第十八章 平行四边形导学案
图片预览
文档简介
第十九章
四边形
课题
19.1
平行四边形
课时：四课时
第一课时
19.1.1平行四边形的性质
【学习目标】1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
【重点难点】
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法（即为什么要添加对角线）
【导学指导】
现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物，铺满地砖的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影。在小学，我们已经学过一些特殊的四边形，如长方形、正方形、平行四边形和梯形等，这些特殊的四边形与我们的生活关系更为密切。在章前图中，你能找出它们吗？在本章，我们将进一步认识这些特殊的四边形，分析它们的联系与区别，探索并证明它们的性质及判定方法，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
学习新知:阅读教材P83-P84内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
1.什么叫做平行四边形？如何表示一个平行四边形？用几何语言如何叙述？
2.四边形与平行四边形有怎样的从属关系？你能举出生活中的平行四边形的例子吗？
3.平行四边形有什么性质？你能证明吗？
4如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
【课堂练习】1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=，则∠B=
度，∠C=
度，∠D=
度．
（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=
度，∠B=
度，∠C=
度，∠D=
度．
（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=
cm，BC=
cm，CD=
cm，CD=
cm．
2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
课后练习
1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（
）．
（A）对角相等
（B）对角互补
（C）邻角互补
（D）内角和是
2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（
）．
（A）4个
（B）5个
（C）8个
（D）9个
3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
【要点归纳】
通过学习，本节课你学到了哪些知识？与同伴交流一下。
【拓展训练】.
已知任意三点A、B、C，是否存在点D，使A、B、C、D围成一个平行四边形？如果存在，请你作出平行四边形；如果不存在请说明理由。
第二课时
平行四边形的性质（2）
【学习目标】1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。
2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算。
【重点难点】
重点：平行四边形的对角线互相平分
难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达。
【导学指导】复习旧知：
平行四边形是如何定义的？生活中有什么物体是平行四边形形状的？
前面我们学行四边形的哪些性质？
我们是如何证明平行四边形的这些性质的？
学习新知：
自主学习教材P85-P86内容，思考，讨论，合作交流后完成下列问题。
1.如下图所示，平行四边形ABCD的对角线有什么特征？请用文字语言叙述并用数学符号表示出来。
2.你能证明你叙述的对角线的特征吗？
3.你发现了吗？平行四边形的问题都是如何解决的？
【课堂练习】
教材P86练习第1，2题。
已知平行四边形ABCD的周长是48cm，AB比BC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？
在平行四边形ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C的度数。
平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△COB的周长大8cm，则AB=
，BC=
。
【要点归纳】1.完成下列表格:
平行四边形的图形
平行四边形的边
平行四边形的角
平行四边形的对角线
2.解决平行四边形问题的常用辅助线是什么？
3.你还有哪些收获？
课后练习1．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．
（
）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．
（
）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．
（
）
（4）平行四边形是轴对称图形．
（
）
2．在
ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__
______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是
．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
第三课时
19.1.2
平行四边形的判定（1）
【学习目标】1.运用类比的方法，得出平行四边形的两个判定方法。
2.会运用这两个判定方法解决简单的问题。
【重点难点】
重点：平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合应用。
难点：对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合应用。
【导学指导】复习旧知：
平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
平行四边形还有哪些性质？
你能说出上述三条性质的逆命题吗？把它们有文字表达出来。
学习新知：
自主学习教材P86-P87相关内容，思考、讨论合作交流完成下列问题：
1.平行四边形的三条性质的逆命题是真命题吗？如何证明的？
2.现在你有多少种判定平行四边形的方法了？它们分别是从四边形的哪些方面去考虑的？
课堂练习。在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___
_cm，CD=___
_cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cmBD=8cm那么当AO=__
_cm，DO=__
_cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___
__．
（6个）
②第8个图形中平行四边形的个数为___
__．
（20个）
讨论
1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（
）．
（A）对角线互相垂直
（B）对角线相等
（C）对角线互相垂直且相等
（D）对角线互相平分
2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，
求证：BE=CF
【要点归纳】
本节课你有哪些收获？
【拓展训练】1.如图，已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点。
求证：四边形AMCN是平行四边形。
2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
第四课时
19.1.2
平行四边形的判定（2）
【学习目标】1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。
2.理解和领会三角形三角形中位线定理及其应用。
3.会综合应用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题。
【重点难点】
重点：1.平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法；2.理解并应用三角形中位线定理。
难点：1.平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。
2.理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法。
【导学指导】
复习旧知：
平行四边形的定义是什么？
平行四边形具有哪些性质？
平行四边形是如何判定的？
学习新知：
阅读教材P88-P90相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题:
今天又有了一种判定平行四边形的方法，是什么？如何证明？
你看得懂例4吗？它是如何思考解决问题的？由例4我们知道了三角形的中位线的性质，是什么？
什么是两条平行线间的距离？我们还学过点与点之间的距离，点到直线的距离，它们有何联系与区别？
【课堂练习】1.教材P90练习第1，2，3题。2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别为BO、DO的中点。
求证：AF∥CE(请你用两种方法证明)
【要点归纳】
今天你有哪些收获？与同伴交流一下。
【拓展训练】
