北师大版必修5同步练习：3.1不等关系

第三章　不等式
1.1　不等关系
1.2　不等关系与不等式
课时目标　1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
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1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a____b；
如果a－b等于____，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0 a____b；
a－b＝0 a____b；
a－b<0 a____b.
2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b b____a(对称性)；
(2)a>b，b>c a____c(传递性)；
(3)a>b a＋c____b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0 ac____bc；a>b，c<0 ac____bc；
(5)a>b，c>d a＋c____b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ac____bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2 an____bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2 ____.
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一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.<
B．a2>b2
C.>
D．a|c|>b|c|
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>>
B.>>a
C.>a>
D.>>a
3．已知a、b为非零实数，且aA．a2B．a2bC.<
D.<
4．若x∈(e－1,1)，a＝ln
x，b＝2ln
x，c＝ln3x，则(　　)
A．aB．cC．bD．b5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0
B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0
D．b＋a>0
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为___________________________．
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
三、解答题
11．设a>b>0，试比较与的大小．
12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
能力提升
13．若0A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1
D.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
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1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
1．1　不等关系
1．2　不等关系与不等式
答案
知识梳理
1．(1)>　0　<　(2)>　＝　<　2.(1)<　(2)>
(3)>　(4)>　<　(5)>　(6)>　(7)>　(8)>
作业设计
1．C　[对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
2．D　[取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>>a.]
3．C　[对于A，当a<0，b<0时，a2对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.]
4．C　[∵x<0.
令t＝ln
x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.]
5．D　[由a>|b|得－a0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a－)2＋b2]∴a3＋b3>0，B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．]
6．A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.]
7．[－1,6]
解析　∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.
8．f(x)>g(x)
解析　∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．
9.≤
解析　∵－＝＝≤0，∴≤.
10．A>B
解析　A＝，B＝.
∵＋<＋，并且都为正数，
∴A>B.
11．解　方法一　作差法
－＝＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
12．解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
13．A　[特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]
14．解　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．