2.2 一元二次不等式的应用
课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
一元二次不等式的解集：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0x1
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0(a>0)
ax2＋bx＋c<0(a>0)
2.解分式不等式的同解变形法则：
(1)>0 ________；
(2)≤0 __________；
(3)≥a ≥0.
3．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0
(a≠0)恒成立 __________；
ax2＋bx＋c≤0
(a≠0)恒成立 __________.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立 ____________；
a4．简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积或商的形式；
(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．不等式>0的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
2．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2}
D．{x|x≤－2或x＝1}
3．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
C．
D．{x|x<－2或x>2}
4．不等式≥2的解是( )
A．[－3，]
B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3]
D．[－，1)∪(1,3]
5．不等式＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1B．x<1或x>3
C．1D．x<1或x>2
二、填空题
7．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
8．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．
9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为________．
10．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24
000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9
000万元，t%应在什么范围内变动？
12．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
能力提升
13．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x＋x的最大值为( )
A．18
B．19
C.
D．不存在
14．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，注意分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立 a>f(x)max；(2)a2．2 一元二次不等式的应用
答案
知识梳理
1．{x|xx2} {x|x∈R且x≠－} R {x|x10 (2) 3.(1) (2)a>f(x)max a作业设计
1．C [解不等式>0得，x>2或x<－3.]
2．C [当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．]
3．A [原不等式 x2－2x－2<2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4>0 (x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．]
4．D [≥2 ∴x∈[－，1)∪(1,3]．]
5．C [
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\A251.TIF"
\
MERGEFORMAT
∵＞0，
∴＞0，
∴(x－3)(x＋2)(x－1)＞0，如图，由穿根法可得不等式的解集为.]
6．B [设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1] x<1或x>3.]
7．4
解析 >0 (x＋1)(x－a)>0 (x＋1)(x－4)>0∴a＝4.
8．a≥1
解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
9．P∩ IQ
解析 ∵g(x)≥0的解集为Q，
所以g(x)<0的解集为 IQ，
因此的解集为P∩ IQ.
10．0≤a≤4
解析 a＝0时，A＝ ；当a≠0时，A＝ ax2－ax＋1≥0恒成立 0综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.
11．解 由题意可列不等式如下：·24
000·t%≥9
000 3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内．
12．解 由x2－x－2>0，可得x<－1或x>2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，
①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－<－k，则应有－2<－k≤3，
∴－3≤k<2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2.
13．A [由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0.
解得－4≤k≤－，又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.]
14．解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图像是一条直线．又∵|p|≤2，
∴－2≤p≤2，于是得：
即
即 ∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是p>－1.2.1 一元二次不等式的解法
课时目标 1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b
(a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为________________；
(2)若a<0，解集为________________．
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0
(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0
(a>0)．
3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\SX35.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\SX36.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\SX37.TIF"
\
MERGEFORMAT
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\SX38.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\SX39.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\SX40.TIF"
\
MERGEFORMAT
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、选择题
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>2}
B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1D．{x|－1≤x≤2}
3．函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
5．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2)
B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D．(－∞，2)
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
二、填空题
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________．
8．不等式－19．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
10．不等式(x2－x＋1)(x2－x－1)>0的解集是________________．
三、解答题
11．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
能力提升
13．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1
(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
14．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
INCLUDEPICTURE
"F:\\2015\\同步\\步步高\\数学\\北师必修5\\打包\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟1.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
2 一元二次不等式
2．1 一元二次不等式的解法
答案
知识梳理
1．(1) (2) 3.(－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x∈R且x≠－} {x|x1
作业设计
1．B [∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.]
2．D [由题意知，－＝1，＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.]
3．B [∵∴x≤－6或x>2.]
4．B [∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－25．B [∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2综上所述，－26．A [f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．]
7．{x|x<－2或x>3}
8．{x|－3≤x<－2或0解析 ∵∴－3≤x<－2或09．k≤2或k≥4
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
10．{x|x<或x>}
解析 ∵x2－x＋1＝2＋>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0可转化为
解不等式x2－x－1>0，由求根公式知，
x1＝，x2＝.
∴x2－x－1>0的解集是.
∴原不等式的解集为
.
11．解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为
，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，
所以所求不等式的解集为.
12．解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；
当0不等式的解集为{x|xa}；
当a＝0或1时，
不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
13．B [由(1－aix)2<1，得1－2aix＋(aix)2<1，即ai·x(aix－2)<0.
又a1>a2>a3>0.∴0即x<，x<且x<.
∵>>>0
∴014．解 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；
当a>0时，x≥或x≤－1；
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当a>0时，解集为；
当a＝0时，解集为；
当－2当a＝－2时，解集为；
当a<－2时，解集为.