2017届中考数学一轮复习教案（19份）

第13讲:反比例函数
一、复习目标
1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能画出反比例函数的图象
2、能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、反比例函数图象与性质
2、反比例函数图象、性质的应用
四、教学过程
（一）知识梳理

反比例函数的概念
定义
形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是________
关系式
y＝或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)
防错提醒
(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0
反比例函数的图象与性质
(1)
反比例函数的图象
呈现形式
反比例函数y＝
(k≠0)的图象是________
对称性
它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x
(2)反比例函数的性质
函数
图象
所在象限
性质
y＝(k≠0)
k>0
一、三象限(x，y同号)
在每个象限内y随x增大而减小
k<0
二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y随x增大而增大
(3)反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义
反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
推导
如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.
∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|
拓展
过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
反比例函数的应用
求函数关系式
方法步骤
利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝；②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；③写出关系式
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝的交点坐标就是解这两个函数关系式组成的方程组
（二）题型、技巧归纳
考点1：反比例函数的概念
技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．
考点2：反比例函数的图象与性质
技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．
考点3反比例函数的应用
技巧归纳：先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．
（三）典例精讲
例1
某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是(　　)
A．(－3,2)
B．(3,2)
C．(2,3)
D．(6,1)
[解析]
设反比例函数的关系式为y＝，把点(－1，6)代入可求出k＝－6，所以反比例函数的关系式为y＝，故此函数也经过点(－3，2)，答案选A.
例2在反比例函数y＝(k<0)的图象上有两点，，则y1－y2的值是(　　)
A．负数
B．非正数
C．正数
D．不能确定
[解析]
反比例函数y＝：当k＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
又∵点(－1，y1)和均位于第二象限，－1＜－，
∴y1＜y2，∴y1－y2＜0，即y1－y2的值是负数，故选A.
例3
如图点A，B在反比例函数y＝
(k>0，x>0)的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为6，则k的值为________．
[解析]
∵S△AOC＝6，OM＝MN＝NC＝OC，
∴S△OAC＝×OC×AM，S△AOM＝×OM×AM＝
S△OAC＝2＝|k|.
又∵反比例函数的图象在第一象限，k＞0，则k＝4.
例4
如图13－2，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝
交于点P、Q，求△APQ的面积．
解：(1)
∵点C(1，m)在双曲线y＝上，∴m＝4，将点C(1，4)代入y＝2x＋n中，得n＝2；
(2)在y＝2x＋2中，令y＝0，得x＝－1，即A(－1，0)．将x＝3代入y＝2x＋2和y＝，得点P(3，8)，Q，∴PQ＝8－＝.又∵AD＝3－(－1)＝4，∴△APQ的面积＝×4×＝.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握反比例函数的求法，能画出反比例函数的图象，能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题
（五）随堂检测
1、已知点A(－2，y1)、B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数
(k<0)的图象上，那么y1、y2和y3的大小关系如何？
2、已知反比例函数
图象上三个点的坐标分别是A(－2，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)，能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是(　　)
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y2>y1>y3
D．y2>y3>y1
3、已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数y=kx的解析式；
（3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．
五、板书设计
反比例函数
六、作业布置
反比例函数课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第1讲:实数概念与运算
一、复习目标
1、掌握实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根的概念。
2、理解并掌握有效数字、科学记数法及实数的运算。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根的概念。
2、掌握有效数字、科学记数法及实数的运算。
四、教学过程
（一）知识梳理

实数的概念
1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。
(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。
(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。实数a的相反数是______0的相反数是________
②性质：
若a+b=0
则a与b互为______,
反之，若a与b
互为相反数，则a+b=
_______
(3)倒数：
①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。
②a
的倒数是________(a0)
(4)绝对值：①
定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______,
叫数a的绝对值。
②
性质：=
2、平方根、算术平方根、立方根
(1)平方根：一般地，如果_____________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a0）
(2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a0）
(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。
注意：负数_________平方根。
实数的运算
1、有效数字、科学记数法
（1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（2）科学记数法：一个数M可表示为a10n或a10-n形式，其中，n为正整数，当/M/10时，可表示为__________形式，当/M/1时，可表示为____________形式。
2、实数的运算：
（1）运算顺序：在进行混合运算时，先算_________,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。
（2）零指数：=__________（a≠0），负指数：=________（a≠0，p是正整数）。
特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
（二）题型、技巧归纳
考点一：实数的概念
技巧归纳：1.只有符号不同的两个数互为相反数；
2.乘积为1的两个数互为倒数
3.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
考点二：平方根、算术平方根、立方根
技巧归纳：
一个数的平方根互为相反数，相加等于0
考点三：实数的运算
技巧归纳：
这类数用科学记数法表示的方法是写成a×10－n(1≤|a|＜10，n＞0
)的形式，关键是确定－n.确定了n的值，－n的值就确定了，确定方法是：大于1的数，n的值等于整数部分的位数减1；小于1的数，n的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)．
（三）典例精讲
1、的相反数是（
）
A．
B．
C．
D．
2、如果，则“”内应填的实数是（
）
A．
B．
C．
D．
3、在实数π、、、sin30°,无理数的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
4、已知一个正数的平方根是和，则这个数是
．
5、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025
m的颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为(　　)
A．0.25×10－3
B．0.25×10－4
C．2.5×10－5
D．2.5×10－6
6、计算：
（四）归纳小结
1.本部分内容要求熟练掌握实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根的概念。
2.要求掌握有效数字、科学记数法及实数的运算。
（五）随堂检测
1、下列各数中，比0小的数是（
）
A．－1 B．1 C． D．π
2、下列各数中，最小的是（ ）
A.0
B.1 C.－1
D.—
3、下列说法正确的是（
）
A．a一定是正数
B．是有理数
C．2是有理数
D．平方等于自身的数只有1；
4、如图，数轴上A、B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（
）

A、a＜b
B、a=b
C、a＞b
D、ab＞0
5、定义新运算：对任意实数a、b，都有ab=a2-b,例如，32=32-2=7，那么21=_________
五、板书设计
实数有
理数
无理数
绝对值
相反数
倒数
平方根
算术平方根
立方根
六、作业布置
完成实数概念与运算课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
（
）
（
）
（
）第6讲:一次方程组及其应用
一、复习目标
1、了解一次方程、二元一次方程组的概念。知道方程组的解的含义。
2、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、
3、运用化归思想，分析出解二元一次方程组的本质是消元。运用方程或方程组解决实际问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能正确的分析问题，从问题中找出已知量和未知量之间的数量关系
四、教学过程
（一）知识梳理
方程及相关概念
方程的概念
含有未知数的________叫做方程
方程的解
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做_______，也叫它的________
解方程
求方程解的过程叫做________
一元一次方程的定义及解法
定义
只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程
一般形式
________________
二元一次方程（组）的有关概念
二元一次方程组的解法
代入法
定义
在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法
防错提醒
在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数
加减法
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法
一次方程(组)的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤
1.审
审清题意，分清题中的已知量、未知量
2.设
设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数
3.列
根据题意寻找等量关系列方程
4.解
解方程(组)
5.验
检验方程(组)的解是否符合题意
6.答
写出答案(包括单位)
常见的几种方程类型及等量关系
行程问题
基本量之间的关系
路程＝速度×时间
相遇问题
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
追及问题
若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程
流水问题
v顺＝____________
，v逆＝____________
工程问题
基本量之间的关系
工作效率＝
其他常用关系量
(1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作总量看作“
（二）题型、方法归纳
考点1等式的概念及性质
技巧归纳：运用1.
