轨道最高点两侧对称的两点速度大小相等，或水平方向速度相等，竖直方向速度等大反向(如图1 5 3)．
图1 5 3
(2)时间对称：相对于轨道最高点两侧对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的．
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称．
1．(多选)关于斜抛运动，忽略空气阻力．下列说法中正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动
B．斜抛运动的初速度是水平的
C．斜抛运动在最高点速度不为零
D．斜抛运动的加速度是恒定的
【解析】 做斜抛运动的物体只受重力作用，加速度为g，水平方向为匀速直线运动，竖直方向做加速度为重力加速度g的匀变速直线运动，在最高点有水平速度．故A、C、D正确．
【答案】 ACD
2．若不计空气阻力，下列运动可以看成斜抛运动的是( )
A．斜向上方发射的探空火箭
B．足球运动员远射踢出的高速旋转的“香蕉球”沿奇妙的弧线飞入球门
C．姚明勾手投篮时抛出的篮球
D．军事演习中发射的导弹
【解析】 发射的火箭、导弹是靠燃料的推力加速运动，而“香蕉球”由于高速旋转受到较大的空气作用力，故A、B、D错误；而姚明勾手投篮抛出的篮球只受重力作用，故C正确．
【答案】 C
3．关于斜抛运动，下列说法中正确的是( )
【导学号：35390015】
A．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断变化，不可能是匀变速运动
B．做斜抛运动的物体任意两段相等时间内的速度变化是相等的
C．做斜抛运动的物体任意两段相等时间内的速度大小变化相等
D．做斜抛运动的物体，落地时的速度可能是竖直向下的
【解析】 因做斜抛运动的物体只受重力作用，其加速度(重力加速度g)是恒定不变的，所以斜抛运动是匀变速曲线运动，A选项错误；经时间Δt，物体的速度变化Δv＝gΔt，方向与g方向相同，所以做斜抛运动的物体任意两段相等时间内的速度变化是相等的(经相等时间速度变化相等即匀变速运动)，选项B正确；速度与速度变化都是矢量，速度大小变化无此规律，选项C错误；因为斜抛运动可以分解为水平方向上的匀速运动与竖直方向上的匀变速运动，物体受的重力不能改变水平分速度，所以落地时的速度不可能竖直向下，选项D错误．
【答案】 B
斜
抛
运
动
的
规
律
1．斜抛运动的位置坐标
在抛出后t秒末时刻，物体的位置坐标为
x＝v0cos_θ·t，y＝v0sin
θ·t－gt2.
2．斜抛运动的速度公式
两个分速度为vx＝v0cos_θ，vy＝v0sin_θ－gt.
合速度为v＝.
合速度方向跟水平方向的夹角α，由下式决定
tan
α＝vy/vx.
3．斜抛运动的飞行时间
从物体被抛出到落地所用时间，用T表示．当t＝T时，y＝0，则v0sin
θ·T－gT2＝0.
故T＝.
4．斜抛运动的射高
从抛出点的水平面到物体运动轨迹最高点间的高度差叫做射高，其值为
Y＝.
5．斜抛运动的射程
从物体被抛出的地点到落地点间的水平距离称射程，其值为X＝＝.
6．斜抛运动的弹道曲线
如图1 5 4所示，图中实线为炮弹实际飞行的轨迹，这种曲线通常称为弹道曲线．
图1 5 4
弹道曲线和抛物线是不同的．由于空气阻力的影响，弹道曲线的升弧和降弧不再对称，升弧长而平伸，降弧短而弯曲.
