18.2.2 菱形（带解析）
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18.2.2 菱形（带解析）
一、选择题
1.菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（ ）【版权所有：21教育】
A．AD=BC B．BD⊥DE C．四边形ACED是菱形 D．四边形ABCD的面积为4
图1 图2 图3 图4
3.如图1，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm； ②EB=1cm； ③S菱形ABCD=15cm221世纪教育网版权所有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4.如图2，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B． C．6 D．2
5.如图3所示，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB=9，CE=4，AE=8，则DF等于（ ）21教育名师原创作品
A．4 B．8 C．6 D．9
6.如图4，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A．DE是△ABC的中位线 B．AA′是BC边上的中线 C．AA′是BC边上的高 D．AA′是△ABC的角平分线
图5 图6 图7
7.如图5，将两根宽度都为1的纸条叠放在一起，如果∠DAB=45°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
8.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为??? cm2．
9.在?ABCD中，若添加一个条件??? ，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件??? ，则四边形ABCD是菱形．【出处：21教育名师】
10.如图6所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于??? cm2．21*cnjy*com
11.如图7，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是?? ? ．2·1·c·n·j·y
三、解答题
12.已知：如图a，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．
图a 图b
（1）求证：△ABE≌△ADF； （2）如图b。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．21cnjy.com
13.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
14.如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA． （1）求△ABC所扫过的图形的面积； （2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求AC的长．21·cn·jy·com
15.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B； （2）若∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．21教育网
参考答案及解析
1.C 【解析】A、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误； B、菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误； C、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；【来源：21·世纪·教育·网】
D、菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误；
2、D
【解析】∵△ABC沿射线BC向右平移到△DCE， ∴AD=BC，AD∥BC，故选项A正确；
∴DE=CE， ∴四边形ACED为菱形，选项C正确； 过A作AF⊥BC，如图所示： ∵△ABC为边长为2的等边三角形， ∴BF=CF=BC=1， 在Rt△ABF中，AB=2，BF=1， 根据勾股定理得：AF==， 则S菱形ABCD=BC?AF=2，选项D错误， 【解析】连接BD交AC于O， 如图：∵四边形ABCD是菱形， ∴B与D关于直线AC对称， ∴连接DM交AC于P， 则点P即为所求， BP+PM=PD+PM=DM， 即DM就是PM+PB的最小值（根据的是两点之间线段最短）， ∵∠DAB=60°， ∴AD=AB=BD， ∵M是AB的中点， ∴DM⊥AB， ∵PM+PB=3， ∴DM=3， ∴AB=AD===2． 5.C 【解析】∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠AED． 又AE是∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠AED， 7.C 【解析】根据折叠的性质可知∠DAB=45°，AD=， 故其面积为××=． 8.96 【解析】因为周长是40cm，所以边长是10cm． 如图所示21·世纪*教育网
AB=10cm，AC=16cm． 根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8cm， ∴BO=6cm，BD=12cm． ∴面积S=×16×12=96（cm2）．www-2-1-cnjy-com
10、18 【解析】
∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADF=60°， ∵纸条等宽， ∴AE=AF， ∵∠AEB=∠AFD，∠ABC=∠ADF=60° ∴△ABE≌△ADF， ∴AB=AD， ∵AD=BC ∴AB=BC， ∴该四边形是菱形， ∴BE=3cm， AE=3cm． ∴四边形ABCD的面积=6×3=18cm2，2-1-c-n-j-y
11.菱形 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， 又∵AE∥CG， ∴∠EAH+∠AHC=180°． ∴∠AHC=180°-∠EAH=180°-80°=100°． ∴∠AHC=100°． 21*cnjy*com
13.（1）见解析
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）， AE∥CF（矩形的对边平行）． ∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF． ∴△BOE≌△DOF（AAS）． （2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）． 又由（1）△BOE≌△DOF得， OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 14.（1）6 【来源：21cnj*y.co*m】
∴AF与BE互相垂直且平分． （3）过点B作BD⊥CA于点D， ∵AB=AE， ∴∠AEB=∠ABE=15°． ∴∠BAD=30°，BD=AB=AC． ∴BD?AC=3， ∴AC?AC=3． ∴AC2=12． ∴AC=2． 15.（1）见解析 （2）当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， △A′C′D′由△ACD平移得到， ∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴AB=AC． ∴AB=BC′． ∴四边形ABC′D′是菱形．