等式及方程的概念；2.
等式的性质
考点2一元一次方程的解法
技巧归纳：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．
考点3二元一次方程(组)的有关概念
技巧归纳：运用二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。
考点4二元一次方程组的解法
技巧归纳：(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．
(2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．
考点5利用一次方程(组)解决生活实际问题
技巧归纳：利用二元一次方程组解决生活实际问题．
（三）典例精讲
例1
如图①，在第一个天平上，砝码A
的质量等于砝码B加上砝码C
的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A
加上砝码B的质量等于3个砝码C
的质量．请你判断：1个砝码A
与________个砝码C
的质量相等．
解析：依题意得
,两个等式相加2A+B=B+4C,A=2C
例2、解方程＝
解：原方程可变形为＝；
去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)；
去括号，得9x＋15＝4x－2；
得9x－4x＝－15－2；
合并，得5x＝－17；
得x＝－.
例3、已知是二元一次方程组
的解，则2m－n的算术平方根为(　　)
A．±2
B.
C．2
D．4
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。由
是二元一次方程组
的解，根据二元一次方程组的解得定义，可得
，解得
。所以2m-n=4
所以2m-n的算术平方根为2，故选C
例4解方程组：
例5
某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？
(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．
[解析]
(1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；
(2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，便可列方程求解．
解：(1)设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x，
投资收益率为×100%＝70%.
按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x×10%×(1－10%)×3＝0.62x.
∴
投资收益率为×100%≈72.9%.
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
(2)由题意得0.7x－0.62x＝5，
解得x＝62.5(万元)．
∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一次方程(组）的概念和解法及一次方程的应用。
（五）随堂检测
1．二元一次方程组的解是(
)
A．
B．
C．
D．
2．
“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是
(
)
A．x(1＋30%)×80%＝2080
B．x·30%×80%＝2080
C．2080×30%×80%＝x
D．x·30%＝2080×80%
3．为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，则可列二元一次方程组为
(
)
A．
B．
C．
D．
4．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为
(
)
A.x＝1，y＝3
B.x＝3，y＝2
C.x＝4，y＝1
D.x＝2，y＝3
5．湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人，我市某九年级一学生家长准备等孩子中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为_______．
6．方程组的解是_______．
五、板书设计
概念
解题方法
六、作业布置
一次方程组及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第16讲:
二次函数的应用
一、复习目标
1、会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题；
2、在运用知识解决实际问题的过程中体会二次函数的应用意义和数学转化思想；
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、利用二次函数建立数学模型解决实际问题
2、根据题意进行相应形式的解设，进而求得相应的二次函数解析式。
四、教学过程
（一）知识梳理

二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．
建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
（二）题型、技巧归纳
考点1利用二次函数解决抛物线形问题
技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点2二次函数在营销问题方面的应用
技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
考点3二次函数在几何图形中的应用
技巧归纳：二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．
（三）典例精讲
例1
如图排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2
m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9
m，高度为2.43
m，球场的边界距O点的水平距离为18
m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
[解析]
(1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定系数法确定二次函数的关系式；
(2)要判断球是否过球网，就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是求抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x＝18时对应的函数值，并与0相比较．
(3)先根据函数图象过点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围．
解：（1
）把x=0
，y=2
，及h=2.6代入到y=a（x-6）2+h即2=a（0－6）2+2.6，
∴
∴y=
（x-6）2+2.6；
（2）当h=2.6时，y=
（x-6）2+2.6
当x=9时，y=
（9－6）2+2.6=2.45＞2.43
∴球能越过网
当y=0
时，，
解得：
故会出界；
（3）当球正好过点（18
，0
）时，y=a
（x-6
）2+h
还过点（0
，2）点，代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：，
此时球若不出边界，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9
，2.43
），y=a
（x-6
）2+h
还过点（0
，2
）点，代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h
≥，
∵，
∴h
≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h
的取值范围是：。
例2国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示：
(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？
(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式；
(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．
解：(1)120×150＝18000(元)．
答：今年老王种粮可获得补贴18000元．
(2)由图象知，y与x之间的函数是一次函数．设所求关系式为：y＝kx＋b(k≠0)．将(205，1000)，(275，1280)两点坐标代入，这样所求的y与x之间的函数关系式为y＝4x＋180.
(3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x2＋2080x.
因为－4＜0，所以当x＝－＝－＝260(亩)时，W最大＝＝＝270400(元)．
答：当种粮面积为260亩时，总利润最高，最高总利润为270400元．
例3
如图在边长为24
cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x
cm.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大，试问x应取何值？
解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝
x
cm，EF＝
a＝2x
(cm)，
∴x＋2x＋x＝24
，x＝6，a＝6
cm，
V
＝a3＝(6)3＝432(cm3)．
(2)设包装盒的底面边长为y
cm，高为h
cm，
则y＝x，h＝
＝(12－x)，
∴S＝4yh＋y2
＝4x·(12－x)＋(x)2＝－6x2＋96x＝
－6(x－8)2＋384.
∵0cm2.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题。（五）随堂检测
1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？
2、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式；
(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
五、板书设计
二次函数的应用
六、作业布置
二次函数的应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。`第12讲:
相似三角形及其应用
一、复习目标
1.
复习相似三角形的概念。
2.
复习相似三角形的性质。
3.
复习相似三角形的判定。
4.
复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。
难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题。
四、教学过程
（一）知识梳理
相似图形的有关概念
相似图形
形状相同的图形称为相似图形
相似多边形
定义
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似
相似比
相似多边形对应边的比称为相似比k
相似三角形
两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等
比例线段
定义
防错提醒
比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位
黄金分割
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________
一条线段的黄金分割点有______个
平行线分线段成比例定理
定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________
相似三角形的判定
判定定理1
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________
判定定理2
如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似
判定定理4
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似
拓展
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
相似三角形及相似多边形的性质
三角形
(1)相似三角形周长的比等于相似比
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
相似多边形
(1)相似多边形周长的比等于相似比
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
位似
位似图形定义
两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心
位似与相似关系
位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行
位似图形的性质
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；
(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；
(4)位似图形对应角相等
以坐标原点为中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________
位似作图
(1)确定位似中心O；
(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；
(3)按照相似比取点；
(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形
相似三角形的应用
几何图形的证明与计算
常见问题
证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等
相似三角形在实际生活中的应用
建模思想
建立相似三角形模型
常见题目类型
(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；
(2)测量底部可以达到的物体的高度；
(3)测量底部不可以到达的物体的高度；
(4)测量不可以达到的河的宽度
（二）题型、技巧归纳
考点1比例线段
技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键
考点2相似三角形的性质及其应用
技巧归纳：1.
利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.
利用相似三角形性质探求比值关系．
考点3三角形相似的判定方法及其应用
技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
考点4位似
技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。
（三）典例精讲
例1
如图已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　)
A．7　　　B．7.5　　
C．8　　　D．8.5
[解析]
因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.
例2
如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40
cm，AD＝30
cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：
(2)求这个矩形EFGH的周长．
[解析]
(1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．
(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．
解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，∴
＝.
(2)由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
可得＝，解得x＝12，2x＝24.
所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72
(cm)．
例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．
[解析]
(1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；
(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得＝，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.
∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；
(2)∵△ABE∽△DEF，
∴＝.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，
∴BE＝＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，
∴＝，
解得EF＝.
例4
如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(　　)
A、
B、
C、
D、
[解析]
延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3.
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为(1，2)，
∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是.
故选B.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握相似三角形的概念、性质、判定。
（五）随堂检测
1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2
m，它的影子BC＝1.6
m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2
m，MN＝0.8
m，则木竿PQ的长度为__2.3__m.
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为
．
3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为
2．
五、板书设计
相似三角形
六、作业布置
相似三角形及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第9讲:一元一次不等式及其应用
一、复习目标
1、了解一元一次不等式组的概念，会解相应的一元一次不等式组，并把解在数轴上表示。
2、掌握一元一次不等式组与二元一次方程组解法上的不同。
3、会列相应的一元一次不等式组解实际的应用题，并会结合一次函数的图像及
有关性质求实际问题的最优值问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、解一元一次不等式，并将其解在数轴上表示。
2、列一元一次不等式组解相应的实际应用题。
四、教学过程
（一）知识梳理
不等式
不等式的概念
不等式
一般地，用_________连接的式子叫做不等式
不等式的解
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的______
不等式的解集
能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称_________
解不等式
求不等式解集的过程
不等式的基本性质
性质1
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__________
性质2
不等式两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向________
性质3
不等式两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向__________
一元一次不等式
一元一次不等式及其解法
定义
只含有一个未知数，且未知数的次数是__________
的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)
解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1
一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念
含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
不等式组的解集的求法
解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集
不等式组的解集情况(假设ax>b
同大取大
a大大小小解不了
一元一次不等式(组)的应用
列不等式(组)解应用题的步骤
(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)
(2)解不等式(组)
(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案
利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题
目的
通过不等式(组)对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力
方法
这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式(组)的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式(组)的解集中寻求正确的符合题意的答案
（二）题型、方法归纳
考点1不等式的概念及性质
技巧归纳：(1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数，不等式的方向要改变；
(2)生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合．
考点2一元一次不等式
技巧归纳：解不等式一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
考点3一元一次不等式组
技巧归纳：先分别求出每个不等式的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分，就是这个不等式组的解集.
考点4与不等式(组)的解集有关的问题
技巧归纳：已知不等式组的解集求字母(或有关字母代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系．
考点5一元一次不等式(组)的应用
技巧归纳：(1)解决实际问题时，要注意题中表示不等关系的关键词，如
“不少于”、“不超过”
、“不高于”等；
(2)
所求的结果应符合生活实际
。
（三）典例精讲
例1
若a>b，则(　　)
A．a>－b
B．a<－b
C．－2a>－2b
D．－2a<－2b
[解析]
由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，A、例如a＝0，b＝－1，a＜－b，故此选项错误，B、例如a＝1，b＝0，a＞－b，故此选项错误，C、利用不等式性质2，同乘以－2，不等号改变，则有－2a＜－2b，故此选项错误，由此也说明D选项正确，故选D.
点析：
(1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数，不等式的方向要改变；(2)生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合．
例2、解不等式x－1＞2x，并把解集在数轴上表示出来
[解析]
解不等式一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
解：
x－2x＞1,
－x＞1，∴x＜－2.
表示在数轴上为：
例3
解不等式组：
[解析]先分别求出每个不等式的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分，就是这个不等式组的解集.
解：解不等式x－1＞0，得x＞1.
解不等式3(x＋2)＜5x，得x＞3.
根据“同大取大”得原不等式组的解集为x＞3.
例4、关于x的不等式组
有四个整数解，则a的取值范围是(　　)
A．－B．－≤a<－
C．－≤a≤－
D．－解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a额取值范围即可。
设
由（1）得X>8;
由（2）得x<2-4a;
其解集为8因不等式组有四个整数解，为9,10,11,12，则
解得
故选B
点析：已知不等式组的解集求字母(或有关字母代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系．
例5
某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？
解：(1)120×0.95＝114(元)，
所以实际应支付114元．
(2)设购买商品的价格为x元，由题意得：
0．8x＋168＜0.95x，
解得x>1120.
所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．
点析：
(1)解决实际问题时，要注意题中表示不等关系的关键词，如
“不少于”、“不超过”
、“不高于”等；
(2)
所求的结果应符合生活实际
。
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元一次不等式的概念和解法、不等式的解和解集、一元一次不等式的应用。
（五）随堂检测
1、若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是
A．3＜m＜4
B．3≤m＜4
C．3＜m≤4
D．3≤m≤4
2、已知，且，则的取值范围为（）
A．B．C．
D．
3、如果点P(m，1-2m)在第四象限，那么m的取值范围是
4、在函数中，自变量的取值范围是
5、将23本书分给若干名学生，如果每人4本，那么有剩余；如果每人5本，却又不够．问共有多少名学生？
6、某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．
(1)该校初三年级共有多少人参加春游？
(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
五、板书设计
概念
解题方法
六、作业布置
一元一次不等式及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第18讲:三角形与多边形
一、复习目标
1、掌握三角形三边关系，会运用三角形三边关系解决问题．
2、探索并掌握三角形中位线的性质
3、了解多边形和正多边形的概念，会运用多边形的内角和、外角和公式解决问题.
4、能运用三角形、四边形进行镶嵌，会判断几种正多边形能否进行镶嵌．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、探索并掌握三角形中位线的性质。
2、能运用三角形、四边形进行镶嵌，会判断几种正多边形能否进行镶嵌。
四、教学过程
（一）知识梳理

三角形概念及其基本元素
定义
由________直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形
基本元素
三角形有____条边，____个顶点，____个内角
三角形的分类
1．按角分：
三角形形
2．按边分：
三角形
三角形中的重要线段
重要线段
交点位置
中线
三角形的三条中线的交点在三角形的______部
角平分线
三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部
高
______三角形的三条高的交点在三角形的内部；____三角形的三条高的交点是直角顶点；______三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
三角形的中位线
定义
连接三角形两边的______的线段叫三角形的中位线
定理
三角形的中位线______于第三边，并且等于它的______
总结
(1)一个三角形有三条中位线．(2)三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3
三角形的三边关系
定理
三角形的两边之和____第三边
推理
三角形的两边之差____第三边
三角形的
稳定性
三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现
三角形的内角和定理及推理
三角形的内角和等于________
1.三角形的一个外角等于和它________________的和
2.三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角
3.直角三角形的两个锐角________
4.三角形的外角和为________
在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角
多边形
多边形的定义
在同一平面内，不在同一直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形
多边形的性质
内角和
n边形内角和____________
外角和
任意多边形的外角和为360°
多边形
对角线
n边形共有______条对角线
不稳定性
n边形具有不稳定性(n>3)
拓展
n边形的内角中最多有________个是锐角
正多边形
定义
各个角________，各条边________的多边形叫正多边形
对称性
正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形
平面图形的镶嵌
定义
用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的________
平面镶嵌的条件
在同一顶点的几个角的和等于360°
常见形式
(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角形或________个正四边形或________个正六边形
(2)用两种正多边形镶嵌
①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边形；
②用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正三角形和________个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形；
③用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正四边形和________个正八边形可以镶嵌
常见形式
(3)用三种不同的正多边形镶嵌
用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m＋90n＋120k＝360，整理得______________，因为m、n、k为整数，所以m＝______，n＝________，k＝________，即用________块正方形，________块正三角形和________块正六边形可以镶嵌
防错提醒
能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于360°
（二）题型、技巧归纳
考点1三角形三边的关系
技巧归纳：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形．
考点2三角形的重要线段的应用
技巧归纳：三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角形的中位线定理．
考点3三角形内角与外角的应用
技巧归纳：综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论．
考点4多边形的内角和与外角和
技巧归纳：如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．
（三）典例精讲
例1
若三角形的两边长分别为6
cm、9
cm，则其第三边的长可能为(　　)
A．2
cm
B．3
cm
C．7
cm
D．16
cm
[解析]
设第三边的长为x，根据三角形三边关系得9－6＜x＜9＋6，即3
cm＜x＜15
cm，符合条件的只有选项C.
