广东省揭阳市普宁一中2016-2017学年高二（下）开学数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 广东省揭阳市普宁一中2016-2017学年高二（下）开学数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 376.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-31 21:37:06 | ||
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文档简介
2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高二（下）开学数学试卷（文科）
一．选择题（每题5分，共60分）
1．a＜0且﹣1＜b＜0是a+ab＜0的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若命题p： x0∈[﹣3，3]，x02+2x0+1≤0，则对命题p的否定是（ ）
A． x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0
B． x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），x2+2x+1＞0
C．
D．
3．已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．﹣1+i
B．1﹣i
C．2+2i
D．1+i
4．已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（ ）
A．2
B．4
C．﹣2
D．﹣4
5．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
6．已知命题p： x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q： x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢p∧￢q
7．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为
4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2
B．
C．
D．2
9．为了了解某校高三400名学生的数学学业
( http: / / www.21cnjy.com )水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）
A．60%，60
B．60%，80
C．80%，80
D．80%，60
10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产
( http: / / www.21cnjy.com )品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
11．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，过抛物线y2=
( http: / / www.21cnjy.com )2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x
B．y2=9x
C．y2=x
D．y2=x
二．填空题（每题5分，共20分）
13．某单位有职工200名，现要从中抽
( http: / / www.21cnjy.com )取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．
14．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 ．
15．已知双曲线的一条渐近线方程是
y=x，则该双曲线的离心率等于 ．
16．已知椭圆+=1（a＞b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品数X的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）；
（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．
18．已知函数f（x）=ax的图象过点（1，），且点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an+1﹣an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜5．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B
( http: / / www.21cnjy.com )1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
20．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（
( http: / / www.21cnjy.com )与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
21．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=处的切线斜率为．
（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln
( http: / / www.21cnjy.com )（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．
选做题(请考生在第22、
( http: / / www.21cnjy.com )23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑)．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C
( http: / / www.21cnjy.com )1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交
( http: / / www.21cnjy.com )点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1
A2、B1B2的极坐标方程．
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高二（下）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题5分，共60分）
1．a＜0且﹣1＜b＜0是a+ab＜0的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由﹣1＜b＜0，知1+b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0，由a＜0，知a（1+b）=a+ab＜0．故a＜0且﹣1＜b＜0 a+ab＜0；a+ab=a（1+b）＜0 或，由此能求出结果．
【解答】解：∵﹣1＜b＜0，
∴1+b＞0，
∵a＜0，
∴a（1+b）=a+ab＜0．
∴a＜0且﹣1＜b＜0 a+ab＜0；
a+ab=a（1+b）＜0 或，
∴a＜0且﹣1＜b＜0是a+ab＜0的充分不必要条件．
故选C．
2．若命题p： x0∈[﹣3，3]，x02+2x0+1≤0，则对命题p的否定是（ ）
A． x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0
B． x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），x2+2x+1＞0
C．
D．
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题，
故命题的否定为： x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0，
故选：A．
3．已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．﹣1+i
B．1﹣i
C．2+2i
D．1+i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i
的幂运算性质，把式子化简到最简形式．
【解答】解：复数===﹣1+i，
故选
A．
4．已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（ ）
A．2
B．4
C．﹣2
D．﹣4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的准线方程求出p，即可．
【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值：4．
故选：B．
5．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
【考点】归纳推理．
【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左
( http: / / www.21cnjy.com )边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由每个不等式的
( http: / / www.21cnjy.com )不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；
故选C．
6．已知命题p： x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q： x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．
【解答】解：对于命题p：∵y=lnx与y=2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；
即 x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；
对于命题q：当x=3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；
∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；
综上，为真命题的是C．
故选：C．
7．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．
【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．
【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点
故∴
故选C．
8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为
