4.2 简单线性规划
课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．
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线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式或方程
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足____________的解(x，y)
可行域
所有________组成的集合
最优解
使目标函数取得____________的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
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一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9
B.
C．1
D.
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A.
B．8
C．16
D．10
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1，0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A．－t2＋t＋
B．－2t2＋2t
C．1－t2
D.(t－2)2
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11
B．－3，－11
C．11，－3
D．11,3
5．设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )
A.
B．4
C.
D．2
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
7．已知－1
8．已知实数x，y满足则的最大值为________．
三、解答题
9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．
能力提升
11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．
12．已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
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1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
4．2 简单线性规划
答案
知识梳理
线性约束条件 可行解 最大值或最小值
作业设计
1．A [画出可行域如图：
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当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.]
2.
D [画出不等式组对应的可行域如下图所示：
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易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.]
3．A [作出不等式组所表示的平面区域．
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由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.]
4．A [作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．
∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.]
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5．B [如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.]
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6．7
解析 作出可行域如图所示．
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由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
7．(3,8)
解析 由得平面区域如图阴影部分所示．
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由得
由得
∴2×3－3×18．2
解析 画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．
A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
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9．解 如图作出线性约束条件
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下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，
当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；
当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
10．解 作出不等式组
的可行域如图所示，
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由，
得A(1,3)，
由，得B(3,4)，
由，得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.
11．解 作出可行域如图，
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由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
即|OP|2，最大值为|OA|2，
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝3，|OA|＝＝，
∴(x2＋y2－2)min＝(3)2－2＝18－2＝16，
(x2＋y2－2)max＝()2－2＝116－2＝114，
∴16≤x2＋y2－2≤114.
即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.
12．解 由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即
zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
∴z的最大值为3，最小值为.
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MERGEFORMAT4.3 简单线性规划的应用
课时目标 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．
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1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
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一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y
(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
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A.
B.
C．4
D.
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元
B．31.2万元
C．30.4万元
D．24万元
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )
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A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．(2009·山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10
g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10
g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能
既满足营养，又使费用最省？
10．某家具厂有方木料90
m3，五合板600
m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1
m3，五合板2
m2，生产每个书橱需要方木料0.2
m3，五合板1
m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
能力提升
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
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A．－3
B．3
C．－1
D．1
12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规模类型钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
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1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
4．3 简单线性规划的应用
答案
作业设计
1．C [比较选项可知C正确．]
2．B [由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.]
3．B [设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
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可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图像知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]
4．B
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[设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图像知在点M(15,55)处z取得最大值．]
5．C [y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，
∵只有点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB6．2
300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，
易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2
300元．
7．90
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解析 该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N＋，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
8．20 24
解析
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设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S＝7x＋12y.
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
9．解 将已知数据列成下表：
原料/10
g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x
g和10y
g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
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把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，
乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
10．解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则 x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24
000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24
000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则 y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54
000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54
000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
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作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56
000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
11．A [当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，
z有最小值1，与题意不符．
当a>0时，y＝－x＋.
斜率k＝－<0，
仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，
直线在y轴的截距最小，此时z也最小，
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．
当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，
当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴a＝－3.]
12．解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
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.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y.
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和
C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
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1．二元一次不等式(组)的概念
含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为________________．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都______．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
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一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
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A.
B.
C.
D.
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6)
B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
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4．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2
B．－3＋2
C．－5
D．1
6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
8．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
10．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
三、解答题
11．利用平面区域求不等式组的整数解．
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
能力提升
13．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3]
B．[2,3]
C．(1,2]
D．[3，＋∞)
14．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
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1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路，不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．
§4 简单线性规划
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域
答案
知识梳理
1．两个 1 二元一次不等式组 2.Ax＋By＋C＝0
虚线 实线 3.(1)相同 (2)Ax0＋By0＋C
作业设计
1．C [可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．]
2．A [由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，即(a＋1)(a－6)<0，∴－13．B [不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]
4．C [画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．]
5．D
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[区域如图，易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)．S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.]
6．A [不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋过定点.
因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
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因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M.
当y＝kx＋过点时，＝＋，所以k＝.]
7.
解析
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如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8．－1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－19．－1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－110.
解析
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如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
11．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
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把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，
得y≤，∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为
(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
12.解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；
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又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，
又圆心为(－，－)，
∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为，它表示的区域如图所示，故面积为.
13．A [作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
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由得交点A(2,9)．
对y＝ax的图像，当01，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.要满足题意，需满足a2≤9，解得114．0解析 不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
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当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，当1故当0