例2
如图在△ABC中，
D，E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE＝__________。
[解析]
∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC＝4.
例3
如图∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An.
设∠A＝θ.
则(1)∠A1＝________；
(2)∠An＝________.
[解析]
(1)根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可得解；
(2)与(1)同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解．
∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD.
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1,
∴(∠A＋∠ABC)＝∠A1BC＋∠A1，
∴∠A1＝∠A.
∵∠A＝θ，
∴∠A1＝；
(2)同理可得∠A2＝∠A1＝·θ＝，
所以∠An＝.
例4
若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
[解析]
设这个多边形的边数为n，则180(n－2)＝1080，解得n＝8.故选C.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握了解多边形和正多边形的概念，会运用多边形的内角和、外角和公式解决问题.
（五）随堂检测
1、现有3
cm，4
cm，7
cm，9
cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2、如图△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝________.
3、若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
五、板书设计
三角形
多边形
六、作业布置
三角形与多边形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第2讲:整式与因式分解
一、复习目标
1、在识记整式和因式分解知识点的基础上理解并能熟练的应用整式和因式分解知识点。
2、能结合具体情境创造性的综合应用因式分解解决问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、分解因式及利用因式分解法解决问题。
2、整式的合并及变形计算。
四、教学过程
(一)知识梳理
整式的有关概念
单项式定义：数与字母的________的代数式叫做单项式，单独的一个________或一个________也是单项式
单项式次数：一个单项式中，所有字母的________
叫做这个单项式的次数
单项式系数：单项式中的
叫做单项式的系数
多项式定义：几个单项式的________叫做多项式
多项式次数：一个多项式中，_____________
_的次数，叫做这个多项式的次数
多项式系数：多项式中的每个________叫做多项式的项
整式：________________统称整式
同类项、合并同类项
同类项概念：所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项，几个常数项也是同类项
合并同类项概念：把
中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的
，且字母部分不变
整式的运算
整式的加减实质就是____________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项
幂的运算
：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即：am·an＝________(m，n都是整数)
幂的乘方
，底数不变，指数相乘.
即：(am)n＝________(m，n都是整数)
积的乘方
，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝________(n为整数)
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即：am÷an＝________(a≠0，m、n都为整数)
整式的乘法
：
单项式与单项式相乘，把它们的
分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝
整式的除法：
单项式除以单项式
，
与
分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别
这个单项式，然后把所得的商相加
乘法公式
：
平方差公式
：(a＋b)(a－b)＝________
完全平方公式
：(a±b)2＝________
常用恒等变换
：(1)a2＋b2＝____________＝____________
(2)(a－b)2＝(a＋b)2－
因式分解的相关概念及分解基本方法
公因式定义：一个多项式各项都含有的
的因式，叫做这个多项式各项的公因式
提取公因式法定义：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋mc＝________
运用公式法：
平方差公式a2－b2＝___________
完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________
，a2－2ab＋b2＝________
二次三项式x2+(p+q)x+pq=________
（二）题型、方法归纳
考点一
整式的有关概念
技巧归纳：注意单项式次数、单项式系数的概念
考点二
同类项、合并同类项
技巧归纳：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．
考点三
整式的运算
技巧归纳：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．
(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆
(3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，
一定不能把同底数幂的指数相除．（4）整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．
考点四
因式分解的相关概念及分解基本方法
技巧归纳：
(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．
（三）典例精讲
1、如果□×3ab=3a2b，则□内应填的代数式是（
）
A.ab
B.3ab
C.a
D.3a
答案：C
2、在下列代数式中，次数为3的单项式是(　　)
A．xy2
B．x3－y3
C．x3y
D．3xy
[解析]由单项式次数的概念可知次数为3的单项式是xy2.
所以本题选项为A.
3、如果单项式是同类项，那么a，b的值分别为(　　)
A．2，2
B．－3，2
C．2，3
D．3，2
[解析]
依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得
D
点析：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．
(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．
4、下列运算中，正确的是(　　)
A．a2·a3＝a6
B．a3÷a2＝a
C．(a3)2＝a9
D．a2＋a2＝
a5
[解析]因为a2·a3＝a2＋3＝a5，a3÷a2
＝a3－2＝a，(a3)2＝a3×2＝a6，a2＋a2＝
2a2.故选B.
点析：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．
(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3·a5
＝a8和a3＋a3＝2a3.
(am)n和an·am也容易混淆．
(3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3,
一定不能把同底数幂的指数相除．
5、先化简，再求值：
(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－
[解析]
按运算法则化简代数式，再代入求值．
解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5，
当x＝－时，原式＝(－)2－5＝3－5＝－2.
点析：
整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．
6、分解因式(x－1)2
－2(x－1)＋1的结果是(　　)
A．(x－1)(x－2)
B.
x2
C．(x＋1)2
D.
(x－2)2
[解析]
首先把x－1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解．(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.
点析：
(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．
7、
①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图3－1②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(　　)
A．2mn
B．(m＋n)2
C．(m－n)2
D．m2
－n2
[解析]
中间空的部分的面积是(m＋n)2－2m·2n＝(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.
点析：(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握整式、同类项、合并同类项的有关概念及整式的运算、因式分解的相关概念及分解基本方法。
（五）随堂检测
1、把分解因式，结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、若(2x)n－81＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n的值是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
3、多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4、能被下列数整除的是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
5、若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝__________．
6、当x=90.28时，8.37x+5.63x－4x=____
_____.
7、.
8、多项式24ab2－32a2b提出公因式是 .