1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）．
（A）AB∥CD，AD=BC
（B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC
（D）AB=AD，CB=CD
2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，
找出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
4.如图，已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平方线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，
求证：MN∥BC
第五课时
19.1.3
平行四边形的判定——三角形的中位线
【学习目标】1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
【导学指导】
复习旧知：
1平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
探究：
1（教材P98例4）
如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC。（要求学生尽可能用最多的方法解题）
．
2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20
m，那么A、B两点的距离是
m，理由是
．
2．已知：三角形的各边分别为8cm
、10cm和12cm
，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB=
cm；若BC=9cm，则DE=
cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
【要点归纳】今天你有哪些收获？与同伴交流一下。
课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是
cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是
cm．
3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
课题
19.2
特殊的平行四边形
第一课时
19.2.1
矩形的性质
【学习目标】1.掌握矩形的性质定理及推论。
2.能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。
【重点难点】重点：掌握矩形的性质定理。
难点：利用矩形的性质进行证明和计算。
【导学指导】
阅读教材P94-P96相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是矩形？
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它有没有？平行四边形的边有什么性质？角呢？对角线呢？那么它特殊在什么地方？所以它有什么性质？如何记住它呢？
矩形的一条对角线把它分成了两个什么三角形？由矩形的性质，你可以得到这个三角形的什么性质？
探究：
1已知：如图
，矩形
ABCD，AB长8
cm
，对角线比AD边长4
cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．
求证：CE＝EF．
【课堂练习】
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是
，二是
．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为
、
、
、
．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为
cm，
cm，
cm，
cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（
）．
（A）矩形的对角线互相平分
（B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形
（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（
）．
（A）2对
（B）4对
（C）6对
（D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
【要点归纳】今天你有什么收获？与同伴交流一下。
课后练习
1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（
）．
(A)12cm
(B)10cm
(C)7.5cm
(D)5cm
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
3.已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．
4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求∠CB
第二课时
矩形的判定
【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法。2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。
【重点难点】
重点：矩形的判定定理及推论。
难点：定理的证明方法及运用。
【导学指导】
复习旧知：
什么是平行四边形？什么是矩形？
矩形有哪些性质？你能猜想如何判定矩形吗？
学习新知：
阅读教材P95-P96相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题:
利用矩形的定义可以判定一个平行四边形是矩形，由此你发现什么？
还有哪些方法可以证明一个四边形是矩形？如何证明？试一试。
．
3.已知
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4
cm，求这个平行四边形的面积．
六、随堂练习1.教材P96练习第1，2题。
2.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
有一个角是直角的四边形是矩形。
有四个角是直角的四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等的四边形是矩形。
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形。
一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。
3．（选择）下列说法正确的是（
）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形
（D）对角互补的平行四边形是矩形
4．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得
DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
【要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下。
【拓展训练】
已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H。
求证：四边形EFGH是矩形。
第三课时
19.2.2
菱形的性质
【学习目标】1.理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质。2.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题。3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积。
【重点难点】
重点：菱形的性质和应用。
难点：菱形性质的探究。
【导学指导】
阅读教材P97-P98相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是菱形？它与平行四边形有何异同？
菱形是不是轴对称图形？如果是它有几条对称轴？
由菱形是轴对称图形你可以得到菱形具有哪些平行四边形不具有的特殊性质呢？它的边、对角线之间有什么关系？你能证明上述结论吗？
4.通过例2，你发现菱形除了用平行四边形计算面积的方法外，还可以用什么方法来计算吗？
探究：已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
【课堂练习】
教材P98练习第1，2题。
菱形和矩形都一定具有的性质是
（
）
A．对角线相等
B.角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.每条对角线平分一组对角
3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
．
4．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm
，求菱形的周长和面积．
5．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
【要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下。
【拓展训练】
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为
8cm，求菱形的高．
2.
