3.1 等比数列(一)
课时目标 1.理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用.3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．
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1．如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的______，通常用字母____表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式：
__________________________________________________.
3．等比中项的定义
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的________，且G＝________.
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一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A.
B.
C.
D.
6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D．不确定
二、填空题
7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
三、解答题
11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)
(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
能力提升
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
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1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q
(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2
(n∈N＋)．
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量．已知其中三个量可求得第四个．
§3 等比数列
3．1 等比数列(一)
答案
知识梳理
1．2 比 公比 q 2.an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)
3．等比中项 ±
作业设计
1．B [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
2．A [∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.]
3．C [设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.]
4．B [∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.]
5．A [设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，∴这三个数45,75,125，公比q为＝.]
6．A [a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，
∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0
(q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝
(q＝<0舍)
∴＝＝.]
7．4·()n－1
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，则a1＝4，q＝＝，
∴an＝4·()n－1.
8．18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
9．5
解析 设公比为q，
则 q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
10.
解析 设三边为a，aq，aq2
(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin
θ＝＝.
11．解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
12．(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
13．－9
解析 由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.
14．(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
公比为2，首项a1＋1＝2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.3.2 等比数列的前n项和(二)
课时目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
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1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝__________＝__________；当q＝1时，Sn＝_______.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)仍构成______数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝______.
3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
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一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2
B.(2n－1)2
C．4n－1
D.(4n－1)
2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1，…的前n项和为( )
A．2n－1
B．n·2n－n
C．2n＋1－n
D．2n＋1－n－2
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5
B.或5
C.
D.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90
B．70
C．40
D．30
6．某市决定从2010年1月1日起到2015年1月1日五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2010年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14≈1.46,1.15≈1.61)( )
A．10%
B．16.4%
C．16.8%
D．20%
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.
8．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
10．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝________.
三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg
657＝2.82，lg
2＝0.30，lg
3＝0.48)
能力提升
13．有纯酒精a
L(a>1)，从中取出1
L，再用水加满，然后再取出1
L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
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1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．
3．2 等比数列的前n项和(二)
答案
知识梳理
1. na1 2.(1)等比 (3)q
作业设计
1．D [易知{an}为等比数列且an＝2n－1，
∴{a}也是等比数列，a＝1，公比为4.
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]
2．D [1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
3．C [若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，
则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.]
4．A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．]
5．C [q≠1
(否则S30＝3S10)，
由，∴，
∴，∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.]
6．B [该市出租车总数记为1，设2010年底更新其中x部分，
则x＋1.1x＋1.12x＋1.13x＋1.14x＝1，
∴x＝(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)－1＝≈16.4%.]
7．1
解析 ∵Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列．
∴an为定值．
∴q＝＝1.
8．729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，
∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．
9.
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
10．63
解析 方法一 ∵S8≠2S4，∴q≠1.
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝.
③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64＝63.
方法二 因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
11．解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，
公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1
(n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
12．解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1
458(辆)．
(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
依据题意，得>，
于是Sn＝>5
000(辆)，即1.5n>.
两边取常用对数，则n·lg
1.5>lg
，
即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
13.8
解析 用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，
依次类推：a9＝8，a10＝9.
∴8＋9＝8.
14．解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．3.2 等比数列的前n项和(一)
课时目标 1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
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1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝____________.
3．推导等比数列前n项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
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一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11
B．5
C．－8
D．－11
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3
B．5
C．－31
D．33
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C.
D.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.
B.
C.
D.
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514
B．513
C．512
D．510
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0)．
能力提升
13．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
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1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q
＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
3．2 等比数列的前n项和(一)
答案
知识梳理
1．(1) na1 2. 3.错位相减
作业设计
1．D [由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.]
2．D [由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.]
3．C [方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.]
4．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.]
5．C [当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.]
6．D [由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程组，解得或.
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.]
7．－
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
8．3
解析 S6＝4S3 ＝ q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．10
解析 Sn＝，∴－341＝，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，
∴a1＝1.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N＋.
11．解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组
得①
或②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
12．解 分x＝1和x≠1两种情况．
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得
Sn＝.
13．证明 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，则Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，则Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
14．解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.3.1 等比数列(二)
课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
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1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有________________，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝________.
2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．
3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
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一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5
B．7
C．6
D．4
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A.
B.
C．2
D．3
6．在正项等比数列{an}中，an＋1
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
能力提升
13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
14．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．
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1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项
不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2.
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
3．1 等比数列(二)
答案
知识梳理
1．am·an＝ak·al a 2.等比
作业设计
1．C [在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.]
2．B [∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.]
3．C [设等比数列公比为q.由题意知：m＝，n＝，则＋＝＋＝＋＝2.]
4．A [∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝.
∴a4a5a6＝a＝＝5.]
5．A [∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝.
∵a1a9＝a2a8＝a，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log3＝.]
6．D [设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋17．4
解析 由题意知，q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.
8．－6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
9．8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10.
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
11．解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得，
解得或.故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
12．证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，
p≠q，cn＝an＋bn.
要证{cn}不是等比数列，
只需证c≠c1·c3成立即可．
事实上，c＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．
由于c1c3－c＝a1b1(p－q)2≠0，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．
13．D [依题意有
①代入③求得b＝2.
从而 a2＋2a－8＝0，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符，∴a＝－4.]
14．解 设三个数为，a，aq，∴a3＝－8，即a＝－2，
∴三个数为－，－2，－2q.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；
(2)若－2q为－与－2的等差中项，则＋1＝2q，
2q2－q－1＝0，q＝－或q＝1(舍去)，
∴三个数为4,1，－2；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2或q＝1(舍去)，
∴三个数为4,1，－2.
综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.