一、选择题
1.菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（ ）【版权所有：21教育】
A．AD=BC B．BD⊥DE C．四边形ACED是菱形 D．四边形ABCD的面积为4
图1 图2 图3 图4
3.如图1，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm； ②EB=1cm； ③S菱形ABCD=15cm221世纪教育网版权所有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4.如图2，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B． C．6 D．2
5.如图3所示，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB=9，CE=4，AE=8，则DF等于（ ）21教育名师原创作品
A．4 B．8 C．6 D．9
6.如图4，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A．DE是△ABC的中位线 B．AA′是BC边上的中线 C．AA′是BC边上的高 D．AA′是△ABC的角平分线
图5 图6 图7
7.如图5，将两根宽度都为1的纸条叠放在一起，如果∠DAB=45°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
8.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为??? cm2．
9.在?ABCD中，若添加一个条件??? ，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件??? ，则四边形ABCD是菱形．【出处：21教育名师】
10.如图6所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于??? cm2．21*cnjy*com
11.如图7，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是?? ? ．2·1·c·n·j·y
三、解答题
12.已知：如图a，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．
图a 图b
（1）求证：△ABE≌△ADF； （2）如图b。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．21cnjy.com
13.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
14.如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA． （1）求△ABC所扫过的图形的面积； （2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求AC的长．21·cn·jy·com
15.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B； （2）若∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．21教育网
参考答案及解析
1.C 【解析】A、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误； B、菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误； C、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；【来源：21·世纪·教育·网】
D、菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误；
2、D
【解析】∵△ABC沿射线BC向右平移到△DCE， ∴AD=BC，AD∥BC，故选项A正确；
∴DE=CE， ∴四边形ACED为菱形，选项C正确； 过A作AF⊥BC，如图所示： ∵△ABC为边长为2的等边三角形， ∴BF=CF=BC=1， 在Rt△ABF中，AB=2，BF=1， 根据勾股定理得：AF==， 则S菱形ABCD=BC?AF=2，选项D错误， 【解析】连接BD交AC于O， 如图：∵四边形ABCD是菱形， ∴B与D关于直线AC对称， ∴连接DM交AC于P， 则点P即为所求， BP+PM=PD+PM=DM， 即DM就是PM+PB的最小值（根据的是两点之间线段最短）， ∵∠DAB=60°， ∴AD=AB=BD， ∵M是AB的中点， ∴DM⊥AB， ∵PM+PB=3， ∴DM=3， ∴AB=AD===2． 5.C 【解析】∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠AED． 又AE是∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠AED， 7.C 【解析】根据折叠的性质可知∠DAB=45°，AD=， 故其面积为××=． 8.96 【解析】因为周长是40cm，所以边长是10cm． 如图所示21·世纪*教育网
AB=10cm，AC=16cm． 根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8cm， ∴BO=6cm，BD=12cm． ∴面积S=×16×12=96（cm2）．www-2-1-cnjy-com
10、18 【解析】
∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADF=60°， ∵纸条等宽， ∴AE=AF， ∵∠AEB=∠AFD，∠ABC=∠ADF=60° ∴△ABE≌△ADF， ∴AB=AD， ∵AD=BC ∴AB=BC， ∴该四边形是菱形， ∴BE=3cm， AE=3cm． ∴四边形ABCD的面积=6×3=18cm2，2-1-c-n-j-y
11.菱形 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， 又∵AE∥CG， ∴∠EAH+∠AHC=180°． ∴∠AHC=180°-∠EAH=180°-80°=100°． ∴∠AHC=100°． 21*cnjy*com
13.（1）见解析
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）， AE∥CF（矩形的对边平行）． ∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF． ∴△BOE≌△DOF（AAS）． （2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）． 又由（1）△BOE≌△DOF得， OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 14.（1）6 【来源：21cnj*y.co*m】
∴AF与BE互相垂直且平分． （3）过点B作BD⊥CA于点D， ∵AB=AE， ∴∠AEB=∠ABE=15°． ∴∠BAD=30°，BD=AB=AC． ∴BD?AC=3， ∴AC?AC=3． ∴AC2=12． ∴AC=2． 15.（1）见解析 （2）当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， △A′C′D′由△ACD平移得到， ∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴AB=AC． ∴AB=BC′． ∴四边形ABC′D′是菱形．