习题课(1)
课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．若Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝.
2．若数列{an}为等差数列，则有：
(1)通项公式：an＝__________；
(2)前n项和：Sn＝______________＝_________________________________________.
3．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则______________________．
(2)若Sn表示等差数列{an}的前n项和，则
Sk，S2k－Sk，____________成等差数列．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )
A．24
B．22
C．20
D．－8
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于( )
A．24
B．25
C．26
D．27
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120
B．105
C．90
D．75
5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为( )
A．11
B．12
C．13
D．14
6．在等差数列{an}中，a1＝－2
008，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2
012等于( )
A．－2
012
B．2
012
C．6
033
D．6
036
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N＋且p≠q)，则Sp＋q＝________.
9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N＋，则数列{an}的通项公式an＝________.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
能力提升
13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|
A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n
(n≥3)行从左至右的第3个数是______________．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n项和公式的出发点．
2．通项公式与前n项和公式联系着五个基本量：a1、d、n、an、Sn.掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．
3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．
习题课(1)
答案
知识梳理
1．S1 Sn－Sn－1 2.(1)a1＋(n－1)d (2)na1＋ 3.(1)am＋an＝ap＋aq
(2)S3k－S2k
作业设计
1．A
2．C [∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，∴S13＝＝13a7＝26.]
3．C [设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′，
则a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′)＝(a1＋b1)＋(d＋d′)＝100.
又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0.
∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′)＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100.]
4．B [∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0，
∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80，
∴d＝3，a1＝2.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105.]
5．A [S4＝S8 a5＋a6＋a7＋a8＝0 a6＋a7＝0，又a1>0，d<0，
S12＝＝0，n<12时，Sn>0.]
6．D [＝a1＋，
∴－＝a1＋d－a1－d＝d＝2.
∴S2
012＝2
012×(－2
008)＋×2＝2
012×3＝6
036.]
7．80
解析 a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80.
8．0
解析 设Sn＝an2＋bn，由Sp＝Sq.
知ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－.
∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q)＝a(－)2＋b(－)＝－＝0.
9．5或6
解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．
10．n2－2n＋21
解析 ∵an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝2n－3，n≥2.
∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．
∴an＝20＋＝n2－2n＋21.
11．解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
又公差d>0，∴a3∴，∴，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－
(c＝0舍去)．
13．D [∵S19＝＝19a10<0，
S20＝.而a1＋a20＝a10＋a11，
∵a10<0，a11>0且|a10|∴a10＋a11>0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)>0.
又∵d＝a11－a10>0.
∴Sn>0
(n≥20)．]
14.－＋3
解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1
(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋习题课(2)
课时目标 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2.掌握数列求和的几种基本方法．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝______________＝____________.
2．等比数列前n项和公式：
①当q＝1时，Sn＝________；
②当q≠1时，Sn＝__________＝____________.
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝________________.
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝____________；
(2)＝__________________；
(3)＝__________.
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1
B.
C.
D.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11
B．99
C．120
D．121
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－
B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－
D.n(n＋1)＋2(1－)
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2)
B.n(n＋4)
C.n(n＋5)
D.n(n＋7)
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1
B．2n－1－1
C．2n＋1
D．4n－1
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
8．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn
(n≥1)，则an＝____________.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln
n
B．2＋(n－1)ln
n
C．2＋nln
n
D．1＋n＋ln
n
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．
2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．
习题课(2)
答案
知识梳理
1. na1＋d
2.①na1②
3.
4.(1)－ (2)(－)(3)－
作业设计
1．B [∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.]
2．C [∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.]
3．A [1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)
＝＋
＝(n2＋n)＋1－
＝(n2＋n＋2)－.]
4．C [a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.]
5．B [S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，
所以S17＋S33＋S50＝1.]
6．A [由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.]
7．－6
8.
解析 ∵an＋1＝，∴＝＋.
∴是等差数列且公差d＝.
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，
∴an＝.
9．1
473
解析 100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1
683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1－S2＝1
683－210＝1
473.
10.
解析 an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1
(n≥1)．
∵a2＝S1＝，
∴an＝.
11．解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·＝·，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
12．解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
13．A [∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln
n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝2＋[ln
2－ln
1＋ln
3－ln
2＋ln
4－ln
3＋…＋ln
n－ln(n－1)]
＝2＋ln
n－ln
1＝2＋ln
n．]
14．解 当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴a－a－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.
∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.