北师大版必修5同步练习：2.2三角形中的几何计算

§2　三角形中的几何计算
课时目标　1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．
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1．正弦定理和余弦定理
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)；
(2)余弦定理：a2＝____________________或cos
A＝______________(其余形式略)
2．在△ABC中，有以下常用结论：
(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；
(2)a>b ______ ____________；
(3)A＋B＋C＝π，＝－；
(4)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝____________________________________，
sin
＝______________，cos
＝___________________________________.
3．三角形常用面积公式
(1)S＝____________(ha表示a边上的高)；
(2)S＝absin
C＝____________＝______________；
(3)S＝(可由正弦定理推得)；
(4)S＝2R2sin
A·sin
B·sin
C(R是三角形外接圆半径)；
(5)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
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一、选择题
1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)
A.
B.
C.
D．9
2．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)
A.
B．1＋
C.
D．2＋
4．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形面积是(　　)
A．16
B．17
C．18
D．18.53
5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos
A＝，则△ABC的面积S为(　　)
A.
B.
C.
D．6
6．在△ABC中，已知cos
A＝，sin
B＝，则cos
C的值为(　　)
A.
B.
C.和
D．－
二、填空题
7.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB
＝45°，则圆O的面积等于________．
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8．若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
9．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
三、解答题
11．在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：＝.
12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．
能力提升
13．一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：＝＋.
14．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．
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(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
(2)求S的最大值及此时θ的取值．
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解三角形广泛应用于解各种平面图形，如平行四边形、梯形、扇形及一些简单的不规则图形．处理时，可添加适当的辅助线构造三角形，将问题纳入到某个三角形中，再选择正、余弦定理加以解决．
第二章　解三角形
§2　三角形中的几何计算
答案
知识梳理
1．(2)b2＋c2－2bccos
A　　2.A>B
sin
A>sin
B　(4)sin
C　－cos
C　cos
　sin
　3.(1)aha　(2)acsin
B　bcsin
A
作业设计
1．B　[设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cos
θ＝，则sin
θ＝.∴2R＝＝＝.]
2．B　[设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB.①
在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB.②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.]
3．B　[∵2b＝a＋c，S＝acsin
B＝，∴ac＝6.
∴b2＝a2＋c2－2accos
B＝(a＋c)2－2accos
B－2ac.
∴b2＝4b2－6－12，
∴b2＝2＋4，b＝1＋.]
4．A　[设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos
α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cos
α＝或a＝4，b＝5，cos
α＝，∴S ABCD＝ab
sin
α＝16.]
5．A　[由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos
A，
即6＝4c2＋c2－4c2·.∴c＝2，从而b＝4.
∴S△ABC＝bcsin
A＝×2×4×
＝.]
6．A　[∵cos
A＝，0∴sin
A＝.∵sin
A>sin
B，
从而a>b，故A>B，∴cos
B＝，
∴cos
C＝－cos(A＋B)＝sin
Asin
B－cos
Acos
B＝.]
7．8π
解析　∵2R＝＝＝4，∴R＝2.∴S＝πR2＝8π.
8．4
解析　较长的对角线长为：
＝4.
9．20
解析　设AB＝8k，AC＝5k，k>0，
则S＝AB·AC·sin
A＝10k2＝10.
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A＝82＋52－2×8×5×＝49.
∴BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.
10.
解析　不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：
cos
A＝＝＝，
∴sin
A＝
＝.
由(a＋b＋c)·r＝bcsin
A得r＝.
∴S内切圆＝πr2＝.
11．证明　如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，
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＝.①
在△CBD中，利用正弦定理，＝②
∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以①＝②，得＝.即＝成立.
12．解　
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连接BD，则四边形面积
S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin
A＋BC·CD·sin
C.
∵A＋C＝180°，∴sin
A＝sin
C.
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin
A＝16sin
A.
由余弦定理：在△ABD中，
BD2＝22＋42－2×2×4cos
A＝20－16cos
A，
在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos
C＝52－48cos
C，
∴20－16cos
A＝52－48cos
C.
又cos
C＝－cos
A，∴cos
A＝－.∴A＝120°.
∴四边形ABCD的面积S＝16sin
A＝8.
13．证明　
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∵S△ABP＝S△APC＋S△BPC，
∴PA·PBsin(α＋β)＝PA·PCsin
α＋PB·PCsin
β
两边同除以PA·PB·PC，得＝＋.
14．解　(1)△ABD的面积
S1＝×1×1×sin
θ＝sin
θ，
由于△BDC是正三角形，
则△BDC的面积S2＝BD2.
而在△ABD中，由余弦定理可知：
BD2＝12＋12－2×1×1×cos
θ＝2－2cos
θ.
于是四边形ABCD的面积
S＝sin
θ＋(2－2cos
θ)，
∴S＝＋sin，0<θ<π.
(2)由S＝＋sin及0<θ<π，
则－<θ－<.
当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋.