18.2.1 矩形（带解析）
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18.2.1 矩形（带解析）
一、选择题
1.已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
2.下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
3.平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）www.21-cn-jy.com
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
图1 图2 图3
4.如图1，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（ ）2·1·c·n·j·y
A．3 B．5 C． D．
5.如图2所示，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，若AB=3，BC=5，则四边形DFEC的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．3 B．4 C．6 D．12
6.矩形ABCD中，E在AD上，AE=ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则BF：FC=（ ）（BF＜FC）2-1-c-n-j-y
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．2：9
7.用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（ ） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2． ④量出两条对角线长，看是否相等．【来源：21cnj*y.co*m】
A．一种 B．二种 C．三种 D．四种
二、填空题
8.如图3，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=??? ．21世纪教育网版权所有
图4 图5 图6
9.如图4，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为??? ．21教育网
10.如图5，P为矩形ABCD对角线BD上一点，过P作矩形两边的平行线，则图中阴影部分的面积S1??? S2（填“＞”“＜”“=”）21cnjy.com
11.如图6，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F ①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：??? ； ②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：??? ．
三、解答题
12.已知：如图，矩形ABCD． （1）作出点C关于BD所在直线的对称点C’（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接C’B、C’D，若△C’BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的，求∠CBD的度数．21*cnjy*com
13.如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形． （1）求证四边形ADEF是平行四边形； （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？ （3）这样的平行四边形ADEF是否总是存在？21·世纪*教育网
14.已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）在四边形ABCD中，求的值．【出处：21教育名师】
15.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN． （1）延长MP交CN于点E（如图2）． ①求证：△BPM≌△CPE； ②求证：PM=PN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．【版权所有：21教育】
参考答案及解析
1.B 【解析】如图 依题意四边形ABCD，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 根据矩形的判定（矩形的对角线相等且相互平分）可得四边形EFGH是矩形． 2.D 【解析】A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°， ∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°， ∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°， ∴∠ODC=∠OCD=67.5°， ∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， ∴∠COD=45°， ∴OE=DE， ∵OE2+DE2=OD2， ∴（2DE）2=OD2=25， ∴DE=， 5.A 【解析】如图连接DE， ∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED， ∵DF⊥AE，∴∠EDF+∠AED=90°， ∵∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠FDE=∠CDE，又DE=DE，∠DFE=∠C=90°，
则BF：FC=：=1：5． 7.B 【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形； ②根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形． ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平分才是矩形； 8.3：2 【解析】21·cn·jy·com
过点H，F作HM⊥BC，FN⊥BC， 由EF⊥GH，∠GHM+∠HON=∠EFN+∠FOG=90°， 又∵∠HON=∠FOG（对顶角相等），
∴GD=，FD=， ∵∠BAE+∠AEB=90°=∠FEC+∠AEB， ∴∠BAE=∠FEC， ∵∠B=∠C=90°，AE=EF， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AB=CE，CF=BE，
在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB， ∴S△ABD=S△CDB， 同理S△DEP=S△PHD，S△PGB=S△PBF， ∴S1=S2． 11.∠BAC=90°，AD平分∠BAC 【解析】∵DE∥AB，DF∥AC，AF、AE分别在AB、AC上 ∴DE∥AF，DF∥AE ∴四边形AEDF是平行四边形 ①∵∠BAC=90° ∴四边形AEDF是矩形； ②∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF ∴∠ADE=∠DAE ∴∠DBC=∠EDB， ∴∠EDB=∠EBD ∴BE=ED． ∴在直角△ABE中，BE=2AE． ∴∠ABE=30°． ∴∠CBD=∠CBC'=30°． 13.（1）见解析 （2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形 （3）即D，A，F三点在同一直线上时，不存在这样的平行四边形ADEF
【解析】（1）证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形， ∴AB=BD=AD，∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°，
又AB=AC， ∴AD=AF． 又∵四边形ADEF为平行四边形， ∴平行四边形ADEF是菱形． 当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形． 理由如下： ∵∠BAD=∠CAF=60°，∠BAC=150°，∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°， ∠DAF=90度． 又∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形平行四边形ADEF是矩形． （3）解：当∠BAC=60°时，不存在这样的平行四边形ADEF．理由如下： ∵当∠BAC=60°时， 21教育名师原创作品
∴DE=BE， ∴EO⊥BD， ∴∠DOE=90°， 即∠DAE=90°， 又四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：∵四边形DEBF是菱形， ∴∠FDB=∠EDB， 又由题意知∠EDB=∠EDA， 由（1）知四边形ABCD是矩形， ∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°， 则∠ADB=60°， ∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：， 又BC=AD，
又∵P为BC边中点， ∴BP=CP， 又∵∠BPM=∠CPE， ∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE， ∴PM=PE∴PM=ME， ∴在Rt△MNE中，PN=ME， ∴PM=PN． （2）21*cnjy*com
成立，如图3． 证明：延长MP与NC的延长线相交于点E， ∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
（3）
解：如图4， 四边形M′BCN′是矩形， 根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP， 得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．