9、已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3求：(1)ab的值；(2)a2＋b2的值．
五、板书设计
概念
法则
公式
六、作业布置
完成整式与因式分解课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第17讲:
几何初步与平行线、相交线
一、复习目标
1．运用两点确定一条直线解决实际问题．
2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算．
3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，会进行有关线段的计算．
4．掌握角平分线的定义及性质．
5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算．
6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念．
7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理．
8．掌握两条直线垂直的概念．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1．掌握角平分线的定义及性质．
2．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算．
3．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念．
4．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理．
四、教学过程
（一）知识梳理

三种基本图形——直线、射线、线段
直线公理
经过两点有且只有________条直线
线段公理
两点之间，________最短
两点间的
距离
连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离
角
角的概念
定义1
有公共端点的两条____组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的____，这两条射线叫做角的____
定义2
一条射线绕着它的____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角
角的分类
角按照大小可以分为平角、周角、____、____、钝角
角的大小比较
(1)叠合法　(2)度量法
角平分线
定义
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
性质
角平分线上的点到这个角两边的距离相等
几何计数
1
数直线的条数
过任意三个不在同一直线上的n个点中的两个点可以画________条
2
数线段的条数
线段上共有n个点(包括两个端点)时，共有线段________条
3
数角的个数
从一点出发的n条直线可组成______个角
4
数交点的个数
n条直线最多有________个交点
5
数直线分
平面的份数
平面内有n条直线，最多可以把平面分成________个部分
互为余角、互为补角
互为余角
定义
如果两个角的和等于90°，则这两个角互余
性质
同角(或等角)的余角________
互为补角
定义
如果两个角的和等于180°，则这两个角互补
性质
同角(或等角)的补角________
拓展
一个角的补角比这个角的余角大90°
邻补角、对顶角
邻补角定义
若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角
对顶角
定义
若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
性质
对顶角相等
“三线八角“的概念
同位角
如果两个角在截线l的同侧，且在被截直线a、b的同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角
内错角
如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁
内角
如果两个角在截线l的同侧，在被截直线a、b之间(内)叫做同旁内角．∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角
平行
平行线的定义
在同一平面内，________的两条直线叫做平行线
平行公理
经过直线外一点，有且只有____条直线与这条直线______
平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相________
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
垂直
垂直
定义
如果两条直线相交成______，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做______
特别说明
(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；(3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直
垂直的性质
在同一平面内，过一点有且只有______条直线与已知直线垂直
垂线段
定义
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做______
性质
直线外各点与直线上各点所连的线段中，______最短
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离
（二）题型、技巧归纳
考点1线与角的概念和基本性质
技巧归纳：根据对顶角相等求出度数，再根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后根据平角等于180°
考点2直线的位置关系
技巧归纳：计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用．
考点3度、分、秒的计算
技巧归纳：注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出错的地方．
考点4平行线的性质和判定的应用
技巧归纳：
（1）平行线的判定:
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
（2）平行线的性质:
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
（三）典例精讲
例1
如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于(　　)
A．38°
B．104°
C．142°
D．144°
[解析]
根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算．
∵∠BOD＝76°，
∴∠AOC＝∠BOD＝76°.
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝×76°＝38°，
∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.
故选C.
例2
如图17－2，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为(　　)
A．50°
B．60°
C．70°
D.
80°
[解析]
依题意，∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°，故选C.
例3
已知∠α＝32°，求∠α的补角为(　　)
A．58°
B．68°
C．148°
D．168°
[解析]
∵∠α＝32°，∴∠α的补角＝180°－32°＝148°.故选C.
例4
如图17－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
解：①∠APC
＝∠PAB
＋∠PCD；
②∠APC＝360°－(∠PAB
＋∠PCD)；
③∠APC＝∠PAB
－∠PCD；
④∠APC＝∠PCD－∠PAB.
如证明①
∠APC
＝∠PAB
＋∠PCD.
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.
又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE，
所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC
＝∠PAB
＋∠PCD.
同理可证明其他的结论．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行。
（五）随堂检测
1、如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．
2、如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠4=∠5
D．∠2+∠4=180°
3、（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（
）
A．a-b
B．a+b
C．│a-b│
D．│a+b│
4、已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（
）
A．3：4
B．2：3
C．3：5
D．1：2
5、如图，DE+AB=AD，∠1=∠E，求证：
（1）∠2=∠B；（2）若∠E+∠1+∠2+∠B=180°，则DE∥AB．
五、板书设计
性质
判定
六、作业布置
几何初步与平行线、相交线课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第14讲二次函数的图象及其性质
一、复习目标
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．
3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
四、教学过程
（一）知识梳理

二次函数的概念
定义
一般地，如果____________
(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的结构特征
①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;
②二次项系数a≠0
二次函数的图象及画法
图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线
用描点法画
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图象的步骤
(1)用配方法化成________________的形式；
(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
二次函数的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0
a<0
图象
开口
方向
抛物线开口向上，并向上无限延伸
抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而增大，简记左减右增
在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而减小，简记左增右减
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0
a<0
最值
抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝
抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝
二次项系数a的特性
的大小决定抛物线的开口大小；越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大
常数项c的意义
c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c
用待定系数法求二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
1.一般式
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a、b、c的值
2.顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式
3.交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式
（二）题型、技巧归纳
考点1二次函数的定义
技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
考点2二次函数的图象与性质
技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为.
(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．
考点3二次函数的解析式的求法
技巧归纳：
二次函数的关系式有三种：
1．一般式y＝ax2＋bx＋c；
2．顶点式y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；
3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1,0)，(x2,0)为抛物线与x轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．
（三）典例精讲
例1若是二次函数，则m＝(　　)
A．7
B．－1
C．－1或7
D．以上都不对
[解析]
让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0.
解得m＝7或－1，且m≠－1，
∴m＝7，故选A.
例2
(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.
(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
－1
0
3
…
描点作图如下图．
(3)y1>y2.
(4)如图，点C，D的横坐标x3，x4即为方程x2－4x＋3＝2的根
例3
已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为
，求二次函数的解析式．
解：解法一：∵抛物线与x轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x＝＝－2，∴抛物线的顶点为P，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P，设一般式，设y＝ax2＋bx＋c，把A(－5，0)，B(1，0)，P的坐标代入，得
∴
解得
∴
所求抛物线的关系式为y＝－x2－2x＋.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次函数的概念、图象及画法及其性质。
（五）随堂检测
1、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
3、
小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h=4.9t一3.5t2
(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度的变化，则她起跳后到重心最高时所用的时间是
(
)
A.
0．71
s
B
0．70
s　　　　
C.
0．63
s
D
0．36
s
4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
5、二次函数的最小值是
.
6、函数取得最大值时，______．
7、
已知实数x、y满足x2－2x+4y=5，则x+2y的最大值为
五、板书设计
概念
图像
性质
六、作业布置
完成二次函数的图像及其性质课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第15讲:
二次函数与一元二次方程
一、复习目标
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号.
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题
二、课时安排1课时
三、复习重难点
1、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
2、灵活运用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题
四、教学过程
（一）知识梳理

二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数
判别式Δ＝b2－4ac的符号
方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数
2个
Δ>0
两个________实根
1个
Δ＝0
两个________实根
没有
Δ<0
________实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b＝0
对称轴为y轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
与x轴有惟一交点(顶点)
b2－4ac>0
与x轴有两个不同交点
b2－4ac<0
与x轴没有交点
特殊关系
当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
（二）题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2
,则抛物线
y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
技巧归纳：
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．
2．平移的变化规律可为：
(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
考点4二次函数的图象与性质的综合运用
技巧归纳：
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
（三）典例精讲
例1
抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
[解析]
把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，
所以原方程为y＝x2－4x＋3，
令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．
例2
将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是(　　)
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x－2)2－2
[解析]
抛物线y＝x2＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2－2.故选B.
例3
如图把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m.
抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
[解析]
过点P作PM⊥y轴于点M.
∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3，得出二次函数的关系式为：y＝(x＋3)2＋h，
将(－6，0)代入，得0＝(－6＋3)2＋h，解得h＝－，
∴点P的坐标是，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝3×＝.
例4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示，
对称轴x＝
.下列结论中，正确的是(　　)
A．abc>0
B．a＋b＝0
C．2b＋c>0
D．4a＋c<2b
[解析]
A项，∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B项，∵对称轴x＝－＝－，∴a＝b，故本选项错误；C项，当x＝1时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误；D项，∵对称轴为直线x＝－，图象与x轴的一个交点的横坐标x1的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范围为x2＜－2，
∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故本选项正确．
故选D.