1．斜抛运动的物体达最高点时，速度为零．(×)
2．初速度增大，射高和射程均增大．(×)
3．在初速度大小恒定的情况下，抛射角越大，射高越大，而射程不一定大．(√)
学校运动会上，有一项比赛项目是投掷铅球，如图1 5 5所示，当铅球以什么角度投掷时，才能运动的最远？
图1 5 5
【提示】 45°
斜抛运动是一种常见的运动形式．例如：水面上跃起的海豚的运动(如图1 5 6甲)；投出去的铅球、铁饼和标枪的运动等(如图1 5 6乙)．
图1 5 6
探讨1：抛出时的速度越大，物体的射程就会越远吗？
【提示】 不一定，斜抛运动的物体，其射程还与抛射角有关．
探讨2：斜抛物体在空中的飞行时间由哪些因素决定？
【提示】 根据t＝，飞行时间由初速度和角度决定．
射高、射程、飞行时间随抛射角变化的比较
物理量
表达式
与θ关系
θ＜45°且增大
θ＞45°且增大
射高h
①h＝
↑
↑
射程s
②s＝
↑
↓
飞行时间t
③t＝
↑
↑
4．在不考虑空气阻力的情况下，以相同大小的初速度，抛出甲、乙、丙三个手球，抛射角为30°、45°、60°，则射程较远的手球是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．不能确定
【解析】 不考虑空气阻力情况下，三个小球的运动可看做斜抛运动，然后根据斜抛运动的射程公式s＝分析．
【答案】 B
5．斜上抛物体到达最高点时速度为v＝24
m/s，落地时速度为vt＝30
m/s.如图1 5 7所示．试求：(g取10
m/s2)
图1 5 7
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间；
(3)射高Y和水平射程X.
【解析】 (1)由对称性知v0＝vt＝30
m/s，v0x＝v＝24
m/s，则v0y＝18
m/s.
故v0与x轴正方向夹角tan
α＝＝，故α＝37°.
(2)由斜抛知识知t＝＝
s＝3.6
s.
(3)射高Y＝＝16.2
m，射程X＝v0xt＝86.4
m.
【答案】 (1)30
m/s，与x轴正方向成37°角
(2)3.6
s (3)16.2
m,86.4
m
斜抛运动问题的分析技巧
1．斜抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动．
2．运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定．
3．由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析．第二节 运动的合成与分解
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道合运动与分运动的概念和关系，并会在具体问题中加以区分．2．知道什么是运动的合成、分解，理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则．(重点)3．会用作图法和直角三角形知识求解有关位移、速度、加速度的合成与分解问题．(难点)
分
运
动
与
合
运
动
1．概念
如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，则物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动．
2．关系
(1)独立性：一个物体同时参与两个分运动，其中任意一个分运动并不因为有其他分运动而有所改变，即两个分运动独立进行，彼此互不影响．
(2)等效性：各分运动共同产生的效果与合运动产生的效果相同．
(3)等时性：合运动和分运动同时发生，经历的时间相同．
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动．
1．物体的实际运动的方向就是合运动的方向．(√)
2．对一个运动的物体研究分运动，就不能同时研究合运动，这就是等效性．(√)
3．各个分运动与合运动总是同时开始，但不一定是同时结束．(×)
自然界中物体的运动丰富多彩，在研究物体的实际运动中，如何确定哪些运动是合运动，哪些运动是分运动？
【提示】 物体的实际运动为合运动，某一时刻物体的速度、加速度、一段时间的位移都为合运动的速度、加速度、位移；而分运动一般是根据运动效果确定，将物体的运动看做同时参与的两个分运动，可运用假设的方法确定．
探讨1：
如图1 2 1，将某一物体水平抛出后，物体将参与水平方向的运动和竖直方向的运动，当水平方向有风和无风相比较，竖直向下的加速度是否变化？
图1 2 1
【提示】 不变．根据运动的独立性，当水平方向有风时仅影响水平方向的运动，而其他分运动不受干扰，竖直方向运动性质不变，即加速度不变．
探讨2：风雨大作时，我们会看到大雨倾斜而下．你知道哪个运动是雨滴的合运动吗？这个合运动可以分解为哪两个分运动？
【提示】 雨滴的实际运动即倾斜方向的运动就是雨滴的合运动，合运动可以分解为竖直方向的运动和水平方向随风的运动这两个分运动．
1．合运动与分运动的判定：在一个具体运动中，物体的实际运动是合运动，合运动往往是物体相对于静止地面的运动或相对于静止参考系的运动．
2．合运动与分运动的理解
(1)合运动与分运动的关系．
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
独立性
一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