如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
第四课时
菱形的判定
【学习目标】1.能说出菱形的两个判定定理，并会用判定方法进行相关的论证和计算。
2.了解菱形的现实应用和常用判别条件。
【重点难点】重点：菱形的判定方法。
难点：探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算。
【导学指导】
复习旧知：
菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质？
怎样判定一个四边形是矩形？
学习新知：
学习教材P99相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
想一想我们以前学的，首先，可以用什么来判定一个四边形是菱形？
受矩形判定方法的启发，你对菱形的判定方法有什么猜想？你能证明你的猜想吗？试试看。
3（教材P109的例3）
4.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
随堂练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是
；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线
的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下
课后练习1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是
（
）．
（A）两条对角线相等
（B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直
（D）两条对角线互相垂直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
3．做一做：设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15
cm，宽为4
cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．
第五课时
19.2.3
正方形
【学习目标】1.了解正方形的有关概念。
2.理解并掌握正方形的性质、判定方法。
【重点难点】
重点：探索正方形的性质与判定。
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法。
【导学指导】复习旧知:
矩形有哪些性质？如何判定？
菱形有哪些性质？如何判定？
矩形、菱形、平行四边形之间有什么关系？请用框图表示出来。
学习新知：
学习教材P100-P101思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是正方形？它与矩形、菱形有什么关系？
2正方形有哪些性质？（提示：从边、角、对角线方面总结？）它有没有矩形、菱形不具有的特殊性质？是什么？怎样判定一个四边形是正方形呢？并与同伴交流一下。
4.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
（
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO）
随堂练习1．正方形的四条边____
__，四个角___
____，两条对角线____
____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（
）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（
）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（
）④四条边都相等的四边形是正方形；（
）⑤四个角相等的四边形是正方形．（
）
3已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下。
课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
4
把边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则图中阴影部分的面积是（
）
A．1/2
B.√3/3
C.1-
√3/3
D.1-√3/4
课题
19.3
梯形
课时：二课时
第一课时
等腰梯形的性质
【学习目标】1.知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等。
2.会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算。
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
【重点难点】
重点：探索梯形的有关概念、性质及其应用。
难点：探索等腰梯形的性质。
【导学指导】
学习教材P106-P107相关内容思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
1.什么是梯形？什么是梯形的上底？什么是梯形的下底？什么是梯形是高？什么是梯形的腰？
2什么是等腰梯形？什么是直角梯形？
3.等腰梯形有哪些性质？教材上是如何发现的？你能证明它吗？
4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
．
5.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，
BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．
另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．
【课堂练习】1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=
．
（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是
和
．
（3）等腰梯形
ABCD中，AB∥DC，A
C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=
．
2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．
（AD=DC=BC=4，AB=8）
3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．
【要点归纳】
本节课你有哪些收获，与同伴交流一下。
课后练习
1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为
，最小角为
．
2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．
3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，，．
求证：AD=AB—DC．
4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）
5
如图：已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数。
第二课时
等腰梯形的判定
【学习目标】1.掌握同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形这个判定方法，以及这个判定方法的证明。
2.能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想。
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
【重点难点】重点：梯形的判别条件。
难点：解决梯形问题的基本方法。
【导学指导】复习旧知：
什么是梯形？梯形一般分为哪几类？
等腰梯形有哪些性质？（提示：从边、角、对角线等方面整理）
学习新知：
学习教材P108相关内容，思考讨论、合作交流后完成下列问题：
1证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．
2已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．（先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形）
课堂练习1．下列说法中正确的是（
）．
（A）等腰梯形两底角相等
（B）等腰梯形的一组对边相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度
（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．
3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．
4．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
【要点归纳】今天你有什么收获，与同伴交流一下。
课后练习
1．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．
2．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求证：CE=（AB+CD）．
3.