例5如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，
∴△ABD中AB边的高为4，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以AB＝3－(－1)＝4，
∴△ABD的面积＝×4×4＝8；
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，
由(2)可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为(3，2)，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
所以点G不在该抛物线上．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号，会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
（五）随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是(
)
A.y=2x2
–
3
B.y=
-
2
x2
+
3
C.y=
-
x2
–
2x
D.y=-2(x+1)2
-
3
2.如果关于x的一元二次方程
x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线
y=x2-2x+m与x轴有＿
个交点.
3.已知抛物线
y=x2
–
8x
+c的顶点在
x轴上,则c=＿＿.
4.抛物线y=x2-3x+2
与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿
＿.
5.抛物线y=2x2-3x-5
与y轴交于点＿＿＿＿
,与x轴交于点　　　　　　.
6.一元二次方程
3
x2+x-10=0的两个根是x1=
-2
,x2=5/3,
那么二次函数y=
3
x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是
.
8.若抛物线y=ax2+bx+c,当
a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是(
)
A.无交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.不能确定
五、板书设计
一般式
六、作业布置
二次函数与一元二次方程课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第5讲:一元一次方程及其应用
一、复习目标
1、准确地理解方程、方程的解、解方程和一元一次方程等概念。
2、熟练地掌握一元一次方程的解法。
3、能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解。
2、寻找等量关系，直接、间接设元。
四、教学过程
（一）知识梳理
一元一次方程解的概念
1、什么是方程？方程和等式的区别是什么？
2.什么是一元一次方程？它的标准形式和最简形式是什么？
一元一次方程是只指含有
未知数，且未知数的最高次数是
的方程。
它的标准形式是：
它的最简形式是：
3.什么是方程的解，什么是解方程？
解一元一次方程的一般步骤有哪些？它的根据是什么？
1、
：不要漏乘分母为1的项。
2、
：注意符号
3、
：①将含有未知数的项移到等式的
一边；将常数项
移到另一边；②注意“变号”
4、
（乘法分配律的逆用）
5、
：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
等式的性质
等式有哪些性质，并以字母形式表示出来
等式性质1：如果a=b，那么：
a+c=
等式性质2：如果a=b，那么：ac=
，a/c=
(c≠0)
（二）题型、方法归纳
考点一、考查一元一次方程解的概念
技巧归纳:1、主要是在考查方程的解的定义的基础上求方程中参数的值
2、未知数的系数化为
1，就是在方程两边同时除以未知数的系数或同时乘未知数的系数的倒数．
考点二　含字母系数的一元一次方程
技巧归纳:含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝
当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
考点三、求增长率问题
技巧归纳:在解这一类题目时关键要找好“单位1”
考点四、打折销售问题
技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
考点五、利用一元一次方程
技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
（三）典例精讲
例1已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是
解析：由题意知道方程的解是x=m,根据方程的解的定义，把代入方程得：，所以.
例2．已知关于
x
的方程
2x＋a－9＝0
的解是
x＝2，则
a
的值为
(
D)
2
B.
3
C.
4
D.5
例3、若
x＝2
是关于
x
的方程
2x＋3m－1＝0
的解，则
m
的值为______-1_____．
例4
　解关于x的方程：
2a(a－4)x＋4(a＋1)x－2a＝a2＋4x
原方程整理得：a（2a－4）x＝a（a＋2）
①当a≠0，a≠2时方程有唯一解，x
②当a＝0时，方程有无数个解；
③当a＝2时，方程无解．
含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝；当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
例5
2009年全国教育计划支出1980亿元，比2008年增加380亿元，则2009年全国教育经费增长率为
。
解析：由题目条件知道2008年我国教育支出为1980-380=1600（亿元），所以可设2009年全国教育经费增长率为x%，则有：1600（1+x%）=1980。解得：x=23.75%
，所以2009年全国教育经费增长率为23.75%.
点评：本题是一道和时事相结合的题目，主要考查了增长率问题的求法，在解这一类题目时关键要找好“单位1”。
例6某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（　　）
A．80元
B．100元
C．120元
D．160元
解析：在解本题时要先求出商品的标价，所以设商品的标价为x元，根据题意得：
，解得：x=200，又因为要以不低于进价20%价格才能出售所以最低价为200（1+20%）=240（元）。360-240=120(元)
想买下标价为360元的这种商品，最多降价120元商店老板才能出售，答案选C.
点评：打折销售问题一直是种考中的热点问题，充分考查了同学们的分析问题和解决问题的能力.
例7、儿子今年
13
岁，父亲今年
40
岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的4倍？
解：假设在
x
年后父亲年龄恰好是儿子的4倍，可列方程40＋x＝4(13＋x)，解得x＝－4.则40－4＝36,13－4＝9,36÷9＝4.即
4
年前父亲年龄恰好是儿子的4倍．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元一次方程解的概念,等式的性质,一元一次方程的解法及其应用。
（五）随堂检测
1．在①；②；③；④中，等式有_____________，
方程有_____________．
2．已知等式是关于x的一元一次方程，则m=____________．
3．当x=
时，代数式与代数式的值相等．
4．已知三个连续奇数的和是，则中间的那个数是_______．
5．某工厂引进了一批设备，使今年单位成品的成本较去年降低了．已知今年单位成品的成本为元，则去年单位成品的成本为_______元．
6．小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则原方程的解为___________________________．
五、板书设计
概念
性质
六、作业布置
一元一次方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第10讲:等腰三角形
一、复习目标
1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质
2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。
四、教学过程
（一）知识梳理
等腰三角形的概念与性质
定义
有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底
性质
轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴
定理1
等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)
定理2
等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
拓展
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高
等腰三角形的判定
定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)
拓展
(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
性质
等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______
等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴
判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
线段的垂直平分线
定义
经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________
判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上
实质构成
线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合
（二）题型、技巧归纳
考点1等腰三角形的性质的运用
技巧归纳：
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．
考点2等腰三角形判定
技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．
考点3等腰三角形的多解问题
技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．
考点4等边三角形的判定与性质
技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
（三）典例精讲
例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，
并说明理由．
[解析]
先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．
解：
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∴△ADE≌△BFE.
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵∠GDF＝∠ADF，
又∵∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴GD＝GF.
由(1)得，DE＝EF，
∴EG⊥DF.
例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
[解析]
(1)利用△BDC≌△CEB
证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB
(AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB,
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)点O是在∠BAC的平分线上．
连接AO.
∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴
OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO.
∴点O是在∠BAC的平分线上．
例3
已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5
BC，则△ABC底角的度数为(　　)
A．45°
B．75°
C．45°或75°
D．60°
[解析]
首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．
如图(1)：AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∠ADB＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图(2)，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°.
∴∠CAB＝∠B＝＝75°，
即此时△ABC底角的度数为75°.
综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
故选C.
例4
数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE________DB(填“>”“<”或“＝”)
（1）
（2）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．
（1）=
（2）=
方法一：等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
且ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.
又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
方法二：在等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠ACE.
∵FE∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.
∴△EFC≌△DBE，
∴DB＝EF，
而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.
∴AE＝DB.
（3）3)1或3.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握等腰三角形的概念、性质与判定、等边三角形、线段的垂直平分线的运用。
（五）随堂检测
1.(2013·黔西南中考)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　　　度.
2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　　　　.
3.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　　　.