4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2
B．
C．
D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，点（﹣2，﹣
( http: / / www.21cnjy.com )1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），
即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；
点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，
由双曲线的性质，可得b=1；
则c=，则焦距为2c=2
故选：D．
9．为了了解某校高三400名学生的数学
( http: / / www.21cnjy.com )学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）
A．60%，60
B．60%，80
C．80%，80
D．80%，60
【考点】频率分布直方图．
【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．
【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%
优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80
故选C．
10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产
( http: / / www.21cnjy.com )品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义和方法，可得=，由此求得n的值．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，
解得n=70，
故选：C．
11．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，
( http: / / www.21cnjy.com )试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P=，
故选A．
12．如图，过抛物线y2=2px（p＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x
B．y2=9x
C．y2=x
D．y2=x
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，即有（3﹣）（1﹣）=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6 x=1，
而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，
∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．
得y2=3x．
故选A．
二．填空题（每题5分，共20分）
13．某单位有职工200名，现要从中抽取
( http: / / www.21cnjy.com )40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 37 ．
【考点】系统抽样方法．
【分析】由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽
( http: / / www.21cnjy.com )出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．
【解答】解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，
所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，
第8组抽出的号码为37．
故答案为：37．
14．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 ．
【考点】几何概型．
【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．
【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x
矩形的面积S=x（12﹣x）＞20
∴x2﹣12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．
故答案为：．
15．已知双曲线的一条渐近线方程是
y=x，则该双曲线的离心率等于 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是
y=x，
可得=，可得e==．
故答案为．
16．已知椭圆+=1（a＞b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用xC×（﹣c）=，解得xC．根据，即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵S△ABC=3S，
∴|AF2|=2|F2C|．
A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），
化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），
可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，
∴xC×（﹣c）=，解得xC=．
∵，
∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．
化为：a2=5c2，
解得．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品数X的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）；
（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）从100件产品中任取2件的结果数为，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，能求出至少取到1件次品的概率．
【解答】（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为从100件产品中任取2件的结果数为，
从100件产品中任取2件其中恰有k件次品的结果数为，
所以从100件产品中任取2件，其中恰有k件次品的概率为．
P（X=0）=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，
可得至少取到1件次品的概率为：
P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=．
18．已知函数f（x）=ax的图象过点（1，），且点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an+1﹣an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜5．
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（1）由函数f（x）=ax的图象
( http: / / www.21cnjy.com )过点（1，），知a=，f（x）=（）x．由点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上，能求出an．
（2）由an=，bn=an+1﹣an，知bn=（2n+1） （）n，从而得到Sn=，由此利用错位相减法能够证明Sn＜5．
【解答】（本题12分）
解：（1）∵函数f（x）=ax的图象过点（1，），
∴a=，f（x）=（）x．
又点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上，
从而（）n﹣1=，
即an=．
（2）证明：由an=，bn=an+1﹣an，得bn=（2n+1） （）n，
Sn=，
则Sn=，
两式相减得：
Sn=+2（）﹣，
∴﹣，
∴Sn=5﹣，
∵，∴Sn＜5．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B
( http: / / www.21cnjy.com )1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）以BC中点O为坐标原点
( http: / / www.21cnjy.com )，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过 = =0及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．
则BC=AC=2，A1O==，
易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），
A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），
=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），
=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），
∵ =0，∴A1D⊥OA1，
又∵ =0，∴A1D⊥BC，
又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；
（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（，0，1），
设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（0，，1），
∴cos＜，＞===，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．
20．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的
( http: / / www.21cnjy.com )直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x0，y0），则
( http: / / www.21cnjy.com )Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．
【解答】（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，
由=，得a2=4，b2=2．
∴椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．
证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，
∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴M（0，），
直线QA方程为：，∴N（0，），
以MN为直径的圆为，
即，
∵，∴，
令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．
∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．
21．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=处的切线斜率为．
（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln
( http: / / www.21cnjy.com )（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．
【解答】解：（1）函数的导数为f′（x）=asinx+axcosx﹣sinx，
在f（x）在x=处的切线斜率k=f′（）=asin+a×cos﹣sin=+=．
即（1﹣a）=﹣（1﹣a），则1﹣a=0，解得a=1．
即f（x）=xsinx+cosx，
则f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，
由f′（x）＞0得xcosx＞0，即或，即0＜x＜或者﹣π＜x＜，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得xcosx＜0，即或，即＜x＜π或者＜x＜0，此时函数单调递减；
（2）当x2∈[0，]时，由（1）可知函数f（x）单调递增，则f（0）≤f（x2）≤f（），
即1≤f（x2）≤，
设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，
则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．
g′（x）=﹣＞0，则mx2＞2﹣m，
若m≥2时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜m＜2，则x＞，g′（x）＞0恒成立，g（x）在（，+∞）上递增，在（0，）上递减，
∴g（x）在x=处取得最小值g（）＜g（0）=1，
∴m≥2，g（x）最小值为1
∴m的取值范围是m≥2．
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作
( http: / / www.21cnjy.com )答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑)．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy
( http: / / www.21cnjy.com )中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C
( http: / / www.21cnjy.com )2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1
A2、B1B2的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）
曲线C1的直角坐标方程为x
( http: / / www.21cnjy.com )2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ）
C1，C2的普通方程分别为x2
( http: / / www.21cnjy.com )+y2=1和，当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，与C2的交点B1的横坐标为，当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称，由此能求出直线A1
A2
和B1B2的极坐标方程．
【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4
坐标系统与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（φ为参数），
∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），
∴曲线C2的直角坐标方程为=1，∴C2是焦点在x轴上的椭圆．
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
∵这两点间的距离为2，∴a=3…
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
∵这两点重合，∴b=1…
（Ⅱ）
C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和…
当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，
与C2的交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称
因此，直线A1
A2、B1B2垂直于极轴，
故直线A1
A2
和B1B2的极坐标方程分别为，…
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；
（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|
=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥2=2．
（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）．
2017年3月31日
一．选择题（每题5分，共60分）
1．a＜0且﹣1＜b＜0是a+ab＜0的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若命题p： x0∈[﹣3，3]，x02+2x0+1≤0，则对命题p的否定是（ ）
A． x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0
B． x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），x2+2x+1＞0
C．
D．
3．已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．﹣1+i
B．1﹣i
C．2+2i
D．1+i
4．已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（ ）
A．2
B．4
C．﹣2
D．﹣4
5．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
6．已知命题p： x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q： x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢p∧￢q
7．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为
4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2
B．
C．
D．2
9．为了了解某校高三400名学生的数学学业
( http: / / www.21cnjy.com )水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）
A．60%，60
B．60%，80
C．80%，80
D．80%，60
10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产
( http: / / www.21cnjy.com )品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
11．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，过抛物线y2=
( http: / / www.21cnjy.com )2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x
B．y2=9x
C．y2=x
D．y2=x
二．填空题（每题5分，共20分）
13．某单位有职工200名，现要从中抽
( http: / / www.21cnjy.com )取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．
14．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 ．
15．已知双曲线的一条渐近线方程是
y=x，则该双曲线的离心率等于 ．
16．已知椭圆+=1（a＞b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品数X的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）；
（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．
18．已知函数f（x）=ax的图象过点（1，），且点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an+1﹣an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜5．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B
( http: / / www.21cnjy.com )1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
20．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（
( http: / / www.21cnjy.com )与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
21．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=处的切线斜率为．
（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln
( http: / / www.21cnjy.com )（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．
选做题(请考生在第22、
( http: / / www.21cnjy.com )23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑)．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C