如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从A点开始沿AD边向
点D以1cm/s的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向
点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间t秒，求t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？
课题
19.4
课题学习
重心
课时：一课时
【学习目标】
通过寻找常见的几何图形重心的数学活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解规则几何图形的重心就是它的几何中心。
【重点难点】
重点：通过课题的学习，培养探究能力和创新意识。
难点：实验活动的规范操作，以及寻找三角形的重心。
【导学指导】
学习操作教材P112P114相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是物体的重心？
“均匀”的木条的重心在哪？为什么？由此我们得到线段的重心就是
。
“均匀”的正方形的重心在哪？“均匀”的矩形，菱形，一般的平行四边形呢？为什么？由此我们得到平行四边形的重心就是
。
根据上面的实验，我们要找一块质地“均匀”的三角形的重心，也就是要找具有什么特征的点？所以应该怎么办？由此我们得到三角形的重心就是
。
由上面的操作实验，我们如何找到任意一个多边形的重心在什么位置？
【课堂练习】
1.圆的重心是
。
2.请用尺规作图法作出△ABC的重心。
【要点归纳】
通过这个课题的学习活动，你得出哪些主要结论？在得到这些结论的过程中，你有哪些体会？
【拓展训练】
如图所示是一个矩形缺损一个角（也是矩形）的平面图形，请画出一条直线将该图形的面积分成相等的两部分，并简要说明理由。
本章小结
一、画出本章知识结构图。
二、本章相关知识。
（一）平行四边形的定义、性质和判定：
（二）特殊平行四边形的定义、性质和判定：
1.矩形
2.菱形
3.正方形
（三）梯形的定义、性质与判定：
1.一般梯形
2.直角梯形
3.等腰梯形
（四）三角形的中位线定理。
（五）本章中解决问题时常用的辅助线的做法。
A
B
C
D
E
E
D
C
B
C
F
D
四边形
课题
19.1
平行四边形
课时：四课时
第一课时
19.1.1平行四边形的性质
【学习目标】1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
【重点难点】
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法（即为什么要添加对角线）
【导学指导】
现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物，铺满地砖的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影。在小学，我们已经学过一些特殊的四边形，如长方形、正方形、平行四边形和梯形等，这些特殊的四边形与我们的生活关系更为密切。在章前图中，你能找出它们吗？在本章，我们将进一步认识这些特殊的四边形，分析它们的联系与区别，探索并证明它们的性质及判定方法，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
学习新知:阅读教材P83-P84内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
1.什么叫做平行四边形？如何表示一个平行四边形？用几何语言如何叙述？
2.四边形与平行四边形有怎样的从属关系？你能举出生活中的平行四边形的例子吗？
3.平行四边形有什么性质？你能证明吗？
4如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
【课堂练习】1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=，则∠B=
度，∠C=
度，∠D=
度．
（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=
度，∠B=
度，∠C=
度，∠D=
度．
（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=
cm，BC=
cm，CD=
cm，CD=
cm．
2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
课后练习
1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（
）．
（A）对角相等
（B）对角互补
（C）邻角互补
（D）内角和是
2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（
）．
（A）4个
（B）5个
（C）8个
（D）9个
3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
【要点归纳】
通过学习，本节课你学到了哪些知识？与同伴交流一下。
【拓展训练】.