4.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
五、板书设计
等腰三角形
六、作业布置
等腰三角形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第11讲:直角三角形与勾股定理
一、复习目标
（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。
（2）掌握角平分线性质的逆定理。
（3）掌握勾股定理及其逆定理。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。
四、教学过程
（一）知识梳理
直角三角形的概念、性质与判定
定义
有一个角是________的三角形叫做直角三角形
性质
(1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________
判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形
(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
拓展
(1)SRt△ABC＝ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝，外接圆半径R＝，即等于斜边的一半
勾股定理及逆定理
勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________
勾股定理
的逆定理
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系：
________
，那么这个三角形是直角三角形
用途
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题
互逆命题
互逆命题
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______
互逆定理
若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理
命题、定义、定理、公理
定义
在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义
命题
定义
判断一件事情的句子叫做命题
分类
正确的命题称为________
错误的命题称为________
组成
每个命题都由______和______两个部分组成
公理
公认的真命题称为________
定理
除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________
（二）题型、技巧归纳
考点一：利用勾股定理求线段的长度
技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
考点2实际问题中勾股定理的应用
技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
考点3勾股定理逆定理的应用
技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
考点4定义、命题、定理、反证法
技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．
（三）典例精讲
例1
将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3
cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为(　　)
A、3CM
B、6CM
C、CM
D、CM
[解析]
如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6
(cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB＝6(cm)．
例2
一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路径的距离．
解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝＝.
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝＝.
l1>l2，最短路径的长是l2＝.
(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝·AA1＝·5＝
例3
已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(　　)
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
[解析]
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
①∵22＋32＝13≠42，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32＋42＝52
，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12＋(√3)2＝22，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③.
故选D.
例4
下列命题为假命题的是(　　)
A．三角形三个内角的和等于180°
B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形两边的平方和等于第三边的平方
D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
[解析]
选项A和B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质、掌握角平分线性质的逆定理、掌握勾股定理及其逆定理。
（五）随堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)
A.
B.
C.
D.
2、下列命题中，其逆命题是真命题的是________．(只填写序号)
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
3、如图以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
4、已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．
五、板书设计
判定直角三角形全等的条件
直角三角形的性质
角平分线性质的逆定理
勾股定理及其逆定理。
六、作业布置
直角三角形与勾股定理课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第8讲:分式方程及其应用
一、复习目标
1．分式方程的概念
2．分式方程的解法步骤及增根
3、用分式方程解实际问题的一般步骤
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
用分式方程解实际问题的一般步骤
四、教学过程
（一）、知识梳理
分式方程
分式方程
概念
分母里含有________的方程叫做分式方程
增根
在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为________
分式方程的解法
分式方程的解法
基本思想
把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程
直接去分母法
方程两边同乘各分式的________，约去分母，化为整式方程，再求根验根
分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
（二）题型、方法归纳
考点1分式方程的概念
技巧归纳:1．分式方程的概念；2．分式方程的增根．
考点2分式方程的解法
技巧归纳:1．去分母法；2．换元法
．
3．注意解分式方程必须检验．
考点3分式方程的应用
技巧归纳:1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
（三）典例精讲
例1、若分式方程2＋＝有增根，则k＝________.
[解析]
∵分式方程2＋＝有增根，
去分母，得2(x－2)＋1－kx＝－1，
整理得(2－k)x＝2，
当2－k≠0时，x＝；
当2－k＝0时，此方程无解，即此解不符合要求．
∵分式方程2＋＝有增根，
∴x－2＝0，2－x＝0，
解得x＝2，
即＝2，
解得k＝1.
例2
解方程：
＋＝
解：去分母，得3x＋x＋2＝4，解得x＝，
经检验：
x＝是原方程的解．
例3为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种
，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？
解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树x棵．
根据题意，得－＝4.
解这个方程，得x＝30.
经检验x＝30是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天种树30棵．
例4、某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4
km的植物园参观，甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20
min.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，求甲、乙两组的速度．
解：设甲组的速度为x
km/h，乙组的速度为2x
km/h，根据题意，
得－＝，解得x＝6.经检验，x＝6是方程的解．
∴甲组的速度为6
km/h，乙组的速度为12
km/h.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握分式方程的概念、分式方程的解法及其应用。
（五）随堂检测
1.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（
）
A.
B.
C.
D.
2.
如果关于x的方程
A.
B.
C.
D.
3
3.
求x为何值时，代数式的值等于2？
4.徐州至上海的铁路里程为650
km.从徐州乘“G”字头列车A、“D”
字头列车B都可直达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2.5
h.
(1)设B车的平均速度为x
km/h，根据题意，可列分式方程：
________________；
(2)求A车的平均速度及行驶时间.
五、板书设计
概念
解法
六、作业布置
分式方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第3讲:分式
一、复习目标
1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．
2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
四、教学过程
（一）、知识梳理
分式的概念
分式的概念
定义
形如________(A、B是整式，且B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式
有意义的条件
值为0
的条件
分式的基本性质及相关概念
分式的基本性质
＝，
＝
(M是不为零的整式)
约分
把分式的
与
中的
约去，叫做分式的约分
应用注意：约分的最终目标是将分式化为最简分式，即分子和分母没有公因式的分式
通分
利用分式的基本性质，使______和______同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
应用注意：通分的关键是确定几个分式的公分母
最简公分母
异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母
分式的运算
分式的加减
同分母分式相加减
分母不变，把分子相加减，即
＝________
异分母分式相加减
先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即
＝_____
±____
_＝_________
分式的乘除
乘法法则
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即
＝________
除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
＝______×________＝________(b≠0,
c≠0,
d≠0)
（二）题型、方法归纳
考点1
分式的概念
技巧归纳：
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．
(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．
(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查．
考点2
分式的基本性质及相关概念
技巧归纳：利用分式的加减运算法则与约分的性质
考点3
分式的运算
技巧归纳：括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法。
(1)解有条件的分式化简与求值时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要利用整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下的技巧：①取倒数或利用倒数关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等．
(2)化简求值时，近几年出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
（三）典例精讲
例1（1）
若分式有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x≠3
B．x＝3
C．x<3
D．x>3
(2)
若代数式
的值为零，则x＝________.
解析
(1)由分式分母3－x不为0得不等式3－x≠0，解这个不等式得x≠3.故选择A.
(2)的值为零，则3-X=0，且分母X-1不能等于零，
所以X=3
点析：(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查
例2
下列计算错误的是(　　)
A.＝
B.＝
C.＝－1
D.＋＝
解析：利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用，选项A的计算结果为
，故本选项错误
点析：
(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”，“同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．
例3先化简，再求值：其中X=6.
[解析]先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法，最后把x＝6代入化简后的式子求值．
解：÷
＝÷
＝÷
＝×
＝x－1.
当x＝6时，原式＝6－1＝5.
点析：(1)解有条件的分式化简与求值时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要利用整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下的技巧：①取倒数或利用倒数关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等．
(2)化简求值时，近几年出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
例4、1－2÷，其中x＝－.
解：原式＝1－2·
＝1－(x2－x＋1)＝－x2＋x.
当x＝－时，原式＝－2－＝－.
例5、÷
解：原式＝÷＝×＝.
例6、先化简，再求值：
＋×，其中a＝＋1.
解：＋×＝＋×＝＋＝.