( http: / / www.21cnjy.com )1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交
( http: / / www.21cnjy.com )点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1
A2、B1B2的极坐标方程．
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高二（下）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题5分，共60分）
1．a＜0且﹣1＜b＜0是a+ab＜0的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由﹣1＜b＜0，知1+b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0，由a＜0，知a（1+b）=a+ab＜0．故a＜0且﹣1＜b＜0 a+ab＜0；a+ab=a（1+b）＜0 或，由此能求出结果．
【解答】解：∵﹣1＜b＜0，
∴1+b＞0，
∵a＜0，
∴a（1+b）=a+ab＜0．
∴a＜0且﹣1＜b＜0 a+ab＜0；
a+ab=a（1+b）＜0 或，
∴a＜0且﹣1＜b＜0是a+ab＜0的充分不必要条件．
故选C．
2．若命题p： x0∈[﹣3，3]，x02+2x0+1≤0，则对命题p的否定是（ ）
A． x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0
B． x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），x2+2x+1＞0
C．
D．
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题，
故命题的否定为： x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0，
故选：A．
3．已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．﹣1+i
B．1﹣i
C．2+2i
D．1+i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i
的幂运算性质，把式子化简到最简形式．
【解答】解：复数===﹣1+i，
故选
A．
4．已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（ ）
A．2
B．4
C．﹣2
D．﹣4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的准线方程求出p，即可．
【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值：4．
故选：B．
5．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）
【考点】归纳推理．
【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左
( http: / / www.21cnjy.com )边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由每个不等式的
( http: / / www.21cnjy.com )不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；
故选C．
6．已知命题p： x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q： x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．
【解答】解：对于命题p：∵y=lnx与y=2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；
即 x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；
对于命题q：当x=3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；
∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；
综上，为真命题的是C．
故选：C．
7．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．
【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．
【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点
故∴
故选C．
8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为
4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2
B．
C．
D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，点（﹣2，﹣
( http: / / www.21cnjy.com )1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），
即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；
点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，
由双曲线的性质，可得b=1；
则c=，则焦距为2c=2
故选：D．
9．为了了解某校高三400名学生的数学
( http: / / www.21cnjy.com )学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）
A．60%，60
B．60%，80
C．80%，80
D．80%，60
【考点】频率分布直方图．
【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．
【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%
优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80
故选C．
10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产
( http: / / www.21cnjy.com )品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义和方法，可得=，由此求得n的值．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，
解得n=70，
故选：C．
11．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，
( http: / / www.21cnjy.com )试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P=，
故选A．
12．如图，过抛物线y2=2px（p＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x
B．y2=9x
C．y2=x
D．y2=x
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞
( http: / / www.21cnjy.com )0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，即有（3﹣）（1﹣）=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6 x=1，
而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，
∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．
得y2=3x．
故选A．
二．填空题（每题5分，共20分）
13．某单位有职工200名，现要从中抽取
( http: / / www.21cnjy.com )40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 37 ．
【考点】系统抽样方法．
【分析】由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽
( http: / / www.21cnjy.com )出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．
【解答】解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，
所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，
第8组抽出的号码为37．
故答案为：37．
14．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 ．
【考点】几何概型．
【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．
【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x
矩形的面积S=x（12﹣x）＞20
∴x2﹣12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．
故答案为：．
15．已知双曲线的一条渐近线方程是
y=x，则该双曲线的离心率等于 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是
y=x，
可得=，可得e==．
故答案为．
16．已知椭圆+=1（a＞b＞0
( http: / / www.21cnjy.com )）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用xC×（﹣c）=，解得xC．根据，即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵S△ABC=3S，
∴|AF2|=2|F2C|．
A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），
化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），
可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，
∴xC×（﹣c）=，解得xC=．
∵，
∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．