已知任意三点A、B、C，是否存在点D，使A、B、C、D围成一个平行四边形？如果存在，请你作出平行四边形；如果不存在请说明理由。
第二课时
平行四边形的性质（2）
【学习目标】1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。
2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算。
【重点难点】
重点：平行四边形的对角线互相平分
难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达。
【导学指导】复习旧知：
平行四边形是如何定义的？生活中有什么物体是平行四边形形状的？
前面我们学行四边形的哪些性质？
我们是如何证明平行四边形的这些性质的？
学习新知：
自主学习教材P85-P86内容，思考，讨论，合作交流后完成下列问题。
1.如下图所示，平行四边形ABCD的对角线有什么特征？请用文字语言叙述并用数学符号表示出来。
2.你能证明你叙述的对角线的特征吗？
3.你发现了吗？平行四边形的问题都是如何解决的？
【课堂练习】
教材P86练习第1，2题。
已知平行四边形ABCD的周长是48cm，AB比BC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？
在平行四边形ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C的度数。
平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△COB的周长大8cm，则AB=
，BC=
。
【要点归纳】1.完成下列表格:
平行四边形的图形
平行四边形的边
平行四边形的角
平行四边形的对角线
2.解决平行四边形问题的常用辅助线是什么？
3.你还有哪些收获？
课后练习1．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．
（
）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．
（
）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．
（
）
（4）平行四边形是轴对称图形．
（
）
2．在
ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__
______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是
．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
第三课时
19.1.2
平行四边形的判定（1）
【学习目标】1.运用类比的方法，得出平行四边形的两个判定方法。
2.会运用这两个判定方法解决简单的问题。
【重点难点】
重点：平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合应用。
难点：对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合应用。
【导学指导】复习旧知：
平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
平行四边形还有哪些性质？
你能说出上述三条性质的逆命题吗？把它们有文字表达出来。
学习新知：
自主学习教材P86-P87相关内容，思考、讨论合作交流完成下列问题：
1.平行四边形的三条性质的逆命题是真命题吗？如何证明的？
2.现在你有多少种判定平行四边形的方法了？它们分别是从四边形的哪些方面去考虑的？
课堂练习。在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___
_cm，CD=___
_cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cmBD=8cm那么当AO=__
_cm，DO=__
_cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___
__．
（6个）
②第8个图形中平行四边形的个数为___
__．
（20个）
讨论
1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（
）．
（A）对角线互相垂直
（B）对角线相等
（C）对角线互相垂直且相等
（D）对角线互相平分
2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，
求证：BE=CF
【要点归纳】
本节课你有哪些收获？
【拓展训练】1.如图，已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点。
求证：四边形AMCN是平行四边形。
2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
第四课时
19.1.2
平行四边形的判定（2）
【学习目标】1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。
2.理解和领会三角形三角形中位线定理及其应用。
3.会综合应用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题。
【重点难点】
重点：1.平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法；2.理解并应用三角形中位线定理。
难点：1.平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。
2.理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法。
【导学指导】
复习旧知：
平行四边形的定义是什么？
平行四边形具有哪些性质？
平行四边形是如何判定的？
学习新知：
阅读教材P88-P90相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题:
今天又有了一种判定平行四边形的方法，是什么？如何证明？
你看得懂例4吗？它是如何思考解决问题的？由例4我们知道了三角形的中位线的性质，是什么？
什么是两条平行线间的距离？我们还学过点与点之间的距离，点到直线的距离，它们有何联系与区别？
【课堂练习】1.教材P90练习第1，2，3题。2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别为BO、DO的中点。
求证：AF∥CE(请你用两种方法证明)
【要点归纳】
今天你有哪些收获？与同伴交流一下。
【拓展训练】
1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）．
（A）AB∥CD，AD=BC
（B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC
（D）AB=AD，CB=CD
2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，
找出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
4.如图，已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平方线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，
求证：MN∥BC
第五课时
19.1.3
平行四边形的判定——三角形的中位线
【学习目标】1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
【导学指导】
复习旧知：
1平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
探究：
1（教材P98例4）
如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC。（要求学生尽可能用最多的方法解题）
．
2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20
m，那么A、B两点的距离是
m，理由是
．
2．已知：三角形的各边分别为8cm
、10cm和12cm
，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB=
cm；若BC=9cm，则DE=
cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
【要点归纳】今天你有哪些收获？与同伴交流一下。
课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是
cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是
cm．
3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
课题
19.2
特殊的平行四边形
第一课时
19.2.1
矩形的性质
【学习目标】1.掌握矩形的性质定理及推论。
2.能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。
【重点难点】重点：掌握矩形的性质定理。
