3.1 基本不等式
课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．
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1．如果a，b∈R，那么a2＋b2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．
2．若a，b都为____数，那么____(当且仅当a____b时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a，b的算术平均数，______称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤
(a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥____；当x<0时，x＋≤______.
(3)当ab>0时，＋≥____；当ab<0时，＋≤____.
(4)a2＋b2＋c2____ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
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一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，，
，中最小的是( )
A.
B.
C.
D.
2．已知m＝a＋
(a>2)，n＝x2－2
(x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n
B．m
C．m＝n
D．m≤n
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤
B．ab<1<
C．ab<<1
D.4．已知正数0A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
5．设0A.
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0
B．－2
C．－
D．－3
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
8．若lg
x＋lg
y＝1，则＋的最小值为________．
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
三、解答题
11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
能力提升
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8
B．6
C．4
D．2
14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
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1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤
≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，＝；
另一方面：当＝时，也有a＝b.
§3 基本不等式
3．1 基本不等式
答案
知识梳理
1．≥ a＝b 2.正 ≥ ＝ 基本
3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥
作业设计
1．D [方法一 特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝，
＝，＝.∴最小．
方法二 ＝，由≤≤≤
，可知最小．]
2．A [∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]
3．B [∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.]
4．D [因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又05．B [∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴
>，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．]
6．B [x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立 ax≥－x2－1 a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.]
7．大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．2
解析 ∵lg
x＋lg
y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．
9．3
解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
10.
解析 ∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，
∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
11．证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
12．解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵＋≥，
∴n≤＋.
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤＋，
∴n≤＋＋2.
∵＋≥2
＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
13．C [只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2
＝a＋2
＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2
＋1≥9，
即()2＋2
－8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.]
14．证明 ∵＋≥2
＝2，
＋≥2
＝2，
＋≥2
＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，
∴＋＋<＋＋.3.2 基本不等式与最大(小)值
课时目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
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1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当______时，积xy有最____值，且这个值为________．
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当______时，和x＋y有最____值，且这个值为______．
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是______；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为______；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为______．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
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一、选择题
1．函数y＝log2
(x>1)的最小值为( )
A．－3
B．3
C．4
D．－4
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．16
D．不存在
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
4．函数y＝的最小值为( )
A．2
B.
C．1
D．不存在
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C.
D.
6．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3
B.
C．4
D.
二、填空题
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
9．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
10．函数y＝loga(x＋3)－1
(a>0，a≠1)的图像恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
三、解答题
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)
能力提升
13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M
B．2 M,0 M
C．2∈M,0 M
D．2 M,0∈M
14．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______.
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1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数图象求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
3．2 基本不等式与最大(小)值
答案
知识梳理
1．(1)x＝y 大 (2)x＝y 小 2
2．(1)正数 (2)定值 定值
作业设计
1．B
2．B [∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．]
3．D [f(x)＝＝＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．]
4．B [y＝＝＋
∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当＝2即x＝0时，ymin＝.]
5．B [∵2xy＝x·(2y)≤()2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．]
6．C [2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2
＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．]
7．9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
8．9
解析 ∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
9．1
760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x
m，由于底面积为4
m2，所以另一边长为
m．那么y＝120·4＋2·80·＝480＋320≥480＋320·2＝1
760(元)．当x＝2，即底为边长为2
m的正方形时，水池的造价最低，为1
760元．
10．8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故＋的最小值为8.
11．解 方法一 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，
∴＋≥2
＝6.
当且仅当＝，
即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2
＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
12．解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N＋)．
由基本不等式知y≥1＋2
＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
13．A [∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M.]
14.
解析 ∵≤
成立，
∴＋≤·，∴a≥.