1.1 正弦定理(二)
课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
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1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin
A∶sin
B∶sin
C＝____________；
(2)＝＝＝＝__________；
(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；
(4)sin
A＝________，sin
B＝________，sin
C＝__________.
2．三角形面积公式：S＝__________＝____________＝______________.
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一、选择题
1．在△ABC中，sin
A＝sin
B，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.
B．(10，＋∞)
C．(0,10)
D.
4．在△ABC中，a＝2bcos
C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1
B．2
C.
D．4
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
12．在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos
＝，求△ABC的面积S.
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1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C；
(3)＋＝；
(4)sin
＝cos
，cos
＝sin
，tan
＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．
1．1 正弦定理(二)
答案
知识梳理
1．(1)a∶b∶c (2)2R (3)2Rsin
A 2Rsin
B 2Rsin
C (4) 2.absin
C bcsin
A
casin
B
作业设计
1．D
2．B [由正弦定理知：＝＝，∴tan
A＝tan
B＝tan
C，∴A＝B＝C.]
3．D [∵＝＝，∴c＝sin
C.∴0
4．A [由a＝2bcos
C得，sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.]
5．B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k
(k>0)，
则，解得.
∴sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]
6．A [设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin
C＝＝＝，∴abc＝1.]
7．2
解析 ∵cos
C＝，∴sin
C＝，
∴absin
C＝4，∴b＝2.
8．2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin
B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．12 6
解析 ＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin
C＝×6×12sin
C＝18，
∴sin
C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
11．证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝＝＝＝
＝右边．所以等式成立，即＝.
12．解 设三角形外接圆半径为R，
则a2tan
B＝b2tan
A ＝ ＝ sin
Acos
A＝sin
Bcos
B sin
2A＝sin
2B 2A＝2B或2A＋2B＝π A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
13．C [设C为最大角，
则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝＝＝＋＝＝＋，
∴tan
A＝1，A＝45°，C＝75°.]
14．解 cos
B＝2cos2
－1＝，故B为锐角，sin
B＝.
所以sin
A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，以S△ABC＝acsin
B＝×2××＝.第二章 解三角形
1.1 正弦定理(一)
课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．
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1．在△ABC中，A＋B＋C＝______，＋＋＝.
2．在Rt△ABC中，C＝，则＝______，＝______.
3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_________，这个比值是________________．
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一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3
B．2∶3∶4
C．3∶4∶5
D．1∶∶2
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1
B．2＋1
C．2
D．2＋2
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
4．在△ABC中，若sin
A>sin
B，则角A与角B的大小关系为( )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不能确定
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135°
B．60°
C．45°
D．135°
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120°
B．105°
C．90°
D．75°
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝__________________________.
8．在△ABC中，若tan
A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
9．(2010·北京)在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sin
B＋cos
B＝，则角A的大小为________．
14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
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1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．
A为锐角
aA
a＝bsin
A
bsin
Aa≥b
无解
一解(直角)
两解(一锐角，一钝角)
一解(锐角)
A为直角或钝角
a≤b
a≤b
无解
一解(锐角)
§1 正弦定理与余弦定理
1．1 正弦定理(一)
答案
知识梳理
1．π 2.sin
A sin
B 4.＝＝ 三角形外接圆的直径2R
作业设计
1．D
2．C [由正弦定理＝，得＝，∴b＝2.]
3．A [sin2A＝sin2B＋sin2C (2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．]
4．A [由sin
A>sin
B 2Rsin
A>2Rsin
B a>b A>B.]
5．C [由＝得sin
B＝＝＝.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.]
6．A [∵c＝a，∴sin
C＝sin
A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，
即sin
C＝－cos
C.∴tan
C＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.]
7．75°
解析 由正弦定理得＝，∴sin
A＝.
∵BC＝2∴C＝75°.
8.
解析 ∵tan
A＝，A∈(0°，180°)，
∴sin
A＝.
由正弦定理知＝，
∴AB＝＝＝.
9．1
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解析 由正弦定理，得
＝，
∴sin
B＝.∵C为钝角，
∴B必为锐角，∴B＝，
∴A＝.
∴a＝b＝1.
10．30°
解析 ∵b＝2a∴sin
B＝2sin
A，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin
A
即sin
Acos
60°＋cos
Asin
60°＝2sin
A，
化简得：sin
A＝cos
A，∴tan
A＝，∴A＝30°.
11．解 ∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
12．解 a＝2，b＝6，a又因为bsin
A＝6sin
30°＝3，a>bsin
A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin
B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
13.
解析 ∵sin
B＋cos
B＝sin(＋B)＝.∴sin(＋B)＝1.
又0A＝＝＝.
又a14．解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即∴30°由正弦定理知：
＝＝＝2cos
B∈(，)，
故的取值范围是(，)．1.2 余弦定理(二)
课时目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
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1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝________.
(2)a＝__________，b＝__________，c＝_____________.
(3)sin
A＝__________，sin
B＝__________，sin
C＝____________.
(4)sin
A∶sin
B∶sin
C＝__________.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝____________________.
(2)cos
A＝______________.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2 C为________；c2>a2＋b2 C为________；c23．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝______，＝________________.
(2)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________.
(3)sin
＝__________，cos
＝____________________________________.
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一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
2．在△ABC中，若2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3.在△ABC中，已知sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度确定
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
9．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cos
B＝，且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A．0B．0C.D.14．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos
B＝.
(1)求＋的值；
(2)设·＝，求a＋c的值．
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1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解.
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解.
两边和其中一边的对角如(a，b，A)
正弦定理余弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
1．2 余弦定理(二)
答案
知识梳理
1．(1)2R (2)2Rsin
A 2Rsin
B 2Rsin
C (3) (4)a∶b∶c 2.(1)b2＋c2－2bccos
A(2) (3)直角 钝角 锐角 3.(1)π
－ (2)sin
C －cos
C －tan
C (3)cos
sin
作业设计
1．C [∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，∴cos
C＝－，∴∠C＝120°.]
2．C [∵2cos
Bsin
A＝sin
C＝sin(A＋B)，∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
3.B [∵a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则cos
C＝＝－.∴C＝120°.∴最小外角为60°.]
4．D [∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.]
5．A [在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos
120°＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.]
6．A [设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．]
7.
解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos
C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．2解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2化简得：02a＋1，
∴a>2，∴29．12
解析 S△ABC＝AB·AC·sin
A＝AB·AC·sin
60°＝2，
∴AB·AC＝8，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A
＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10.
解析 S△ABC＝bcsin
A＝c＝，∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos
A＝12＋42－2×1×4cos
60°＝13，
∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.
11．证明 右边＝＝·cos
B－·cos
A
＝·－·＝－＝＝左边．所以＝.
12．解 (1)∵·＝－21，∴·＝21.
∴·＝||·||·cos
B＝accos
B＝21.
∴ac＝35，∵cos
B＝，∴sin
B＝.
∴S△ABC＝acsin
B＝×35×＝14.
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin
C＝sin
B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
13．A [方法一 (应用正弦定理)
∵＝，∴＝
∴sin
C＝sin
A，∵0A≤1，
∴0C≤.
∵AB∴0方法二 (应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
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则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，∴014．解 (1)由cos
B＝，得sin
B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2
B＝sin
Asin
C.
于是＋＝＋＝＝＝＝＝.
(2)由·＝得ca·cos
B＝，
由cos
B＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos
B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.1.2 余弦定理(一)
课时目标 1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．
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1．余弦定理
三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝____.
2．余弦定理的推论
cos
A＝________________；cos
B＝______________；cos
C＝________________.
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；
(3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝________.
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一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A.
B．3
C.
D．5
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A.
B.
C.
D.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos
C＋ccos
B等于( )
A．1
B.
C．2
D．4
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A.
B.
C.
D.
5．在△ABC中，sin2＝
(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
二、填空题
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
9．三角形三边长为a，b，
(a>0，b>0)，则最大角为________．
10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan
C＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
能力提升
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
14．在△ABC中，acos
A＋bcos
B＝ccos
C，试判断三角形的形状．
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"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
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1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．2 余弦定理(一)
答案
知识梳理
1．平方 平方 夹角 两倍 b2＋c2－2bccos
A c2＋a2－2cacos
B a2＋b2－2abcos
C 2. 3.(1)90° (2)60°
(3)135°
作业设计
1．A
2．B [∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理cos
C＝＝＝.
∴C＝.]
3．C [bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝＝a＝2.]
4．B [∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos
B＝＝＝.]
5．B [∵sin2＝＝，∴cos
A＝＝ a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．]
6．B [∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin
C，
∴a2＋b2－c2＝2absin
C，∴c2＝a2＋b2－2absin
C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos
C，∴sin
C＝cos
C，∴C＝45°
.]
7．120°
8．30°
解析 c2＝a2＋b2－2abcos
C＝22＋42－2×2×4×cos
60°＝12
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin
A＝.
∵a9．120°
解析 易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cos
θ＝＝－，
∴θ＝120°.
10．－2
解析 S△ABC＝acsin
B＝，∴c＝4.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
B＝13，
∴cos
C＝＝－，sin
C＝，
∴tan
C＝－＝－2.
11．解 由条件知：cos
A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos
A＝42＋92－2×4×9×＝49 x＝7.所以，所求中线长为7.
12．解 (1)cos
C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0°，180°)，
∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos
120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
(3)S△ABC＝absin
C＝.
13.
解析 ∵cos
C＝＝，
∴sin
C＝.∴AD＝AC·sin
C＝.
14．解 由余弦定理知
cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．