一、选择题
1.已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
2.下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
3.平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）www.21-cn-jy.com
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
图1 图2 图3
4.如图1，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（ ）2·1·c·n·j·y
A．3 B．5 C． D．
5.如图2所示，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，若AB=3，BC=5，则四边形DFEC的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．3 B．4 C．6 D．12
6.矩形ABCD中，E在AD上，AE=ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则BF：FC=（ ）（BF＜FC）2-1-c-n-j-y
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．2：9
7.用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（ ） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2． ④量出两条对角线长，看是否相等．【来源：21cnj*y.co*m】
A．一种 B．二种 C．三种 D．四种
二、填空题
8.如图3，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=??? ．21世纪教育网版权所有
图4 图5 图6
9.如图4，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为??? ．21教育网
10.如图5，P为矩形ABCD对角线BD上一点，过P作矩形两边的平行线，则图中阴影部分的面积S1??? S2（填“＞”“＜”“=”）21cnjy.com
11.如图6，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F ①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：??? ； ②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：??? ．
三、解答题
12.已知：如图，矩形ABCD． （1）作出点C关于BD所在直线的对称点C’（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接C’B、C’D，若△C’BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的，求∠CBD的度数．21*cnjy*com
13.如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形． （1）求证四边形ADEF是平行四边形； （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？ （3）这样的平行四边形ADEF是否总是存在？21·世纪*教育网
14.已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）在四边形ABCD中，求的值．【出处：21教育名师】
15.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN． （1）延长MP交CN于点E（如图2）． ①求证：△BPM≌△CPE； ②求证：PM=PN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．【版权所有：21教育】
参考答案及解析
1.B 【解析】如图 依题意四边形ABCD，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 根据矩形的判定（矩形的对角线相等且相互平分）可得四边形EFGH是矩形． 2.D 【解析】A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°， ∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°， ∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°， ∴∠ODC=∠OCD=67.5°， ∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， ∴∠COD=45°， ∴OE=DE， ∵OE2+DE2=OD2， ∴（2DE）2=OD2=25， ∴DE=， 5.A 【解析】如图连接DE， ∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED， ∵DF⊥AE，∴∠EDF+∠AED=90°， ∵∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠FDE=∠CDE，又DE=DE，∠DFE=∠C=90°，
则BF：FC=：=1：5． 7.B 【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形； ②根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形． ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平分才是矩形； 8.3：2 【解析】21·cn·jy·com
过点H，F作HM⊥BC，FN⊥BC， 由EF⊥GH，∠GHM+∠HON=∠EFN+∠FOG=90°， 又∵∠HON=∠FOG（对顶角相等），
∴GD=，FD=， ∵∠BAE+∠AEB=90°=∠FEC+∠AEB， ∴∠BAE=∠FEC， ∵∠B=∠C=90°，AE=EF， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AB=CE，CF=BE，
在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB， ∴S△ABD=S△CDB， 同理S△DEP=S△PHD，S△PGB=S△PBF， ∴S1=S2． 11.∠BAC=90°，AD平分∠BAC 【解析】∵DE∥AB，DF∥AC，AF、AE分别在AB、AC上 ∴DE∥AF，DF∥AE ∴四边形AEDF是平行四边形 ①∵∠BAC=90° ∴四边形AEDF是矩形； ②∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF ∴∠ADE=∠DAE ∴∠DBC=∠EDB， ∴∠EDB=∠EBD ∴BE=ED． ∴在直角△ABE中，BE=2AE． ∴∠ABE=30°． ∴∠CBD=∠CBC'=30°． 13.（1）见解析 （2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形 （3）即D，A，F三点在同一直线上时，不存在这样的平行四边形ADEF
【解析】（1）证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形， ∴AB=BD=AD，∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°，
又AB=AC， ∴AD=AF． 又∵四边形ADEF为平行四边形， ∴平行四边形ADEF是菱形． 当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形． 理由如下： ∵∠BAD=∠CAF=60°，∠BAC=150°，∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°， ∠DAF=90度． 又∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形平行四边形ADEF是矩形． （3）解：当∠BAC=60°时，不存在这样的平行四边形ADEF．理由如下： ∵当∠BAC=60°时， 21教育名师原创作品
∴DE=BE， ∴EO⊥BD， ∴∠DOE=90°， 即∠DAE=90°， 又四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：∵四边形DEBF是菱形， ∴∠FDB=∠EDB， 又由题意知∠EDB=∠EDA， 由（1）知四边形ABCD是矩形， ∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°， 则∠ADB=60°， ∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：， 又BC=AD，
又∵P为BC边中点， ∴BP=CP， 又∵∠BPM=∠CPE， ∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE， ∴PM=PE∴PM=ME， ∴在Rt△MNE中，PN=ME， ∴PM=PN． （2）21*cnjy*com
成立，如图3． 证明：延长MP与NC的延长线相交于点E， ∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
（3）
解：如图4， 四边形M′BCN′是矩形， 根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP， 得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．