化为：a2=5c2，
解得．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品数X的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）；
（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）从100件产品中任取2件的结果数为，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，能求出至少取到1件次品的概率．
【解答】（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为从100件产品中任取2件的结果数为，
从100件产品中任取2件其中恰有k件次品的结果数为，
所以从100件产品中任取2件，其中恰有k件次品的概率为．
P（X=0）=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，
可得至少取到1件次品的概率为：
P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=．
18．已知函数f（x）=ax的图象过点（1，），且点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an+1﹣an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜5．
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（1）由函数f（x）=ax的图象
( http: / / www.21cnjy.com )过点（1，），知a=，f（x）=（）x．由点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上，能求出an．
（2）由an=，bn=an+1﹣an，知bn=（2n+1） （）n，从而得到Sn=，由此利用错位相减法能够证明Sn＜5．
【解答】（本题12分）
解：（1）∵函数f（x）=ax的图象过点（1，），
∴a=，f（x）=（）x．
又点（n﹣1，）（n∈N
）在函数f（x）=ax的图象上，
从而（）n﹣1=，
即an=．
（2）证明：由an=，bn=an+1﹣an，得bn=（2n+1） （）n，
Sn=，
则Sn=，
两式相减得：
Sn=+2（）﹣，
∴﹣，
∴Sn=5﹣，
∵，∴Sn＜5．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B
( http: / / www.21cnjy.com )1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）以BC中点O为坐标原点
( http: / / www.21cnjy.com )，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过 = =0及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．
则BC=AC=2，A1O==，
易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），
A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），
=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），
=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），
∵ =0，∴A1D⊥OA1，
又∵ =0，∴A1D⊥BC，
又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；
（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（，0，1），
设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（0，，1），
∴cos＜，＞===，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．
20．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的
( http: / / www.21cnjy.com )直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x0，y0），则
( http: / / www.21cnjy.com )Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．
【解答】（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，
由=，得a2=4，b2=2．
∴椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．
证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，
∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴M（0，），
直线QA方程为：，∴N（0，），
以MN为直径的圆为，
即，
∵，∴，
令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．
∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．
21．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=处的切线斜率为．
（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln
( http: / / www.21cnjy.com )（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．
【解答】解：（1）函数的导数为f′（x）=asinx+axcosx﹣sinx，
在f（x）在x=处的切线斜率k=f′（）=asin+a×cos﹣sin=+=．
即（1﹣a）=﹣（1﹣a），则1﹣a=0，解得a=1．
即f（x）=xsinx+cosx，
则f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，
由f′（x）＞0得xcosx＞0，即或，即0＜x＜或者﹣π＜x＜，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得xcosx＜0，即或，即＜x＜π或者＜x＜0，此时函数单调递减；
（2）当x2∈[0，]时，由（1）可知函数f（x）单调递增，则f（0）≤f（x2）≤f（），
即1≤f（x2）≤，
设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，
则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．
g′（x）=﹣＞0，则mx2＞2﹣m，
若m≥2时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜m＜2，则x＞，g′（x）＞0恒成立，g（x）在（，+∞）上递增，在（0，）上递减，
∴g（x）在x=处取得最小值g（）＜g（0）=1，
∴m≥2，g（x）最小值为1
∴m的取值范围是m≥2．
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作
( http: / / www.21cnjy.com )答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑)．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy
( http: / / www.21cnjy.com )中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C
( http: / / www.21cnjy.com )2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1
A2、B1B2的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）
曲线C1的直角坐标方程为x
( http: / / www.21cnjy.com )2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ）
C1，C2的普通方程分别为x2
( http: / / www.21cnjy.com )+y2=1和，当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，与C2的交点B1的横坐标为，当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称，由此能求出直线A1
A2
和B1B2的极坐标方程．
【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4
坐标系统与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（φ为参数），
∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），
∴曲线C2的直角坐标方程为=1，∴C2是焦点在x轴上的椭圆．
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
∵这两点间的距离为2，∴a=3…
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
∵这两点重合，∴b=1…
（Ⅱ）
C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和…
当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，
与C2的交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称
因此，直线A1
A2、B1B2垂直于极轴，
故直线A1
A2
和B1B2的极坐标方程分别为，…
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；
（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|
=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥2=2．
（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）．
2017年3月31日