难点：利用矩形的性质进行证明和计算。
【导学指导】
阅读教材P94-P96相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是矩形？
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它有没有？平行四边形的边有什么性质？角呢？对角线呢？那么它特殊在什么地方？所以它有什么性质？如何记住它呢？
矩形的一条对角线把它分成了两个什么三角形？由矩形的性质，你可以得到这个三角形的什么性质？
探究：
1已知：如图
，矩形
ABCD，AB长8
cm
，对角线比AD边长4
cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．
求证：CE＝EF．
【课堂练习】
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是
，二是
．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为
、
、
、
．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为
cm，
cm，
cm，
cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（
）．
（A）矩形的对角线互相平分
（B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形
（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（
）．
（A）2对
（B）4对
（C）6对
（D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
【要点归纳】今天你有什么收获？与同伴交流一下。
课后练习
1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（
）．
(A)12cm
(B)10cm
(C)7.5cm
(D)5cm
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
3.已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．
4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求∠CB
第二课时
矩形的判定
【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法。2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。
【重点难点】
重点：矩形的判定定理及推论。
难点：定理的证明方法及运用。
【导学指导】
复习旧知：
什么是平行四边形？什么是矩形？
矩形有哪些性质？你能猜想如何判定矩形吗？
学习新知：
阅读教材P95-P96相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题:
利用矩形的定义可以判定一个平行四边形是矩形，由此你发现什么？
还有哪些方法可以证明一个四边形是矩形？如何证明？试一试。
．
3.已知
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4
cm，求这个平行四边形的面积．
六、随堂练习1.教材P96练习第1，2题。
2.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
有一个角是直角的四边形是矩形。
有四个角是直角的四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等的四边形是矩形。
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形。
一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。
3．（选择）下列说法正确的是（
）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形
（D）对角互补的平行四边形是矩形
4．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得
DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
【要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下。
【拓展训练】
已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H。
求证：四边形EFGH是矩形。
第三课时
19.2.2
菱形的性质
【学习目标】1.理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质。2.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题。3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积。
【重点难点】
重点：菱形的性质和应用。
难点：菱形性质的探究。
【导学指导】
阅读教材P97-P98相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是菱形？它与平行四边形有何异同？
菱形是不是轴对称图形？如果是它有几条对称轴？
由菱形是轴对称图形你可以得到菱形具有哪些平行四边形不具有的特殊性质呢？它的边、对角线之间有什么关系？你能证明上述结论吗？
4.通过例2，你发现菱形除了用平行四边形计算面积的方法外，还可以用什么方法来计算吗？
探究：已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
【课堂练习】
教材P98练习第1，2题。
菱形和矩形都一定具有的性质是
（
）
A．对角线相等
B.角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.每条对角线平分一组对角
3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
．
4．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm
，求菱形的周长和面积．
5．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
【要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下。
【拓展训练】
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为
8cm，求菱形的高．
2.
如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
第四课时
菱形的判定
【学习目标】1.能说出菱形的两个判定定理，并会用判定方法进行相关的论证和计算。
2.了解菱形的现实应用和常用判别条件。
【重点难点】重点：菱形的判定方法。
难点：探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算。
【导学指导】
复习旧知：
菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质？
怎样判定一个四边形是矩形？
学习新知：
学习教材P99相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
想一想我们以前学的，首先，可以用什么来判定一个四边形是菱形？
受矩形判定方法的启发，你对菱形的判定方法有什么猜想？你能证明你的猜想吗？试试看。
3（教材P109的例3）
4.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
随堂练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是
；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线
的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下
课后练习1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是
（
）．
（A）两条对角线相等
（B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直
（D）两条对角线互相垂直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
3．做一做：设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15
cm，宽为4
cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．
第五课时
19.2.3
正方形
【学习目标】1.了解正方形的有关概念。
2.理解并掌握正方形的性质、判定方法。
【重点难点】
重点：探索正方形的性质与判定。