等效性
各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性
各分运动与合运动都是同一物体参与的运动
(2)两点注意．
①物体实际运动的方向是合速度的方向．
②只有同时运动的两个分运动才能合成．
1．(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平吹来的风，下述说法正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
【解析】 雨滴竖直向下的下落运动和在风力作用下的水平运动是雨滴同时参与的两个分运动，雨滴下落的时间由竖直分运动决定，两分运动彼此独立，互不影响，雨滴下落的时间与风速无关，选项A错误，选项C正确；雨滴着地时的速度与竖直分速度和水平风速有关，风速越大，雨滴着地时的速度越大，选项B正确，选项D错误．
【答案】 BC
2．关于运动的独立性，下列说法正确的是( )
A．运动是独立的，是不可分解的
B．物体同时参与的几个分运动是互不干扰、互不影响的
C．合运动和分运动是各自独立的，是没有关系的
D．各分运动是各自独立的，是不能合成的
【解析】 运动的独立性是指一个物体同时参与的几个分运动是各自独立、互不影响的，故只有选项B正确．
【答案】 B
各个方向的分运动具有独立性、等时性，即互不影响，运动时间相同．
运
动
的
合
成
与
分
解
1．概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程．
2．遵循法则
位移、速度、加速度都是矢量，合成与分解时遵循的法则与前面学过的力的合成与分解相同，即都遵循平行四边形定则．
3．意义
一个合运动可以分解为两个分运动，两个分运动可以合成一个合运动．
一些常见的曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别研究这两个方向上的受力及运动情况，就可以知道复杂的曲线运动的规律．
1．合运动的速度、位移可能小于分运动的速度、位移．(√)
2．分运动都是直线运动，则合运动一定是直线运动．(×)
3．合运动分解时，一定要按实际情况来分解．(√)
直升机现已广泛应用于突发性灾难的救援工作．如图1 2 2为救助飞行队将一名身受重伤，生命垂危的灾民接到安全地带的情景．为了达到最快速的救援效果，飞机往往一边在收拢缆绳，提升被救者，将伤员接进机舱，一边还要沿着水平方向飞向安全地带．从地面上观察被救者的运动是怎样的呢？
图1 2 2
【提示】 如果飞机在水平方向上匀速飞行，但不收拢缆绳，伤员将在水平方向上匀速运动；如果飞机静止在空中同时匀速收拢缆绳，伤员将做竖直向上的匀速运动；当飞机在水平方向上匀速运动，同时收拢缆绳时，伤员参与了两个分运动：一个是竖直向上的匀速运动，另一个是水平方向上的匀速运动．伤员的实际运动是这两个分运动的合运动，所以，从地面上观察，他将以这个合速度斜向上做匀速直线运动，如图所示．
如图1 2 3所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
图1 2 3
探讨1：战士在水平方向上和竖直方向上分别做什么运动？
【提示】 战士水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．
探讨2：战士的合速度的大小、合位移的大小如何计算？
【提示】 合速度、合位移都可以应用平行四边形定则计算．
1．合运动性质的判断
2．合运动轨迹的判断
看合运动的加速度与速度的方向关系，如下：
两种情况
3．互成角度的两个直线运动的合成
分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)
v和a在同一条直线上时物体做匀变速直线运动
v和a不在同一条直线上时物体做匀变速曲线运动
4.两个相互垂直的分运动的合成
如果两个分运动都是匀速直线运动，且互成角度为90°，其分位移为s1、s2分速度为v1、v2，则其合位移s和合速度v可以运用解直角三角形的方法求得，如图1 2 4所示．
合位移大小和方向为
s＝ tan
θ＝
合速度大小和方向为v＝
tan
φ＝
图1 2 4
3．(2016·广州期中)关于运动的合成和分解，下列说法正确的是( )
A．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动
B．曲线运动的加速度方向可能与速度的方向在同一条直线上
C．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线
D．合运动的时间等于两个分运动的时间之和
【解析】 分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动，A错误．曲线运动加速度的方向和速度方向一定不在同一条直线上，B错误．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线，C正确．合运动的时间与两个分运动的时间相等，D错误．
【答案】 C
4．如图1 2 5所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，人沿梯子匀加速向上运动的同时消防车匀速后退，从地面上看，下列说法中正确的是( )
【导学号：35390004】
图1 2 5
A．消防队员做匀加速直线运动
B．消防队员做匀变速曲线运动
