§3 解三角形的实际应用举例(二)
课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题.2.利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．
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1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方时叫仰角，目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示)
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2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为____________．
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一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( )
A．α>β
B．α＝β
C．α<β
D．α＋β＝90°
2．设甲、乙两楼相距20
m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )
A．20
m，
m
B．10
m,20
m
C．10(－)
m,20
m
D.
m，
m
3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60
m，则树的高度为( )
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A．30＋30
m
B．30＋15m
C．15＋30m
D．15＋3m
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米
B.h米
C.h米
D．2h米
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600
m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200
m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )
A．200
m
B．300
m
C．400
m
D．100
m
6．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( )
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A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．
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8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
9.
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已
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知AB＝50
m，BC＝120
m，于A处测得水深AD＝80
m，于B处测得水深BE＝200
m，于C处测得水深CF＝110
m，则∠DEF的余弦值是________．
10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10
n
mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9
n
mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21
n
mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．
三、解答题
11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
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12．在海岸A处，发现北偏东45°的方向，距离A
(－1)
n
mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A
2
n
mile的C处的缉私船奉命以10
n
mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10
n
mile/h的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
能力提升
13．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．
14．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
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1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
§3 解三角形的实际应用举例(二)
答案
知识梳理
1．上 下 2.absin
C
作业设计
1．B
2．A [h甲＝20tan
60°＝20(m)．h乙＝20tan
60°－20tan
30°＝(m)．]
3．A [在△PAB中，由正弦定理可得
＝，PB＝＝，h＝PBsin
45°＝(30＋30)m.]
4.
A [如图所示，
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BC＝h，AC＝h，∴AB＝＝2h.]
5．B [如图所示，600·sin
2θ＝200·sin
4θ，
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∴cos
2θ＝，∴θ＝15°，
∴h＝200·sin
4θ＝300
(m)．]
6．A [设AB＝h，则AD＝，
∵∠CAD＝α－β，
∴＝.
∴＝，∴h＝.]
7.
解析 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.
由正弦定理，得＝.
∴BC＝＝.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
8．北偏东30° a
解析
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如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知＝，
∴＝，
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.
9.
解析 作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.
DF＝＝＝10(m)，
DE＝＝＝130(m)
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EF＝
＝＝150(m)
在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得
cos∠DEF＝＝＝.
10.
解析 设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos
120°，解得t＝或t＝－(舍)．
11．解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得：＝，即＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin
β＝.即山高CD为.
12．解
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如图所示，设缉私船用t
h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos
120°＝6，∴BC＝，
且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝.
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
13．解 如图所示：
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∠CBD＝30°，
∠ADB＝30°，
∠ACB＝45°
∵AB＝30，
∴BC＝30，
BD＝＝30.
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos
30°＝900，
∴CD＝30，即两船相距30
m.
14．解 由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，
得＝，
∴DB＝＝＝＝
＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，
得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos
∠DBC＝300＋1
200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．§3 解三角形的实际应用举例(一)
课时目标 1.了解数学建模的思想；2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
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1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线______，测量的精确度越高．
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2．方位角：指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.
3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
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一、选择题
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( )
A．南偏西45°10′
B．南偏西44°50′
C．南偏东45°10′
D．南偏东44°50′
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a
km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a
km
B.a
km
C.a
km
D．2a
km
3．海上有A、B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A．10
n
mile
B.
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
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A．50
m
B．50
m
C．25
m
D.
m
5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
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A．20(＋)
海里/小时
B．20(－)
海里/小时
C．20(＋)
海里/小时
D．20(－)
海里/小时
6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A.
分钟
B.
小时
C．21.5
分钟
D．2.15
分钟
二、填空题
7．如图，A、B两点间的距离为________．
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8．如图，A、N两点之间的距离为________．
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9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
m，则河的宽度为______．
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10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1
km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________
km.
三、解答题
11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12
n
mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8
n
mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：
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(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
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能力提升
13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时
B．1小时
C．1.5小时
D．2小时
14．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？
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1．解三角形应用问题的基本思路是：
实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解．
2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．
§3 解三角形的实际应用举例(一)
答案
知识梳理
1．越长 2.顺时针
作业设计
1．C
2．B [∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴由余弦定理得AB＝a.]
3．D [在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：＝
∴＝解得BC＝5.]
4．A [由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50
(m)．]
5．B [由题意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得＝.∴MN＝＝＝10(－)．则v货＝20(－)
海里/小时．]
6．A [设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y
km，
则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos
120°
＝28x2－20x＋100
＝28(x2－x)＋100＝282－＋100
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．]
7．3
8．40
9．60
m
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.
∴AC＝AB＝120
m.
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
由正弦定理得＝，
∴＝，
∴CD＝60(m)
∴河的宽度为60
m.
10.
解析
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如图，∠CAB＝15°，
∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1
km.
由正弦定理得
＝
∴BC＝·sin
15°＝
(km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin
75°＝·＝
(km)．
11．解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(n
mile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos
30°，
解得CD＝8≈14(n
mile)．
即A处与D处的距离为24
n
mile，
灯塔C与D处的距离约为14
n
mile.
12．解 在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝(km)．
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．
∴AC＝CD＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
45°＝＋－2×××＝，
∴AB＝(km)．
答 河对岸A、B两点间距离为km.
13．B [设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40·cos
45°＝302.
化简得：4t2－8t＋7＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.]
14．解 如图所示，连结A1B2，
由已知A2B2＝10，
A1A2＝30×＝10，
∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
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∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos
45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/小时)．
答 乙船每小时航行30海里．