当a＝＋1时，原式＝＝.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握分式的概念、分式的基本性质及相关概念、分式的运算。
（五）随堂检测
1．在式子，，，，中，分式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．分式无意义的条件是（
）
A．x≠—3
B．
x=－3
C．x=0
D．x=3
3．当x=　　　　时，分式值为零.
4．计算．=
.
5．若方程无解,则__________________.
6．先化简，再求值：，其中.
五、板书设计
概念
意义
六、作业布置
分式课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第19讲:全等三角形
一、复习目标
1、理解全等形、全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质与判定方法。
2、能正确、恰当选用三角形全等的条件推证三角形全等、角相等、线段相等的问题。
3、理解角平线的性质定理和判定定理。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、全等三角形的性质与判定
2、综合运用全等三角形的性质与判定证题
四、教学过程
（一）知识梳理
全等图形及全等三角形
全等图形
能够完全重合的两个图形就是______
全等图形的形状和_______完全相同
全等三角形
能够完全重合的两个三角形就是全等三角形
说明
完全重合有两层含义：
(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
全等三角形的性质
性质1
全等三角形的对应边________
性质2
全等三角形的对应角________
性质3
全等三角形的对应边上的高________
性质4
全等三角形的对应边上的中线________
性质5
全等三角形的对应角平分线________
全等三角形的判定
基本判
定方法
1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)
2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____
)
3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为____
)
4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____
)
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____
)
拓展延伸
满足下列条件的三角形是全等三角形：
(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；
(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；
(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；
(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等
总结
判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等
利用“尺规”作三角形的类型
1
已知三角形的三边，求作三角形
2
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
3
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
4
已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形
5
已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形
角平分线的性质与判定
性质
角平分线上的点到角两边的______相等
判定
角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上
（二）题型、技巧归纳
考点1全等三角形性质与判定的综合应用
技巧归纳：
1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；
2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；
3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．
考点2全等三角形开放性问题
技巧归纳：
由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．
（三）典例精讲
例1
已知：AB＝AE，∠1＝∠2，∠B
＝∠E，求证：BC＝ED.
[解析]
由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AB＝AE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD.
∴在△BAC与△EAD中，
∴△BAC≌△EAD，∴BC＝ED.
例2
如图在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加辅助线)
[解析]
由已知可证∠EDC＝∠BDF，又DC＝DB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE＝DF或(CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB)；
解：(1)添加的条件是：DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．
(2)证明：在△BDF和△CDE中，
∵
∴△BDF≌△CDE
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握全等形、全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质与判定方法。
（五）随堂检测
1、已知：如图19－2，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB＝DC.
2、在△ABC中，AB＝CD，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
3、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使点A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么？
4、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是(　　)
A．PO
B．PQ
C．MO
D．MQ
五、板书设计
性质
判定
六、作业布置
全等三角形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第4讲:二次根式
一、复习目标
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(
)2＝a(a≥0)．
2．能用二次根式的性质
＝|a|来化简根式．
3．能识别最简二次根式、同类二次根式．
4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质(
)2＝a(a≥0)．
2.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
四、教学过程
（一）知识梳理
二次根式概念
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a
0.
3、最简二次根式、同类二次根式
概念
我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念
几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
二次根式的性质
1．()2＝a(______)．
2．＝|a|＝
3．＝______(a≥0，b≥0)．
4．＝______(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算
1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
(2)二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3、把分母中的根号化去掉
(1)＝
(2)＝
（二）题型、方法归纳
考点1
二次根式概念
技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．
考点2
二次根式的性质
技巧归纳：1.
二次根式的非负性的意义；2.
利用二次根式的非负性进行化简．
3、比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．
考点3
二次根式的运算
技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、二次根式的加减乘除运算．2、此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．
（三）典例精讲
例1
使
有意义的x的取值范围是_____
[解析]要使有意义，则1－x≥0，所以x≤1.
点析：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．
例2
已知实数x，y满＋＝，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A.
20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
解析：根据题意
x-4=0，y+8=0
解得x=4,y=8
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B；
例3、
12的负的平方根介于(　　)
A．－5与－4之间
B．－4与－3之间
C．－3与－2之间
D．－2与－1之间
答案：B
例4计算÷－×＋
解析：先做二次根式的乘除运算，并化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
解：÷－×＋＝－＋＝4－＋2＝4＋.
点析：利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．
例5
先化简，再求值·其中x＝
解：原式＝·＝.
①当x＋1＞0时，原式＝②当x＋1＜0时，原式＝－.
∵当x＝时，x＋1＞0，∴原式＝.
点析：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．
例6
－＋2－＋
解：原式＝5－＋4－3＋
＝＋
＝＋.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次根式概念、性质及二次根式的运算。
（五）随堂检测
1、下列根式中，不是最简二次根式的是（
）
A、
B、
C、
D、
2、计算的结果是（
）
A、
B、
C、
D、
3、已知为实数，那么等于（
）
A、
B、
C、－
1
D、
0
4、使代数式有意义的x的取值范围是（
）
A、x>3
B、x≥3
C、
x>4
D
、x≥3且x≠4
5、估算的值在下列哪两个数之间
(
)
A、1和2
B、2和3
C、3和4
D、4和5
6、若为实数，且，则的值为（
）
A、1
B、
C、2
D、
五、板书设计
概念
性质
运算规律
六、作业布置
二次根式课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。第7讲一元二次方程及其应用
一、复习目标
1.了解一元二次方程的定义及一般形式．
2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1．熟练配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
四、教学过程
（一）、知识梳理
一元二次方程的概念及一般形式
1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．
一元二次方程的四种解法
1．一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．
(2)配方法的步骤：移项
，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．
(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．
(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．
一元二次方程的根的判别式
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．
(1)当△>0时，
方程有两个_______的实数根．
(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．
(3)当△<0时，
方程没有实数根．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1 x2＝________．
一元二次方程的应用
应用类型
等量关系
增长率问题
(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b
利率问题
(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数
销售利润问题
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
（二）题型、方法归纳
考点1一元二次方程的概念及一般形式
技巧归纳：运用1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念，解决此问题。
考点2一元二次方程的解法
技巧归纳：可以利用一元二次方程的四种解法中的任意一种解决此题。利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
考点3一元二次方程的根的判别式
技巧归纳：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
考点4一元二次方程的应用
技巧归纳：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；
2．用一元二次方程解决商品销售问题．
（三））典例精讲
例1
已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析]
把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，
所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
例2
解方程：x2－4x＋2＝0.
[解析]
通过对方程的观察发现此题直接应用公式法
x＝
解比较方便．
解：∵Δ＝42－4×1×2＝
8，∴x＝.
x1＝2＋
，x2＝2－.
点析：利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
例3
已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)
＝m2－4m＋8
＝(m－2)2＋4>0，
∴方程恒有两个不相等的实数根．
点析：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
拓展题：
例4
为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要
交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
(1)求a的值；
(2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？、
解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，
，
即。
解得a=30或a=50。
由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。 ∴a=50。
（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元。
则
∵5月份交电费45元，
∴5月份用电量超过50千瓦时。
∴45=20＋0.5（x－50），
解得x=100。
答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元二次方程的概念及一般形式、
一元二次方程的四种解法
、一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的应用。
（五）随堂检测
1.k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．
2.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a＞2
B．a＜2
C．a＜2且a≠1
D．a＜－2
3、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＝x1x2－1，求k的值．
五、板书设计
概念
解法
判别式
六、作业布置
一元二次方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。