4.5
垂线
同步练习
1．点到直线的距离是指(
)
A.从直线外一点到这条直线的垂线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段
C.从直线外一点到这条直线的垂线的长
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长
2．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离是(
)
A．2cm
B．小于2cm
C．不大于2cm
D．4cm
3.在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(
)
4.过直线上一点不存在直线与已知直线垂直.(
)
5.过直线l外一点A作l的垂线，垂线的长度叫做点A到直线l的距离.(
)
6．如图，通过画图并量得点A到直线l的距离等于
厘米.(精确到0.1厘米)
7．分别过点P作线段MN的垂线.
8．作图题：作∠AOB=90°，在OA上取一点C，使OC=3cm，在OB上取一点D，使OD=4cm，用三角尺过C点作OA的垂线，经过点D作OB的垂线，两条垂线交于点E.
(1)量出∠CED的大小；
(2)量出点E到OA的距离，点E到OB的距离.
9．在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
10.按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题.
画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线l，在l上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？
画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P(除B点外)，过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？
11.如图，在方格纸上，过点A作直线l的垂线，多点B作直线m的垂线.(共35张PPT)
4.5
垂
线
垂线
点到直线的距离
画框的边线，
观察
屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？
十字路口两条笔直的街道，
问题1：
结论
两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时(易知其余三个角也是直角)，
这两条直线叫做互相垂直，
其中每一条直线叫做另一条的垂线，
它们的交点叫做垂足.
O
垂直概念：
垂直用符号“⊥”表示，如图，AB与CD垂直(O为垂足)，记做AB⊥CD，读做AB垂直于CD.
A
B
C
D
O
符号语言：
因为 AB
⊥CD
所以 ∠AOC=90°
反之
因为 ∠AOC=90°
所以 AB⊥CD
问题2：
(1)两条直线垂直和相交是什么关系？
(2)能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系
有3种：相交，平行，垂直？
垂直是相交的特殊情况
不能，
平面内两条直线的位置有相交和平行两种关系
问题2：
(3)如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
(4)你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足.
如图
直线CD是AB
的斜线，同样直线
AB也是CD的斜线，点O是斜足.
结论
(1)如图，在同一平面内，如果a⊥l，b⊥l，那么a∥b吗？
动脑筋
因为∠1=∠2=90°，它们是同位角，
所以a∥b.
问题3：
追问：你还能利用平行线的其它判定方法说明a∥b吗？
结论
在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
(2)如图，设a∥b，l⊥a，那么l⊥b吗？
因为l⊥a，
所以∠1=90°.
因为a∥b，
所以∠2=∠1=90°，
从而l⊥b.
问题3：
动脑筋
追问：你还能利用平行线的其它性质说明
l⊥b
吗？
结论
在平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
举
例
例1
在如图3-86的简易屋架中，BD，AE，HF
都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数.
解 因为BD，AE都垂直于CG，
所以
BD∥AE
(在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
从而
∠2=∠1=60°
(两直线平行，同位角相等).
举
例
例2
如图3-87，已知CD⊥AB，∠1=∠2，
求∠BFE的度数.
解 因为∠1=∠2，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行).
又因为CD⊥AB，
所以
EF⊥AB
(一直线若垂直于两平行线中的一条，必垂直于另一条).
即∠BFE=90°.
练习
1.
如图3-88，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD，∠BOE=60°，求∠AOC的度数.
答：
因为EO⊥CD
所以∠EOD=90°，
又∠BOE=60°，
所以∠BOD=90°-∠BOE=30°.
所以∠AOC
=
∠BOD
=30°(对顶角相等).
O
2.
如图3-89，AB⊥AD，CD⊥AD，∠B=56°，求∠C.
答：
因为CD⊥AD，AB⊥AD，
所以AB∥CD
(在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行).
所以∠B+∠C=180°(同旁内角互补).
已知∠B=56°，
所以∠C=180°-56°=
124°.
无数条
动脑筋
问题4：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂
线，这样的垂线能画出几条？
问题4：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(2)经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？
②通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？
动脑筋
过一点P一定有一条直线与直线l垂直.
问题5：
平面内过一点P能够有两条或两条以上的直线与直线l垂直吗？
假如过点P有一条直线a⊥l，还有一条直线b
⊥l，则a∥b，但是a与b有公共点P，这是不可能的
动脑筋
结论
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
练习
如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段．
经过点P的其他直线交l于A，B，C，D，…，线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段．
动脑筋
问题6：(1)观察图中的线段，
PA，PB，PC，PD，
PO哪条线段最短？
垂线段PO最短
用圆规比较垂线段
PO和斜线段
PA，PB，PC，PD的长度，
可知线段PO最短．
问题6：(1)观察图中的线段，
PA，PB，PC，PD，
PO哪条线段最短？
动脑筋
(2)你有什么办法来检验你的发现是否正确呢？
结论
垂线性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.
垂线段最短.
或者简单地说成：
从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离．
点到直线的距离：
如图，垂线段PO的长度叫做P点到直线l的距离.
问题7：(1)
你能量出点P到直线l
的距离吗？
做一做
A
B
P
·
答：
过C引l
的垂线，
C
l
设D为垂足，
水泵房应建在D处.
D
做一做
问题7：(2)如图，某工厂要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？
我们可以把点到直线的距离转化为点到点的距离
问题8：你能列举生活中类似的实例吗？
说一说
体育课上测量同学们的跳远成绩
举
例
例3
如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.
求：(1)点A到直线BC的距离；
(2)点B到直线AC的距离．
解(1)因为∠ABC=90°，
所以AB⊥BC．
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
因为AB=5，
所以点A到直线BC的距离为5．
(2)因为BD⊥AC
所以线段BD的长度点B到直线AC的距离．
所以点B到直线AC的距离为
小结与复习
1.
什么是垂直？垂直和相交有什么关系？
我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？
2.
垂线有哪些性质？
结
束