C．消防队员做变加速曲线运动
D．消防队员水平方向的速度保持不变
【解析】 消防队员参与了两个分运动，一个是随车匀速后退．另一个是沿梯子向上匀加速直线运动，即合初速度与合加速度不共线，故合运动是匀变速曲线运动，B对．
【答案】 B
5.如图1 2 6所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板．将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是( )
图1 2 6
A B C D
【解析】 铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，其他选项均错．
【答案】 C
1．根据合加速度是否恒定判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动，若合加速度不变且不为零，则合运动为匀变速运动，若合加速度不断变化则为非匀变速运动．
2．根据合加速度与合初速度是否共线判断合运动是直线运动还是曲线运动，若合加速度与合初速度在同一直线上，则合运动为直线运动，否则为曲线运动．
小
船
渡
河
问
题
探讨1：小船渡河时间与哪些因素有关？
【提示】 小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
探讨2：如何求最短的渡河时间？
【提示】 船头与河岸垂直时渡河时间最短．
探讨3：如何求最短的渡河位移？
【提示】 船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
1．小船过河时的合运动与分运动
船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中的船的运动)，船的实际运动是合运动．处理方法通常有两种，其一是根据运动的实际效果去分解，其二是正交分解(这种方法用得不是很多)．
图1 2 7
2．渡河时间最短
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图1 2 7可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan
θ＝.
3．渡河位移最短
求解渡河位移最短问题，分为两种情况
(1)若v水θ＝v水，v合⊥v水，如图1 2 8所示．
图1 2 8
(2)若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，
图1 2 9
即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：
如图1 2 9所示，按水流速度和船在静水中速度大小的比例，先从出发点A开始做矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧做切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos
θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝.
6．小船在静水中速度为v，现在小船要渡过一条河流，渡河时小船垂直对岸划行．若小船划行至河中间时，河水流速忽然增大，则渡河时间与预定时间相比，将( )
A．增长
B．不变
C．缩短
D．无法确定
【解析】 船在流水中的运动，可认为是船在静水中的运动和水流运动的合成，由分运动的独立性知，二者互不干涉．过河时间仅取决于河宽和船在静水中的速度，因此，当水流速度增大时，过河时间不会发生变化．
【答案】 B
7．船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )
【解析】 根据运动的合成与分解的知识可知，要使船垂直到达对岸就要使船的合速度指向对岸．根据平行四边形定则，C正确．
【答案】 C
8．河宽d＝200
m，水流速度v1＝3
m/s，船在静水中的速度v2＝5
m/s.求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
【导学号：35390005】
【解析】 (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示．
甲
tmin＝＝40
s
船经过的位移大小
x＝vtmin＝tmin≈233
m.
(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船的航行速度v2与岸成θ角，如图乙所示．
乙
则cos
θ＝＝.
v′＝＝4
m/s
渡河时间t′＝＝50
s.
【答案】 (1)船头指向对岸 40
s 233
m
(2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为 50
s
小船渡河问题
1．小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
2．小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类渡河问题的解题关键：
(1)船头与河岸垂直时渡河时间最短；
(2)船随水向下游运动速度与水速相同；
(3)船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