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法。
【导学指导】复习旧知:
矩形有哪些性质？如何判定？
菱形有哪些性质？如何判定？
矩形、菱形、平行四边形之间有什么关系？请用框图表示出来。
学习新知：
学习教材P100-P101思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是正方形？它与矩形、菱形有什么关系？
2正方形有哪些性质？（提示：从边、角、对角线方面总结？）它有没有矩形、菱形不具有的特殊性质？是什么？怎样判定一个四边形是正方形呢？并与同伴交流一下。
4.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
（
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO）
随堂练习1．正方形的四条边____
__，四个角___
____，两条对角线____
____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（
）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（
）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（
）④四条边都相等的四边形是正方形；（
）⑤四个角相等的四边形是正方形．（
）
3已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
要点归纳】
今天你有什么收获，与同伴交流一下。
课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
4
把边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则图中阴影部分的面积是（
）
A．1/2
B.√3/3
C.1-
√3/3
D.1-√3/4
课题
19.3
梯形
课时：二课时
第一课时
等腰梯形的性质
【学习目标】1.知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等。
2.会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算。
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
【重点难点】
重点：探索梯形的有关概念、性质及其应用。
难点：探索等腰梯形的性质。
【导学指导】
学习教材P106-P107相关内容思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
1.什么是梯形？什么是梯形的上底？什么是梯形的下底？什么是梯形是高？什么是梯形的腰？
2什么是等腰梯形？什么是直角梯形？
3.等腰梯形有哪些性质？教材上是如何发现的？你能证明它吗？
4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
．
5.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，
BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．
另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．
【课堂练习】1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=
．
（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是
和
．
（3）等腰梯形
ABCD中，AB∥DC，A
C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=
．
2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．
（AD=DC=BC=4，AB=8）
3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．
【要点归纳】
本节课你有哪些收获，与同伴交流一下。
课后练习
1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为
，最小角为
．
2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．
3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，，．
求证：AD=AB—DC．
4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）
5
如图：已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数。
第二课时
等腰梯形的判定
【学习目标】1.掌握同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形这个判定方法，以及这个判定方法的证明。
2.能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想。
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
【重点难点】重点：梯形的判别条件。
难点：解决梯形问题的基本方法。
【导学指导】复习旧知：
什么是梯形？梯形一般分为哪几类？
等腰梯形有哪些性质？（提示：从边、角、对角线等方面整理）
学习新知：
学习教材P108相关内容，思考讨论、合作交流后完成下列问题：
1证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．
2已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．（先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形）
课堂练习1．下列说法中正确的是（
）．
（A）等腰梯形两底角相等
（B）等腰梯形的一组对边相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度
（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．
3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．
4．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
【要点归纳】今天你有什么收获，与同伴交流一下。
课后练习
1．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．
2．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求证：CE=（AB+CD）．
3.
如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从A点开始沿AD边向
点D以1cm/s的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向
点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间t秒，求t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？
课题
19.4
课题学习
重心
课时：一课时
【学习目标】
通过寻找常见的几何图形重心的数学活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解规则几何图形的重心就是它的几何中心。
【重点难点】
重点：通过课题的学习，培养探究能力和创新意识。
难点：实验活动的规范操作，以及寻找三角形的重心。
【导学指导】
学习操作教材P112P114相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：
什么是物体的重心？
“均匀”的木条的重心在哪？为什么？由此我们得到线段的重心就是
。
“均匀”的正方形的重心在哪？“均匀”的矩形，菱形，一般的平行四边形呢？为什么？由此我们得到平行四边形的重心就是
。
根据上面的实验，我们要找一块质地“均匀”的三角形的重心，也就是要找具有什么特征的点？所以应该怎么办？由此我们得到三角形的重心就是
。
由上面的操作实验，我们如何找到任意一个多边形的重心在什么位置？
【课堂练习】
1.圆的重心是
。
2.请用尺规作图法作出△ABC的重心。
【要点归纳】
通过这个课题的学习活动，你得出哪些主要结论？在得到这些结论的过程中，你有哪些体会？
【拓展训练】
如图所示是一个矩形缺损一个角（也是矩形）的平面图形，请画出一条直线将该图形的面积分成相等的两部分，并简要说明理由。
本章小结
一、画出本章知识结构图。
二、本章相关知识。
（一）平行四边形的定义、性质和判定：
（二）特殊平行四边形的定义、性质和判定：
1.矩形
2.菱形
3.正方形
（三）梯形的定义、性质与判定：
1.一般梯形
2.直角梯形
3.等腰梯形
（四）三角形的中位线定理。
（五）本章中解决问题时常用的辅助线的做法。
A
B
C
D
E
E
D
C
B
C
F
D